Aufgaben zu Kapitel 1

Transkript

1 11 Berechnungsmodus Mittlere Anzahl Tage pro Jahr Ohne Schalttage 365 Alle 4 Jahre ein Schalttag 365,5 Alle 100 Jahre kein Schalttag 365,4 Alle 400 Jahre ein Schalttag 365,45 Die Differenz zum tatsächlichen Wert von 365,419 Tagen pro Jahr beträgt 0,00031 Tage pro Jahr Ca 36 Jahre nach Einführung des gregorianischen Kalenders beträgt daher die Differenz zum astronomischem Kalender einen Tag 1 Aussagen sind a) und b) 13 a) Wenn Freitag ist, gehe ich ins Kino: p q b) Wenn nicht Freitag ist, gehe ich nicht ins Kino: p q c) Wenn Freitag ist, gehe ich nicht ins Kino: p q 14 p q entweder p oder q p q weder p noch q

2 16 p p p q p q p p q q p q p q p q p q q p q p p q p q t p q a) p ( p q) b) p q p q c) p p p q r d) ( p q) r e) p ( q Die Wahrheitstafel einer Formel, in der n Aussagenvariablen vorkommen, hat n Zeilen 19 a) Claudia kann nicht Gitarre oder nicht Saxophon spielen b) Christoph studiert weder Mathematik noch Philosophie c) Wenn ich heute abend überhaupt ausgehe, dann gehe ich ins Kino und ins Theater d) Sonja ist älter als Paul, aber nicht älter als Christoph e) Es gibt Studenten, die nicht arm sind 110 a) Tautologie b) weder noch c) Tautologie d) Kontradiktion

3 3 111 a) Linke Seite: p q p q Rechte Seite: q p ( q p) q p q p p q b) Linke Seite: p q ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) Rechte Seite: ( p q) ( p q) ( p p) ( p q) ( q p) ( q q) ( p q) ( q p) c) Linke Seite: ( p q) ( ( p q) ( q p) ) ( p q) ( q p) Rechte Seite: p q ( p q) ( q p) ( p q) ( q p) ( p q) ( p p) ( q q) ( q p) ( p q) ( q p) d) Linke Seite: p ( q p q r Rechte Seite: p q r ( p q) r p q r 11 G ist eine Konsequenz von F genau dann, wenn in allen Zeilen, in denen F wahr ist, auch G wahr ist: a) p q r F G

4 4 p q r F G b) c) d) p q F G p q F G p q F G a) b) c) d) e) p ( p q) p ( p q) p q p q p ( q p) ( p q) ( p p) ( p q) 1 p q ( p q) ( p q) ( p p) q 1 q q p ( q ( r p) ) ( p q) ( p r p) ( p q) ( p p ( q p ( q ( r p) ) ( p q) ( p r p) ( p q) 0 p q 114 Der Ausdruck ist äquivalent zu q 115 Die vollständige DNF lautet: ( p q ( p q ( p q ( p q

5 5 KV-Diagramm: Die vereinfachte DNF lautet: ( q ( p ( p q) Die vollständige KNF lautet: ( p q ( p q ( p q ( p q KV-Diagramm: q q p r p 1 r p 1 1 r p 1 r q q p r p 1 r p 1 1 r p 1 r Die vereinfachte KNF lautet: ( p q) ( p ( q 116 Nur mit den elementaren Schaltungen wird es aufwendig: Seien x und y die beiden Eingangsbits und u der eingehende Übertrag Dann entspricht die Schaltung den beiden folgenden Formeln Für das Summenbit: ( u x y) ( u x y) ( u x y) ( u x y) Für den ausgehenden Übertrag die aus 3-Formel: ( u x) ( u y) ( x y) Verwendet man jedoch den Halbaddierer (HA) als Baustein, so wird der Volladdierer wesentlich übersichtlicher: s u in x y HA s 1 u 1 HA u 1 u out

6 6 117 Die Schaltung entspricht folgender Formel: Für das Summenbit: (( x x) y) ( x ( y y) ) Für den Übertrag: ( x y) ( x y) Der Sheffer-Operator entspricht dem NAND-Gatter der Schaltungslogik 118 p q 1 p q 119 a) b) p ( q s) ( r s) ( p q ( p q s) ( p q r s) ( p q r s) 10 Lediglich Britta geht zur Party Arno, Carl und Dörte bleiben zuhause 11 Inspektor Quak schlussfolgert, dass B auf jeden Fall an der Tat beteiligt war Über A und C lässt sich nur sagen, dass mindestens einer von beiden unschuldig ist 1 Inspektor Quak schlussfolgert, dass A auf jeden Fall an der Tat beteiligt war und C definitiv unschuldig ist Über B und D lässt sich nichts aussagen 13 ( Aufgabe 116) va(x,y,uin,s,uout) :- ha(x,y,s1,u1), ha(uin,s1,s,u), oder(u1,u,uout) 14 add4(x0,x1,x,x3,y0,y1,y,y3,s0,s1,s,s3,s4) :- ha(x0,y0,s0,u0), va(x1,y1,u0,s1,u1), va(x,y,u1,s,u), va(x3,y3,u,s3,s4)

7 7 15 Zunächst ist klar: Ist nur eine der beiden Zahlen negativ, die andere positiv, so ist das Produkt ab negativ In diesem Fall ergibt der Ausdruck ab (in den reellen Zahlen!) keinen Sinn Gilt jedoch, so ist jeweils der folgende Beweisschritt unzulässig: a) im direkten Beweis auf S 35: ( a + b) 4ab a + b ab b) im indirekten Beweis auf S 38: a + b< ab ( a + b) < 4ab 16 Stünde an dem mit?? markierten Feld eine 1 oder eine, so wäre diese Zahl für die beiden grau schattierten, leeren Felder des oberen Bereichs verboten Das ist ein Widerspruch dazu, dass in einem der beiden Felder eine 1, im anderen eine stehen muss 17 Angenommen, es wäre ab a > + b ab Dann würde daraus folgen: ab a > + b ab Widerspruch! 4a b ( a + b) > ab 4ab > ( a + b) a + ab + b < 4ab a ab + b < 0 ( a b) < 0, 18 A und B können offensichtlich nicht beide die Wahrheit gesagt haben Also ist einer der beiden der Lügner und C hat die Wahrheit gesagt Also ist A der Täter 19 a) Vermutung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n Das heißt: Für alle n gilt: ( n 1) = n b) Induktionsstart (n = 1): 1 = 1, Behauptung stimmt Induktionsschritt: Wir müssen ( n 1) + ( n + 1) = ( n + 1) beweisen unter der Annahme, dass ( n 1) = n gilt: ( n 1) + ( n + 1) = n + ( n + 1) = ( n + 1)

8 8 130 a) Vermutung: n = n b) Induktionsstart (n = 0): 1 = 1, Behauptung stimmt Induktionsschritt: Wir müssen beweisen, dass aus n = n folgt: n + n + 1 = n + 1 Es gilt n + n + 1 = ( n + 1 1) + n + 1 = n Es sind (inklusive Tanja) 5 Personen Die Gläser klingen = 300 mal 13 a) Die erste Karte von Stapel B benötigt keinen Vergleich Die zweite benötigt einen Vergleich, die dritte benötigt zwei Vergleiche,, die 3 Karte benötigt 31 Vergleiche (vorausgesetzt, der ungünstigste Fall ist eingetreten!) Insgesamt sind dies = 496 b) Der ungünstigste Fall tritt ein, wenn der Stapel bereits richtig sortiert ist n( n 1) c) Es ist = 4, = 9, = 16, = 5, Vermutung: Es handelt sich stets um eine Quadratzahl Beweis: n ( n+ 1) ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) = ( n + n + ) = ( n + 1) 134 Die Behauptung lautet: Für alle n gilt: n 3 = n( n+ 1) (1) Induktionsstart (n = 1): 1 = 1, Behauptung stimmt Induktionsschritt: Wir müssen beweisen, dass aus (1) folgt: n 3 + ( n + 1) 3 ( n + 1) ( n + ) = Es gilt

9 n 3 + ( n + 1) 3 n( n+ 1) = ( n + 1) 3 n ( n + 1) = ( n + 1) 3 4 ( n + 1) ( n + 4( n + 1) ) = ( n + 1) ( n + ) = ( n + 1) ( n + ) =