Mathematischer Vorkurs. Prof. Dr. N.Mahnke

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1 Mathematischer Vorkurs Prof. Dr. N.Mahnke

2 Planung Tag 01 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 2

3 Logistik und Literatur I Inhalte: Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 3

4 Logistik und Literatur II Kontakt: Literatur: Erven, Erven, Hörwick; Vorkurs Mathematik ; Oldenbourg Verlag; Auflage: 5.; (2012); ISBN-13: Weiterführende Literatur: Rapp; Mathematik für die Fachschule Technik ; Vieweg+Teubner Verlag; Auflage: 8.; (2012); ISBN-10: , ISBN-13: Erven; Mathematik für Ingenieure ; Oldenbourg Verlag; Auflage: 15.; (2010); ISBN-10: ; ISBN-13: Bronstein ; Taschenbuch der Mathematik ; Harri-Deutsch; Auflage: 7. (2008) ; ISBN-10: ; ISBN-13: ( Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 4

5 Logistik und Literatur III Taschenrechner: Empfehlenswert sind: Casio fx-991-de-x Casio fx-991-de-plus Ti Nspire CX-CAS Sharp EL-W506 ( Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 5

6 Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen einer Veränderlichen Zahlenfolgen und Konvergenz Differenzialrechnung Integralrechnung Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 6

7 Aussagenlogik Dame oder Tiger? (In Frank Stocktons Geschichte Die Lady oder der Tiger wird ein Gefangener von einem König gezwungen zwischen zwei Räumen zu wählen, wobei sich in dem einen eine Dame befindet und in dem anderen ein hungriger Tiger lauert. Wählt er die Dame, kann er sie heiraten und ist frei. Wählt er den Tiger, so wird er zum Frühstück und sein Leben endet.) Der Gefangene steht jetzt vor den zwei Türen und diese sind wie folgt beschriftet: R. Smullyan; Dame oder Tiger? ; Fischer Verlag 1985 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 7

8 Aussagenlogik I Dame oder Tiger? Raum 1 Raum 2 In diesem Raum ist eine Dame und in dem anderen Raum ist ein Tiger. In einem dieser Räume ist eine Dame und in einem dieser Räume ist ein Tiger. Der König lässt den Gefangenen wissen, das ein Schild richtig sei und das andere falsch. Welchen Raum würden Sie wählen? Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 8

9 Aussagenlogik II Dame oder Tiger? Raum 1 Raum 2 Zumindest in einem dieser Räume ist eine Dame. Im anderen Raum befindet sich ein Tiger. Der König lässt den nächsten Gefangenen wissen, das entweder beide Schilder falsch oder richtig seien. Welchen Raum würden Sie jetzt wählen? Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 9

10 Aussagenlogik III Die Aussage Ein sprachliches Gebilde, das seinem Inhalt nach entweder wahr oder falsch ist, nennt man eine Aussage. Die obige Erklärung ist keine Definition des Begriffs Aussage, da sie Begriffe enthält, die ihrerseits wieder definiert werden müssten ( sprachliches Gebilde, Inhalt, ). Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 10

11 Aussagenlogik III Die Aussage Ein sprachliches Gebilde, das seinem Inhalt nach entweder wahr oder falsch ist, nennt man eine Aussage. Die obige Erklärung ist keine Definition des Begriffs Aussage, da sie Begriffe enthält, die ihrerseits wieder definiert werden müssten ( sprachliches Gebilde, Inhalt, ). Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 11

12 Übung 1: Aussagen Welche der folgenden sprachlichen Gebilde sind Aussagen: 1) München ist eine Großstadt 2) Der Mars ist ein Fixstern 3) 7 ist eine Primzahl 4) 2 ist eine nette Zahl 5) Hamburg ist größer als München 6) Mir geht es gut 7) Wie viel Uhr ist es? 8) = 7 Im Falle von Aussagen bestimmen Sie zusätzlich deren Wahrheitsgehalt. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 12

13 Aussagenlogik IV Die Aussage I Vor allem bei Formulierungen der mathematischen Fachsprache ist die Entscheidung über den Wahrheitswert i.a. eindeutig zu fällen. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 13

14 Übung 2: Keine Aussagen Finden Sie drei weitere sprachliche Gebilde, welche keine Aussagen sind. z.b.: 1) Klaus ist klug 2) Kuchen ist gestern noch heute 3) Wie spät ist es? Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 14

15 Aussagenlogik V Die Aussage III Abstraktion: Das Wesentliche an einer Aussage A ist, dass sich der Wahrheitswert von A stets eindeutig feststellen lässt. Wahrheitswerte von A: A Zweiwertigkeit von A: w tertium non datur f Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 15

16 Aussagenlogik X Die Negation Verneinung Zu einer Aussage A ist mit A die Negation dieser Aussage gemeint. A A w f f w Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 16

17 Aussagenlogik VI Die Aussage II Aussagen können durch Verknüpfungen (sog. Junktoren) und, oder, entweder, oder, wenn, dann usw. kombiniert werden. z.b.: -6 ist durch 2 teilbar oder durch 3 teilbar. -Wenn 5 größer als 3 ist, dann ist 2:5 kleiner als 2:3-6 ist durch 2 teilbar und nicht durch 4 Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 17

18 Aussagenlogik VII Zusammengesetzte Aussagen z.b.: Aussage A: 6 ist durch 2 teilbar Aussage B: 6 ist größer als 3 6 ist durch 2 teilbar und 6 ist größer als 3 Alle inhaltlichen Nuancen sollen unbeachtet bleiben. A und B = A B ( : und Verknüpfung; Konjunktion) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 18

19 Aussagenlogik VIII Zusammengesetzte Aussagen I 6 ist durch 2 teilbar und 6 ist größer als 3 : w Beide Teilaussagen sind wahr und damit ist auch die mit verknüpfte Aussage wahr. Wahrheitswertetafel A B A B w w w w f f f w f f f f Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 19

20 Aussagenlogik IX Die Konjunktion und A und B seien Aussagen. A B A B w w w w f f f w f f f f Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 20

21 Übung 3: Wahrheitswertetafel Überprüfen Sie durch Einsetzen von richtigen und falschen Aussagen die Korrektheit der Wahrheitswertetafel der Konjunktion. Verwenden Sie hierzu die folgenden Aussagen: 1) Der Aktienwert steigt 2) Der positive Anstieg des Aktienwerts ist messbar A B Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 21

22 Aussagenlogik XI Die Disjunktion oder/und A und B seien Aussagen. A B A B w w w w f w f w w f f f Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 22

23 Übung 4: Wahrheitswertetafel I Überprüfen Sie durch Einsetzen von richtigen und falschen Aussagen die Korrektheit der Wahrheitswertetafel der Disjunktion. Verwenden Sie hierzu die folgenden Aussagen: 1) Der Aktienwert steigt 2) München ist eine Stadt A B Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 23

24 Aussagenlogik XII Die Alternative entweder, oder A und B seien Aussagen. A B A B w w f w f w f w w f f f Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 24

25 Aussagenlogik XII Die Alternative entweder, oder Beachten Sie, dass sich das sprachliche oder im Gegensatz zum mathematischen oder meist auf die Alternative bezieht und nicht auf die Disjunktion. z.b.: Er kam aus Hamburg oder aus Hannover. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 25

26 Übung 5: Wahrheitswertetafel II A und B seien Aussagen. Erstellen Sie die Wahrheitswertetafel zu: 1) A B 2) A B 3) A B (Fällt Ihnen bei den Wahrheitswerten der einzelnen Kombinationen 1), 2) und 3) etwas auf?) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 26

27 Aussagenlogik XIII Die Äquivalenz genau dann, wenn (Gleichwertigkeit) A und B seien Aussagen. A B A B w w w w f f f w f f f w Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 27

28 Aussagenlogik XIV Die Implikation wenn, dann (Folgerung) A und B seien Aussagen. A B A B w w w A B w f f f w w Prämisse Konklusion f f w Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 28

29 Übung 6: Wahrheitswertetafeln A und B seien Aussagen. Überprüfen Sie die Richtigkeit der Wahrheitswertetafel der Implikation anhand der folgenden Aussagen: Ein Student nimmt die letzte mögliche S-Bahn, die ihn gerade noch rechtzeitig zur Vorlesung bringen kann und stellt fest: Aussage A: Meine S-Bahn hat Verspätung. Aussage B: Ich komme zu spät zur Vorlesung. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 29

30 Aussagenlogik XV Aussageformen An Aussagen interessiert nur der Wahrheitsgehalt. Eine Aussage A ist solange unbestimmt, wie man A keinen Wahrheitswert (wahr, falsch) zuweist. Def.: 1. Jede Wahrheitswertvariable A, B, ist eine Aussageform. 2. A, A B, A B, A B, A B sind Aussageformen. 3. Verkettungen von Aussageformen sind wieder Aussageformen. ((zu 3.) z.b.: A B in A B für A ergibt A B B ) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 30

31 Aussagenlogik XVI Prädikative Aussageformen Tritt innerhalb einer Aussage eine freie Variable (Platzhalter) auf, deren mögliche Werte nicht auf w oder f beschränkt sind, so bezeichnet man diese Form der Aussage als prädikative Aussageform. z.b.: x ist ein Insekt oder auch Das Auto hat die Farbe y Erst die Wahl des Variablenwertes kann die Prädikative Aussageform zu einer Aussage machen. Die Werte für welche die Aussageform zu einer Aussage wird, sind festzulegen. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 31

32 Mengenlehre Was ist Mathematik? Mathematik ist die Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand. Mathematik ist eine Wissenschaft, die selbstgeschaffene, abstrakte Strukturen auf deren Eigenschaften und Muster hin untersucht. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 32

33 Mengenlehre I Woher kommt die Mathematik? Abgeleitet aus der Aussagenlogik basieren die Methoden der Mathematik auf der Mengenlehre. Erklärung des Begriffs Menge Eine Menge A ist eine Zusammenfassung wohlunterschiedener Objekte. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 33

34 Mengenlehre II Bemerkungen - Elemente: Die Objekte a, die in einer Menge A zusammengefasst sind, heißen Elemente dieser Menge (a A). - wohlunterschieden: Jedes Element kann von allen anderen unterschieden werden. - Beispiele für nicht wohlunterschiedene Objekte sind: eine Menge Wasser eine Menge Zucker in den Kaffee - In einer Menge kommt jedes Element nur genau einmal vor. - Eine Menge ist durch Ihre Elemente eindeutig bestimmt. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 34

35 Mengenlehre II Bemerkungen - Elemente: Die Objekte a, die in einer Menge A zusammengefasst sind, heißen Elemente dieser Menge (a A). - wohlunterschieden: Jedes Element kann von allen anderen unterschieden werden. - Beispiele für nicht wohlunterschiedene Objekte sind: eine Menge Wasser eine Menge Zucker in den Kaffee - In einer Menge kommt jedes Element nur genau einmal vor. - Eine Menge ist durch Ihre Elemente eindeutig bestimmt. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 35

36 Mengenlehre III Darstellungen: Aufzählende Darstellung: A { Haus; Fluss; 3 } Mengensymbol Objekte Mengenklammern Bem.: Die Objekte in einer Menge entstammen unserer Anschauung und unserem Denken. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 36

37 Mengenlehre IV Beschreibende Darstellung: Darstellungen: Mengenklammern A { x } Mengensymbol Bedingung an die Elemente x Mengenbildungsoperator Die Menge aller x für die gilt Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 37

38 Mengenlehre IV Beschreibende Darstellung: Darstellungen: z.b.: G {1;2;6;10;11;19} Grundmenge aus der x gewählt wird. A { x x G x 8} {10;11;19} Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 38

39 Übung 7: Mengenlehre Welche der folgenden Mengen sind keine? 1) { x x ist toll} 2) {Haus; Miau; 231} 3) { x x 5} 4) { x; y; z; y} 5) { x;{ x}} 6) { x x 4 x 7} Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 39

40 Mengenlehre V Quantoren In der Aussagenlogik und Mengenlehre beschreiben Quantoren die Beziehung einer Aussage zu der Gesamtheit aller Bezugselemente einer Menge oder zu einem einzelnen Element. Die für uns wichtigsten Quantoren sind: : Allquantor (sprachlich für alle ) : Existenzquantor (sprachlich es existiert (mind.) ein )!: Existenzquantor (sprachlich es existiert genau ein ) Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 40

41 Übung 8: Quantoren Px bedeutet: x ist verheiratet Qx bedeutet: x tanzt gerne Die zwei Aussagen mit Variablen seien über der Menge M der Studenten einer bestimmten Hochschule erklärt. Schreiben Sie die folgenden Aussagen in umgangssprachlicher Formulierung. 1) xm Qx 3) xm Px 5) xm Qx 7) xm ( Qx Px) 2) xm Qx 4) xm Px 6) xm Qx 8) xm Px xm Qx Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 41

42 Mengenlehre V Mengenrelationen: 1) Gleichheit: ( A B) ( x A x B) Die beiden Mengen sind elmentgleich. 2) Teilmenge: ( A B) ( x A x B) 3) Echte Teilmenge: Alle Elemente von A sind auch in B enthalten ( A B) ( A B ( b B b A)) Ein Element von B ist nicht in A, aber alle Elemente von A sind in B enthalten. Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 42

43 Mengenlehre VI Bemerkungen 1) Bezeichnungen: A B Untermenge/ Teilmenge Obermenge 2) Die leere Menge : {} Die elementfreie Menge 3) Zusammenhänge: A A ; A 1) Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst. 2) Die leere Menge ist Teilmenge einer jeden Menge Prof.Dr. Nils Mahnke Mathematischer Vorkurs Folie: 43