Tutorium Logik und Beweisführung. Prof. Dr. Mark Groves WS 2018/19

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1 Tutorium Logik und Beweisführung Prof. Dr. Mark Groves WS 2018/ Oktober 2018

2 Aussagen Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr (T) oder falsch (F) ist. Beispiele Saarbrücken ist die Hauptstadt Deutschlands (F) Groves hält sehr gute Vorlesungen (T) Junktoren Wir können Aussagen durch Junktoren kombinieren: Negation: p nicht p p p T F F T Konjunktion: p q p und q p q p q T T T T F F F T F F F F 2

3 Disjunktion: p q p oder q p q p q T T T T F T F T T F F F Subjunktion: p q p impliziert q aus p folgt q falls p dann q p ist eine hinreichende Bedingung für q q ist eine notwendige Bedingung für p p q p q T T T T F F F T T F F T Bijunktion: p q p impliziert und wird impliziert von q p genau dann, wenn q p ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für q p ist äquivalent zu q p q p q T T T T F F F T F F F T p q ist äquivalent zu(p q) (q p): p q p q q p (p q) (q p) T T T T T T F F T F F T T F F F F T T T 3

4 Aussageformen Aussagen können von Variablen abhängen, sie heißen dann Aussageformen. Die Menge aller möglichen Werte von x (x sei die Variable der Aussageform) ist die Grundmenge der Ausssageform. Beispiele P(x) := x ist ein schönes Gebäude Hier ist die Grundmenge die Menge aller UdS-Gebäude. 1. P(Mathematik) (F) 2. P(Informatik) (T) Definitionen Eine Aussageform P(x), die immer wahr ist, heißt Tautologie. Eine Aussageform P(x), die immer falsch ist, heißt Kontradiktion oder Widerspruch. Quantoren Allquantor ( universal quantifier ) xp(x) ( Für alle x gilt P(x) ) Existenzquantor ( existential quantifier ) xq(x) ( Es existiert (mindestens) ein x, so dass Q(x) gilt. ) 4

5 Beispiele P(x) := x ist ein schönes Gebäude Die Grundmenge die Menge aller UdS-Gebäude. 1. xp(x) Alle Gebäude der UdS sind schön (F) 2. xp(x) Ein UdS-Gebäude ist schön (T) Übungen zu Aussageformen und Quantoren Übung 1: Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Grundmenge: Z 1. n(n 2 0) (T) 2. n(n 2 = 2) (F) (mit Grundmenge R wäre diese Aussage wahr) 3. n(n 2 n) (T) 4. n m(n 2 < m) (T) 5. n m(n<m 2 ) (T) 6. n m(n+m=0) (T) (mit Grundmenge N wäre diese Aussage falsch) Übung 2: Formulieren Sie folgende Aussagen mit Hilfe der Aussageform F(x,y) := x mag y. Grundmenge: die Menge der Saarländer. 1. Fred mag Nancy F(Fred,Nancy) 2. Jeder mag Fred xf(x, Fred) 5

6 3. Evelyn mag jedermann yf(evelyn,y) 4. Jeder mag irgendjemanden x yf(x,y) 5. Jeder wird von irgendjemandem gemocht y xf(x,y) oder x yf(y,x) 6. Niemand mag jedermann x yf(x, y) 7. Niemand mag sich selbst xf(x,x) 8. Niemand mag sowohl Fred als auch Jerry xf(x,fred) F(x,Jerry) 9. Nancy mag genau eine Person y 1 F(Nancy,y) y 2 y 2 = y 1 F(Nancy,y 2 ) Abkürzung:!yF(Nancy,y) Verneinung Regeln: 1. xp(x) ist äquivalent zu x P(x) 2. xp(x) ist äquivalent zu x P(X) 3. (p q) ist äquivalent zu p q und (p q) ist äquivalent zu p q (de Morgansche Gesetze) Bemerkungen zur Unzulänglichkeit dieses Aussagenbegriffes Die Definition von Aussage als sprachliches Gebilde, das entweder wahr oder falsch ist, ist zu naiv! 6

7 2 Beweisführung Beispiel P := Diese Aussage ist falsch P ist wahr Pist falsch P ist falsch P ist wahr Es handelt sich hier um Selbstbezug. 2 Beweisführung Ein Satz / Theorem / Lemma ist so aufgebaut: Voraussetzungen(p) Behauptungen(q) Man zeigt: p q Beweismethoden: Direkter Beweis (modus ponens) Wir zeigen direkt, dass p q. Indirekter Beweis (modus tollens) Wir zeigen, dass q p. Hier nutzen wir die Tatsache aus, dass p q und q p (die Kontraposition von p q) äquivalent sind: p q p q q p q p T T T F F T T F F T F F F T T F T T F F T T T T Beweis durch Widerspruch (Reductio ad absurdum) Wir zeigen, dass(p q) F. Hier nutzen wir die Tatsache aus, dass p qund (p q) Fäquivalent sind: p q p q q p q F (p q) F T T T F F F T T F F T T F F F T T F F F T F F T T F F T 7

8 2 Beweisführung Tipps 1. Schreiben Sie immer die Voraussetzung(en) und Behauptung(en) eines Satzes klar hin, bevor Sie mit dem Beweis anfangen. 2. Um p q zu beweisen, müssen Sie p q beweisen q p beweisen Das sind zwei Schritte. 3. Häufige Fehler: p q ist nicht äquivalent zu q p (die Konverse von p q) p q ist nicht äquivalent zu p q p q ist nicht äquivalent zu(p q) T 8