1. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)"

Transkript

1 Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. Christian Karpfinger 1. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Aufgabe 1.1: Gehen Sie die Inhalte der heutigen Vorlesung in kleinen Gruppen durch und fertigen Sie eine Zusammenfassung bzw. ein Formelblatt an. Aufgabe 1.2: Es gibt drei Verdächtige für den Raub eines Lutschers im Süßwarenladen: a,b, und c. Genau einer von ihnen hat den Lutscher gestohlen. Beim Verhör sagen Sie folgendes aus: (a) Ich war es nicht. Außerdem war ich gar nicht am Tatort. (b) Ich war es nicht. Außer mir war auch noch c am Tatort. (c) Ich war es nicht. Der Dieb ist a. b war nicht am Tatort. Finden Sie unter der Annahme, dass die Unschuldigen die Wahrheit gesagt haben, den Dieb! Wer war am Tatort, wer nicht? Hat der Dieb gelogen? Lösung mit Alltags(?)logik: Da b und c sich widersprechen (was die Anwesenheit von b am Tatort angeht) lügt einer von beiden und ist somit der Täter. Dann ist a unschuldig. Also lügt c, der behauptet, a sei der Dieb. Da c lügt ist c nicht unschuldig, also ist c der Täter. Jetzt formallogisch: Es sei T x mit x {a, b, c} die Aussage x war der Täter und Ox die Aussage x war am Tatort. Dann sind die Äußerungen der Verdächtigen wie folgt darstellbar: (a) (b) (c) T a Oa T b Ob Oc T c T a Ob ( ) Oc Der eingeklammerte Teil bei c bringt zum Ausdruck, dass c offensichtlich am Tatort war, wenn er/sie es auch nicht direkt zugibt. Dies wird im folgenden aber nicht benötigt. Die folgenden Aussagen werden laut Aufgabenstellung wahr angenommen. Erstens: Wenn x {a, b, c} unschuldig ist, sagt x die Wahrheit. Das bedeutet Zweitens: Es gibt genau einen Täter. Das ist T a T a Oa (1) T b T b Ob Oc (2) T c T c T a Ob (3) (T a T b T c) ( T a T b T c) ( T a T b T c) (4) Dies bedeutet insbesondere, dass a unschuldig ist, wenn b oder c schuldig ist: T b T c T a (5) Bevor die obige Argumentation in Logikschreibweise übertragen wird noch eine Anmerkung: Für eine beliebige Aussage A ist (A A) A

2 eine Tautologie. Also ist A A äquivalent zu A. Beweis hierzu: A w f A f w A A f w (A A) A w w Dies entspricht dem umgangssprachlichen Argument: Wenn man A annimmt und einen Widerspruch folgert, dann war die Annahme A falsch, welches beim indirekten Beweis verwendet wird. Zur formallogischen Lösung der Aufgabe: Aus (2) und (3) ersieht man die folgende wahre Implikationskette 1 T b T c T b Ob Oc T c T a Ob Ob Ob (falsch) T b T c. Der letzte Schritt ist gültig, weil eine Implikation mit falscher Prämisse immer wahr ist. Wichtig: Dass dies eine wahre Implikationskette ist, bedeutet nicht, dass die Prämisse T b T c wahr ist oder als wahr angenommen wurde, sondern nur, dass hier korrekt gefolgert wurde (möglicherweise aus etwas falschem). Setzt man A als T b T c fest, so hat man damit A A gezeigt. Dies ist äquivalent zu A. Damit ist gezeigt, dass A T b T c wahr ist. Wegen (5) ist dann auch T a wahr. Weiter hat man mit (1) und (3) die wahre Implikationskette T a T c T a Oa T c T a Ob T a T a (falsch) T a T c. Setzt man B als T a T c fest, so hat man damit B B und somit B bewiesen. Also ist B T a T c wahr, und da man T a schon gezeigt hat impliziert dies Tc. Also ist c der Dieb. Insgesamt wirkt die formallogische Lösung hier deutlich umständlicher als die zuerst angegebene alltags(?)logische. Wenn man allerdings den formallogischen Kalkül wirklich beherrscht, ist es durchaus auch möglich, die Lösung bestimmter Logikrätsel einfach auszurechnen und die Rechnung dann in die Alltagssprache zu übersetzen. Das ist insbesondere bei solchen Rätseln hilfreich, deren Formulierung absichtlich verwirrend gewählt wurde. Aufgabe 1.3: Die Einwohner von Radersi sind strikt in zwei Gruppen getrennt: Solche, die sich stets selbst rasieren und solche, die sich nur von Roberto dem Barbier rasieren lassen. Roberto rasiert 1 Eine Implikationskette hat die Form A 1 A 2... A N, wobei die A j Ausagen sind. Dies ist eine Kurzschreibweise für (A 1 A 2) (A 2 A 3)... (A N 1 A N ). Ist eine Implikationskette wahr, so ist auch die resultierende Implikation, das ist A 1 A N wahr.

3 also genau diejenigen Dorfbewohner, die sich nicht selbst rasieren. Begründen Sie, daß Roberto nicht in Radersi wohnt. Roberto wohnt nicht in Radersi, da er zu keiner der beiden Gruppen gehören kann. Wenn er zur ersten Gruppe gehörte, müßte er sich selbst rasieren. Er rasiert aber nur Einwohner, die sich nicht selbst rasieren. Also kann er sich nicht selbst rasieren und folglich nicht der ersten Gruppe angehören. Wenn er zur zweiten Gruppe gehörte, müßte er von Roberto, also von sich selbst rasiert werden. Dann würde er allerdings jemanden rasieren, der sich selbst rasiert. Dies ist ein Widerspruch nach Voraussetzung und folglich kann er auch der zweiten Gruppe nicht angehören. Aufgabe 1.4: Vertauschen Sie in den folgenden Aussagen jeweils die Reihenfolge der Quantoren und und überprüfen Sie Sinn und Richtigkeit der entstehenden Aussagen: (a) n / P {1} k / {1, n} : k n (P bezeichnet dabei die Menge aller Primzahlen), (b) N N n N : 1 n 0, 001. (a) Wir vertauschen die Quantoren und erhalten: n / P k / {1, n} : k n. Diese Aussage ist falsch: Die Zahl 4 ist keine Primzahl, und 4 wird nicht von allen Zahlen ungleich 1 und 4 geteilt. Und allgemein gilt für jede weitere Nichtprimzahl n, daß n nicht von n + 1 {1, n} geteilt wird. (b) Wir erhalten nach Vertauschen der Quantoren: N N n N : 1 n 0, 001. Diese Aussage ist nicht identisch zu der in der Aufgabenstellung, jedoch ebenso richtig. Aufgabe 1.5: Es sei f : D R eine Funktion, D ein Intervall. Man definiert: Die Funktion f ist: stetig auf D : ε > 0 x D δ > 0 : x D : x x < δ f(x) f(x ) < ε. gleichmäßig stetig auf D : ε > 0 δ > 0 : x D x D : x x < δ f(x) f(x ) < ε. Wodurch unterscheidet sich die gleichmäßige Stetigkeit von der Stetigkeit? machen Sie Bilder! Können Sie eine Funktion angeben, die stetig und nicht gleichmäßig stetig ist? Bei der gleichmäßigen Stetigkeit hängt das δ nicht von x ab, es gibt hier ein universelles δ, das für ganz D taugt. Beispiel für eine stetige und nicht gleichmäßig stetige Funktion: f : (0, 1) R, f(x) = 1 x. Aufgabe 1.6: (a) ( ) j j n k k=1 Schreiben Sie folgende Ausdrücke aus: (b) 3 k 5 n 3 k=1 5 i=1 i

4 ( ) j j (a) n k = ( j) ( j) ( k=1... (j 1 + j 2 + j j j) 3 k 5 (b) n 3 ( ) ( ) k=1 5 i=1 i = Aufgabe 1.7: Schreiben Sie folgende Ausdrücke in der Form k (a) (b) (a) = 30 (b) = 9 (c) = 100 n=2 2n 3 n 3n n 1 = 99 3(n+1) n ( n (d) = 13 2 n +1 n 2 i=1 ) i 2i 1 a n bzw. (c) k a n : (d) Aufgabe 1.8: Gegeben seien die folgenden Teilmengen der Menge der reellen Zahlen R: A := { x R 5 > x > 2 }, B := { x R 1 > x }, C := { x R 1 < x 1 } Bestimmen Sie folgende Mengen und skizzieren Sie diese auf der Zahlengeraden: (a) A C (b) B \ A (c) (R \ C) B (a) A C = {x R x A x C} = {x R 5 > x > 2 1 < x 1} = {x R 2 < x < 5 1 < x 1} = {x R 1 < x 1} = C (b) B \ A = {x R x B x / A} = {x R 1 > x (x 2 x 5)} = {x R x < 1 (x 2 x 5)} = {x R x 2} (c) (R \ C) B = {x R x / C x B} = {x R x 1 x > 1 1 > x} = {x R x 1}

5 Aufgabe 1.9: Gegeben seien die folgenden Teilmengen der Menge der reellen Zahlen R: A := { x R 3 < x < 4 }, B := { x R 2 x }, C := { x R 1 x < 1 } Bestimmen Sie folgende Mengen und skizzieren Sie diese auf der Zahlengeraden: (a) A B (b) C (R \ B) (c) (R B) A (d) ((A B) C) \ A (a) A B = {x R 3 < x < 4 2 x} = {x R x > 3} (b) C (R \ B) = {x R 1 x < 1 2 > x} = {x R x < 2} (c) (R B) A = {x R x B x A} = {x R x > 3} (d) ((A B) C) \ A = {x R (x A x B) x C x / A} = {x R x > 3 1 x < 1 (x 3 x 4)} = Aufgabe 1.10: Gegeben seien die folgenden Teilmengen der reellen Zahlen: A := { x R 2 < x < 5 } B := { x R 1 x } C := { x R x 2 4 } D := { x R x 2 > 1 } Bestimmen Sie jeweils die folgenden Mengen und skizzieren Sie diese auf der Zahlengerade: (a) A B (b) A D (c) B \ C (d) D \ (A B) (e) C (A B) (f) (R \ (A B)) (C D) (a) A B = {x R 2 < x < 5 1 x} = {x R 2 < x 1}

6 (b) A D = {x R 2 < x < 5 x 2 > 1} = {x R 2 < x < 5 x < 1 x > 1} = R (c) B \ C = {x R 1 x x 2 > 4} = {x R x 1 (x < 2 x > 2)} = {x R x < 2} (d) D \ (A B) = {x R x 2 > 1 ( 2 < x < 5 1 x)} = {x R (x < 1 x > 1) ( 2 < x 1)} = {x R (x < 1 x > 1) (x 2 x > 1)} = {x R x 2 x > 1} (e) C (A B) = {x R x 2 4 ( 2 < x < 5 1 x)} = {x R 2 x 2 x < 5} = {x R 2 x 2} (f) ( ) R \ (A B) (C D) = {x R ( 2 < x < 5 1 x) (x 2 4 x 2 > 1} = {x R ( 2 < x 1) ( 2 x 2 (x < 1 x > 1) ) } = {x R x 2 x > 1 2 x < 1 1 < x 2} = {x R x < 1 x > 1} Aufgabe 1.11: Es seien A = { a, b, c, d } und B = { M M A }. Entscheiden und begründen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind: (a) a B (b) { b } B (c) { a } A (d) A B (e) A B (f) { a } A (g) B (h) B (i) { } B (a) a B a A a A falsch (b) b A {b} A {b} B richtig (c) falsch (d) richtig (e) a A, aber a / B falsch (f) richtig (g) richtig, da A (h) richtig, da M für alle Mengen M (i) richtig, da B { } B

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden:

Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden: Übungsaufgaben 1. Aufgabe 1 Welcher der folgenden Sätze ist eine Aussage, welcher eine Aussageform, welcher ist keines von beiden: a. x ist eine gerade Zahl. Aussageform b. 10 ist Element der Menge A.

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Übungsblatt 1 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 1 Hausaufgaben Aufgabe 1.1 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

Mehr

Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME

Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Analysis II (FS 2015): ZUSAMMENHÄNGENDE METRISCHE RÄUME Dietmar A. Salamon ETH-Zürich 23. Februar 2015 1 Topologische Grundbegriffe Sei (X, d) ein metrischer Raum, d.h. X ist eine Menge und d : X X R ist

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen.

Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Jeweils am Montag um 18:30 treffen sich Studenten in Seminarraum 3 zum gemeinsamen Lernen. Betrachtungen zu Sprache, Logik und Beweisen Sprache Wir gehen von unserem Alphabet einigen Zusatzsymbolen aus.

Mehr

Übungen Mathematik I, M

Übungen Mathematik I, M Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0) 09.0.0. Kommissar K hat 3 Tatverdächtige P, Q und R. Er weiß: (a) Wenn sich Q oder R als Täter herausstellen, dann ist P unschuldig.

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen Mengen

Kapitel 1. Grundlagen Mengen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Kapitel 1. Grundlagen

Kapitel 1. Grundlagen Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 2008/2009 Übung 11 Einleitung Es wird eine 15-minütige Mikroklausur geschrieben. i) Sei D R oderd C. Wann heißt

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufgabe 45. Polynome sind stets stetig. Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester

Mehr

1 Anmerkungen zum Formulieren von Beweisen und Rechnungen

1 Anmerkungen zum Formulieren von Beweisen und Rechnungen 1 Anmerkungen zum Formulieren von Beweisen und Rechnungen 1 Anmerkungen zum Formulieren von Beweisen und Rechnungen Die wichtigste Grundregel, die es beim Formulieren eines Beweises bzw. der Lösung einer

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

2 Der Beweis. Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises

2 Der Beweis. Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises 2 Der Beweis Themen: Satz und Beweis Indirekter Beweis Kritik des indirekten Beweises Satz und Beweis Ein mathematischer Satz besteht aus einer Voraussetzung und einer Behauptung. Satz und Beweis Ein mathematischer

Mehr

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i

Definition 3.1. Sei A X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U i ) i I offener Mengen U i X mit U i 3 Kompaktheit In der Analysis I zeigt man, dass stetige Funktionen f : [a, b] R auf abgeschlossenen, beschränkten Intervallen [a, b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind und dass sie ihr Supremum und

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung #2 Phillip Keldenich, Arne Schmidt 10.11.2016 Organisatorisches Fragen? Checkliste: Anmeldung kleine Übungen Anmeldung Mailingliste Dies ersetzt nicht die Prüfungsanmeldung!

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6. Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Logik in der Schule. Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen. Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden

Logik in der Schule. Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen. Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden 1 Nr.2-21.04.2016 Logik in der Schule Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden Begründungstypen und Beweismethoden der Mathematik kennen, gezielt

Mehr

mathe plus Aussagenlogik Seite 1

mathe plus Aussagenlogik Seite 1 mathe plus Aussagenlogik Seite 1 1 Aussagenlogik 1.1 Grundbegriffe Def 1 Aussage Eine Aussage ist ein beschriebener Sachverhalt, dem eindeutig einer der Wahrheitswerte entweder wahr oder falsch zugeordnet

Mehr

Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom

Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik Wintersemester 2011/2012 Universität Bielefeld Übungsaufgaben zu Partielle Differentialgleichungen Blatt III vom 27.10.2011 Aufgabe III.1 (4 Punkte) Sei Ω R

Mehr

Logik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016

Logik und Beweise. Logik und Beweise. Vorsemesterkurs SoSe März 2016 Logik und Beweise Logik und Beweise Vorsemesterkurs SoSe16 Ronja Düffel 21. März 2016 Logik und Beweise Wozu Beweise in der Informatik?... um Aussagen wie 1 Das Programm erfüllt die gewünschte Aufgabe.

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Lösungen 1 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren

Lösungen 1 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren Lösungen 1 zum Mathematik-Brückenkurs für alle, die sich für Mathematik interessieren µfsr, TU Dresden Version vom 11. Oktober 2016, Fehler, Ideen, Anmerkungen und Verbesserungsvorschläge bitte an benedikt.bartsch@myfsr.de

Mehr

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen:

1. Aufgabe [2 Punkte] Seien X, Y zwei nicht-leere Mengen und A(x, y) eine Aussageform. Betrachten Sie die folgenden Aussagen: Klausur zur Analysis I svorschläge Universität Regensburg, Wintersemester 013/14 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dr. Mihaela Pilca 0.0.014, Bearbeitungszeit: 3 Stunden 1. Aufgabe [ Punte] Seien X, Y zwei nicht-leere

Mehr

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des

Mehr

Rhetorik und Argumentationstheorie.

Rhetorik und Argumentationstheorie. Rhetorik und Argumentationstheorie 2 [frederik.gierlinger@univie.ac.at] Teil 2 Was ist ein Beweis? 2 Wichtige Grundlagen Tautologie nennt man eine zusammengesetzte Aussage, die wahr ist, unabhängig vom

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen Bei

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17 Themen

Mehr

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele

Stetigkeit. Definitionen. Beispiele Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt

Mehr

Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume

Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume Gleichmäßige Konvergenz und Funktionenräume Isabella Lukasewitz und Andreas Brack 07.06.2010 Vortrag zum Proseminar zur Analysis Konvergenz und Funktionenräume INHALTSVERZEICHNIS Bereits in den Vorlesungen

Mehr

Hausaufgaben Negation Aussagen Implikation Äquivalenz Zusammenfassung. Elementare Logik. Diskrete Strukturen. Uta Priss ZeLL, Ostfalia

Hausaufgaben Negation Aussagen Implikation Äquivalenz Zusammenfassung. Elementare Logik. Diskrete Strukturen. Uta Priss ZeLL, Ostfalia Elementare Logik Diskrete Strukturen Uta Priss ZeLL, Ostfalia Sommersemester 2016 Diskrete Strukturen Elementare Logik Slide 1/26 Agenda Hausaufgaben Negation Aussagen Implikation Äquivalenz Zusammenfassung

Mehr

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )

Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2008/09 Dr. J. Jordan Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen und Beweise

Mehr

Brückenkurs Mathematik 2015

Brückenkurs Mathematik 2015 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass

Mehr

Analysis I - Stetige Funktionen

Analysis I - Stetige Funktionen Kompaktheit und January 13, 2009 Kompaktheit und Funktionengrenzwert Definition Seien X, d X ) und Y, d Y ) metrische Räume. Desweiteren seien E eine Teilmenge von X, f : E Y eine Funktion und p ein Häufungspunkt

Mehr

Folgen und Reihen von Funktionen

Folgen und Reihen von Funktionen Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die

Mehr

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8

Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Mathematische Grundlagen der Ökonomie Übungsblatt 8 Abgabe Donnerstag 7. Dezember, 0:5 in H 5+7+8 = 20 Punkte Mit Lösungshinweisen zu einigen Aufgaben 29. Das Bisektionsverfahren sucht eine Nullstelle

Mehr

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN 24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben

Mehr

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen

Kapitel III. Stetige Funktionen. 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen. 15 Hauptsätze über stetige Funktionen Kapitel III Stetige Funktionen 14 Stetigkeit und Rechenregeln für stetige Funktionen 15 Hauptsätze über stetige Funktionen 16 Konvergenz von Funktionen 17 Logarithmus und allgemeine Potenz C 1 14 Stetigkeit

Mehr

Wie beweise ich etwas? 9. Juli 2012

Wie beweise ich etwas? 9. Juli 2012 Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Wie beweise ich etwas? 9. Juli 2012 1 Was ist ein Beweis? 1.1 Ein Beispiel Nimm einen Stift und ein Blatt Papier und zeichne fünf

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2004) Lösungen zu Aufgabenblatt

Mehr

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543

Stetigkeit. Kapitel 4. Stetigkeit. Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester / 543 Kapitel 4 Stetigkeit Peter Becker (H-BRS) Analysis Sommersemester 2016 254 / 543 Inhalt Inhalt 4 Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz Umkehrfunktionen

Mehr

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht

ANALYSIS I FÜR TPH WS 2016/17 1. Übung Übersicht . Übung Übersicht Aufgaben zu Kapitel und 2 Aufgabe : Drei klassische Ungleichungen Aufgabe 2: ) Beweis einer Summenformel Induktion) Aufgabe : ) Teleskopsummen Aufgabe 4: Noch etwas Formelmanipulation

Mehr

Elementare Mengenlehre

Elementare Mengenlehre Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,

Mehr

Mathematik I. Zusammenhängende Räume

Mathematik I. Zusammenhängende Räume Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 21 Die beiden nächsten Vorlesungen kann man unter dem Aspekt sehen, welche topologischen Eigenenschaften die reellen Zahlen gegenüber

Mehr

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30

Formale Methoden II. Gerhard Jäger. SS 2008 Universität Bielefeld. Teil 8, 11. Juni 2008. Formale Methoden II p.1/30 Formale Methoden II SS 2008 Universität Bielefeld Teil 8, 11. Juni 2008 Gerhard Jäger Formale Methoden II p.1/30 Beispiele Anmerkung: wenn der Wahrheitswert einer Formel in einem Modell nicht von der Belegungsfunktion

Mehr

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

11. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS 200/ 2.0.-28.0. Aufgabe G (Grenzwertberechnung)

Mehr

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen

11 Logarithmus und allgemeine Potenzen Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den

Mehr

Kurze Wiederholung: [Relationen und Abbildungen]

Kurze Wiederholung: [Relationen und Abbildungen] SS 2012, Lineare Algebra 1 Lösungen zum 1. Aufgabenblatt Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com

Mehr

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: A. Kirchhoff, T. Pfrommer, M. Kutter, Dr. I. Rybak. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Prof. Dr. M. Stroppel Prof. Dr. A. Sändig Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe H.

Mehr

Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7

Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7 Mathematik für Informatiker II Übungsblatt 7 Vincent Blaskowitz Übungsblatt 7 vom 03.06.20 Aufgabe Aufgabenstellung Berechnen Sie die folgenden Logarithmen ohne Taschenrechner: i log 0,008 ii log 2 Lösung

Mehr

Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung

Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung Kapitel 1 Topologische Aspekte: Eine kurze Zusammenfassung Wer das erste Knopfloch verfehlt, kommt mit dem Zuknöpfen nicht zu Rande J. W. Goethe In diesem Kapitel bringen wir die Begriffe Umgebung, Konvergenz,

Mehr

Beispielaufgaben rund um Taylor

Beispielaufgaben rund um Taylor Beispielaufgaben rund um Taylor Mirko Getzin Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik 19. Februar 014 Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und perfekter Präzision aller (mathematischen) Aussagen.

Mehr

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254

Kapitel 11 Beweisführung. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Kapitel 11 Beweisführung Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 125 / 254 Kapitel 11 Beweisführung Grundsätzlich: ein mathematischer Satz ist eine Aussage der Form wenn... gilt,

Mehr

Ein kausaler Zusammenhang entspricht einer speziellen wahren Implikation. Beispiel: Wenn es regnet, dann wird die Erde nass.

Ein kausaler Zusammenhang entspricht einer speziellen wahren Implikation. Beispiel: Wenn es regnet, dann wird die Erde nass. Implikation Implikation Warum ist die Tabelle schwer zu schlucken? In der Umgangssprache benutzt man daraus folgt, also, impliziert, wenn dann, nur für kausale Zusammenhänge Eine Implikation der Form:

Mehr

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Kapitel 3. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion Kapitel 3 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion In Kapitel 1 haben wir den direkten Beweis, den modus ponens, kennen gelernt, der durch die Tautologie ( A (A = B) ) = B gegeben ist Dabei war B eine

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen $Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8. Übung FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof Dr Patrizio Ne Frank Osterbrink Johannes Lankeit 9503 Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 8 Übung Hausaufgabe : Beweise den Satz über die Parallelogrammgleichung Sei H

Mehr

Mathem.Grundlagen der Computerlinguistik I, WS 2004/05, H. Leiß 1

Mathem.Grundlagen der Computerlinguistik I, WS 2004/05, H. Leiß 1 Mathem.Grundlagen der Computerlinguistik I, WS 2004/05, H. Leiß 1 1 Vorbemerkungen Mathematische Begriffe und Argumentationsweisen sind in vielen Fällen nötig, wo man über abstrakte Objekte sprechen und

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17

Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 2016/17 Blatt Nr. 3 Prof. F. Merkl Lösung zur Übung für Analysis einer Variablen WS 206/7 Aufgabe Das Guthaben G setzt sich zusammen aus der Summe aller bisherigen Einzahlungen multipliziert mit ( + p) k, wobei

Mehr

Mathematischen Grundlagen und Notationen

Mathematischen Grundlagen und Notationen Mathematischen Grundlagen und Notationen Susanne Schimpf Juni 008 Es geht in dieser Lerneinheit darum, mathematische Notationen besser zu verstehen und auch selbst korrekt zu benutzen. Außerdem sollen

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2

Boolesche Algebra. Hans Joachim Oberle. Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 Universität Hamburg Department Mathematik Boolesche Algebra Hans Joachim Oberle Vorlesung an der TUHH im Wintersemester 2006/07 Montags, 9:45-11:15 Uhr, 14täglich TUHH, DE 22, Audimax 2 http://www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/vorlesungen.html

Mehr

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten:

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: Aussagen Aussagen Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: verbale Aussage formale Aussage Wahrheitswert 1) 201 ist teilbar durch 3 3 201 wahre Aussage (w.a.) 2)

Mehr

Vorkurs Mathematik Logik und Beweise

Vorkurs Mathematik Logik und Beweise Vorkurs Mathematik Logik und Beweise Axel Wagner 30. September 2012 Diese Arbeit basiert in Teilen auf dem Beweis-Vortrag von Bärbel Jansen und Winnifred Wollner, in bearbeiteter Fassung von Casper Goch.

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Handout zu Beweistechniken

Handout zu Beweistechniken Handout zu Beweistechniken erstellt vom Lernzentrum Informatik auf Basis von [Kre13],[Bün] Inhaltsverzeichnis 1 Was ist ein Beweis? 2 2 Was ist Vorraussetzung, was ist Behauptung? 2 3 Beweisarten 3 3.1

Mehr

Grundlagen der Mengenlehre

Grundlagen der Mengenlehre mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener

Mehr

Grundlagen und Diskrete Strukturen Wiederholungsaufgaben

Grundlagen und Diskrete Strukturen Wiederholungsaufgaben TU Ilmenau Institut für Mathematik Dr. Jens Schreyer Teil 1: Aussagenlogik Aufgabe 1 Grundlagen und Diskrete Strukturen Wiederholungsaufgaben Stellen Sie die Wahrheitstafel für die aussagelogische Formel

Mehr

Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung

Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Mathematisches Institut II.06.004 Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 3: Elementare Beweismethoden: Direkter Beweis,

Mehr

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P

Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester 205 9. Mai 205 Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Aufgabe (Stetigkeit) (a) Für welche a, b R sind die folgenden Funktionen stetig in x 0

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II. Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Vorkurs Mathematik. Vorbereitung auf das Studium der Mathematik. Übungsheft

Vorkurs Mathematik. Vorbereitung auf das Studium der Mathematik. Übungsheft Vorkurs Mathematik Vorbereitung auf das Studium der Mathematik Übungsheft Dr. Johanna Dettweiler Institut für Analysis 0. Oktober 009 Aufgaben zu Kapitel Die Nummerierung der Aufgaben bezieht sich auf

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 15

Aufgaben zu Kapitel 15 Aufgaben zu Kapitel 5 Aufgaben zu Kapitel 5 Verständnisfragen Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Menge K m n aller m n-matrizen über einem Körper K mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation

Mehr

Analyse ethischer Texte

Analyse ethischer Texte WEITERBILDUNGSSTUDIENGANG ANGEWANDTE ETHIK SOMMERSEMESTER 2005 Prof. Dr. Kurt Bayertz Analyse ethischer Texte 23. Juli 2005 I. Was sind Argumente? Zunächst eine allgemeine Charakterisierung von Argumenten

Mehr

WB 11 Aufgabe: Hypothesentest 1

WB 11 Aufgabe: Hypothesentest 1 WB 11 Aufgabe: Hypothesentest 1 Ein Medikament, das das Überleben eines Patienten sichern soll, wird getestet. Stelle Null- und Alternativhypothese auf und beschreibe die Fehler 1. Art und 2. Art. Welcher

Mehr

Theoretische Informatik SS 03 Übung 11

Theoretische Informatik SS 03 Übung 11 Theoretische Informatik SS 03 Übung 11 Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass es eine einfachere Reduktion (als die in der Vorlesung durchgeführte) von SAT auf 3KNF-SAT gibt, wenn man annimmt, dass die Formel des

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme. Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen linke Seite = rechte Seite Grundmenge: Menge aller Zahlen, die wir als Lösung der Gleichung

Mehr

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung )

A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E ( ) 1. Übungstest (FR, ) (mit Lösung ) Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien W. Auzinger WS 05/6 A N A L Y S I S I F Ü R T P H, U E (03.088). Übungstest (FR, 6..05) (mit Lösung ) Aufgabe. a ) Wandeln Sie die periodische Dezimalzahl

Mehr

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Vollständige Induktion Aktualisiert: 1 Dezember 01 vers 100 Eine der wichtigsten Beweistechniken der Mathematik überhaupt ist die (vollständige) Induktion Wir nehmen

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit Häufig tauchen in der Mathematik Ausdrücke der Form lim f(x) auf. x x0 Derartigen Ausdrücken wollen wir jetzt eine präzise Bedeutung zuweisen. Definition. b = lim f(x) wenn

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

Höhere Mathematik für Physiker II

Höhere Mathematik für Physiker II Universität Heidelberg Sommersemester 2013 Wiederholungsblatt Übungen zur Vorlesung Höhere Mathematik für Physiker II Prof Dr Anna Marciniak-Czochra Dipl Math Alexandra Köthe Fragen Machen Sie sich bei

Mehr

1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik

1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik 1 Sprechweisen und Symbole der Mathematik Übersicht 1.1 Junktoren......................................................... 1 1.2 Quantoren......................................................... 4 1.3

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo

Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo 1.Motivation 3 1.1. Konstruktion von R im allgemeine 3 2.Voraussetzung 3 2.1Die Menge Q zusammen mit den beiden Verknüpfungen 3 2.2Die Rationalen Zahlen

Mehr

1. Gruppen. 1. Gruppen 7

1. Gruppen. 1. Gruppen 7 1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.

Mehr

Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik

Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik Universität Heidelberg 13. Februar 2014 Institut für Informatik Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Dipl.-Math. Thorsten Kräling Klausur zur Vorlesung Mathematische Logik Musterlösung Aufgabe 1 (Aussagenlogik

Mehr

Typ-3-Sprachen. Das Pumping-Lemma

Typ-3-Sprachen. Das Pumping-Lemma Das Pumping-Lemma Typ-3-Sprachen Um zu zeigen, daß eine Sprache L regulär ist, kannman einen NFA M angeben mit L(M) = L, oder eine rechtslineare Grammatik G angeben mit L(G) =L, oder einen regulären Ausdruck

Mehr

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen.

2 Mengenlehre. Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Mengenlehre 2 Mengenlehre Definition: Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten (den Elementen) zu einem Ganzen. Üblicherweise werden Mengen mit Großbuchstaben

Mehr

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester vom 15. Januar 2006

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester vom 15. Januar 2006 Prof. E.-W. Zink Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 3, Wintersemester 2005-06 vom 15. Januar 2006 2te, korrigierte und erweiterte

Mehr

Frage 8.3. Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung?

Frage 8.3. Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung? 8 Grundsätzliches zu Beweisen Frage 8.3. Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung? ˆ Mathematik besteht nicht (nur) aus dem Anwenden auswendig gelernter Schemata. Stattdessen

Mehr

Inhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31

Inhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31 Inhalt Vorwort... 5 1 Stammfunktionen... 7 1.1 Erklärung der Stammfunktionen........................................... 7 1.2 Eigenschaften der Stammfunktionen.................................... 10 1.3

Mehr

Vertiefungskurs Mathematik

Vertiefungskurs Mathematik Vertiefungskurs Mathematik Anforderungen für das Universitäts-Zertifikat im Schuljahr 01/13 Grundvoraussetzung: Teilnahme am Vertiefungskurs Mathematik in Klasse 11. Inhaltliche Voraussetzungen: Aussagenlogik

Mehr