Beweisen in der Schule

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1 Beweisen in der Schule Bildungsplan 2004 (Zitat:) Begründen Elementare Regeln und Gesetze der Logik kennen und anwenden Begründungstypen und Beweismethoden der Mathematik kennen, gezielt auswählen und anwenden 1

2 Elementare Zahlentheorie Definition für m teilt n, kurz m n (m,n,k aus N\{0}) m n genau dann, wenn ex. kmit m k = n. Definition für gerade/ungerade Zahl n gerade genau dann, wenn ex. kmit n = 2 k n ungerade genau dann, wenn ex. k mit n = 2 k+1 (k 0) Begründungsbasis: 1. Rechnen in N, alle Rechenregeln 2. Eindeutige Primfaktorzerlegung 2

3 Der direkte Beweis Satz: Wenn 6 n, dann 3 n. Beweis: 6 n, also n = 6 k ; Defini=on teilt also n = 2 3 k ; elementares Rechnen also n = 3 (2 k); Rechenregeln also n = 3 j mit j=2k also 3 n ; Definition teilt Die Umkehrung ist falsch. 3

4 Der direkte Beweis Satz: Wenn p Primzahl und p n, dann p² n². Beweis: p n, also n = p q 2 K q n ; Primzahlzerlegung von n 2 also n² = ( p q2 K qn ) ; elemen. Rechnen also n² = p q2 K qn ; elemen. Rechnen also p² n² ; elemen. Rechnen Die Umkehrung ist wahr. 4

5 Der direkte Beweis Beweis: [A ᴧ(A B)] B ist Tautologie. 5

6 Der direkte Beweis Aussagenlogische Analyse: [A ᴧ(A B)] B Mehrfache Hintereinanderausführung [A ᴧ(A B)] B [B ᴧ(B C)] C [C ᴧ(C D)] D usw. 6

7 Die Kontraposition Alltagslogik Wenn Fred am in Stuttgart einen Mord verübt hat, dann war er am in Stuttgart. Wenn Fred am nicht in Stuttgart war, dann hat er am in Stuttgart keinen Mord verübt. 7

8 Die Kontraposition A: Fred ist der Mörder B: Fred war in Stuttgart Alltagslogik A B ist genau dann wahr, wenn B A wahr ist. 8

9 Die Kontraposition Beweis: A B ist äquivalent B A 9

10 Die Kontraposition 1. A B und B A sind logisch äquivalent 2. B A heißt Kontraposi=on zu A B 3. StaR A B zu beweisen ist es gleichwer=g B A zu beweisen. Beachte: Umkehrung von A B ist B A. Das ist nicht die Kontraposition 10

11 Die Kontraposition Zeige: Wenn n² gerade, dann n gerade. Beweis mit Kontraposition. Zu zeigen: Wenn n ungerade, dann n² ungerade. n ungerade, also n = 2 k+1 ; Def. ungerade also n² = 4k²+4k+1 ; Algebra also n² = 2(2k²+2k)+1 ; Algebra also n² = 2 j+1 mit j=2k²+2k also n² ungerade 11

12 Beweis durch Widerspruch Ein historisches Beispiel: Galilei ca.1600 Galilei möchte zeigen: Schwere und leichte Körper fallen gleich schnell (im leeren Raum) Er zeigt: Aus der Annahme, dass schwere und leichte Körper verschieden schnell fallen, folgt ein Widerspruch. Also folgert er.... (zum historischen Beispiel siehe Vorlesung) 12

13 Beweis durch Widerspruch Aussagenlogische Form dieses Beweisschemas: [ A (Bᴧ B)] A Bᴧ B ist immer falsch, Name: Kontradiktion Beweis mit Wahrheitstafel: Zeige [ A (Bᴧ B)] A ist immer wahr; Eine Aussage, die immer wahr ist, heißt Tautologie. 13

14 Beweis durch Widerspruch Zeige A: 2 kann man nicht als Bruch a/b schreiben (a,b aus Z) Beweis mit Widerspruch: Annahme: 2 = a/b dann 2 = a²/b² dann 2b² = a² Primfaktor 2 tritt auf der linken bzw. rechtenseite in ungerader Anzahl in gerader Anzahl Widerspruch! Also ist die Annahme 2 = a/b falsch. 14

15 Beweisen in der Schule Den Umfang einer Definition bestimmen (ab. Kl. 5) Unterscheidung: Satz Definition (ab KL.7) Unterscheidung: Satz - Umkehrung (ab Kl.7) Bei einem Satz die Voraussetzung / die Folgerung identifizieren (ab KL.7) 15

16 Beweisen in der Schule Beweis mit Gegenbeispiel (ab Klasse 5) Direkte Beweise (ab Klasse 7) Stellenweise: Kontraposition Beweis mit Widerspruch Fast nie in Klassenarbeiten, Ausnahme MathePlus 16

17 Beweisen in der Schule Didaktik zum Beweisen-Lehren: Der Satz muss dem Sch. beweisbedürftig erscheinen. Dem Sch. muss die Aussage des Satzes vor dem Beweis einsichtig sein. Es muss eine klare Begründungsbasis vorliegen. Falls man eine Beweisidee benötigt, sollte diese nicht vom Himmel fallen. Zeigt ein exemplarischer Beweis das Wesentliche? 17