Kontraposition und Widerspruch

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1 Kontraposition und Widerspruch Kontraposition und Widerspruch Quick Start Informatik Theoretischer Teil WS2/2. Oktober 2

2 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Kontraposition > Motivation Neue Beweistechnik?? Problem: Es bietet sich kein direkter Weg an. Lo sung: Wir brauchen eine andere Beweistechnik: Beweis durch Kontraposition

3 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Kontraposition > Aussagenlogische Aspekte Was sagt die Wahrheitstafel? p q p q q p q p Fazit p q q p

4 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Kontraposition > Beispiel Ein Beispiel?? Beispiel Wenn a2 ungerade ist, dann ist a ungerade Wir betrachten unsere Aussagen: p a2 ist eine ungerade Zahl q a ist eine ungerade Zahl und deren Negationen: p a2 ist eine gerade Zahl q a ist eine gerade Zahl Beweis siehe Tafel...

5 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Kontraposition > Beispiel.. unsere Aussagenfolge q a ist eine gerade Zahl (Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar) a a ist durch 2 teilbar (Def der Teilbarkeit) a2 a = 2 k fu r eine ganze Zahl k (quadrieren). a3 a2 = 22 k 2 fu r eine ganze Zahl k. (k = 2 k 2 ) a4 a2 ist durch 2 teilbar p a2 ist eine gerade Zahl

6 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Kontraposition > Beispiel.. und (nochmal) professionell Lemma Wenn a2 ungerade ist, dann ist a ungerade Beweis: Beweis durch Kontraposition Wir nehmen an, dass a gerade ist. Dann ist a durch 2 teilbar und hat nach Def der Teilbarkeit die Form a = 2 k fu r eine ganze Zahl k. Durch quadrieren erhalten wir a2 = 22 k 2 = 2 2 k 2 = 2 k mit k = 2 k 2 fu r eine ganze Zahl k. Somit ist a2 durch 2 teilbar und gerade.

7 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Widerspruch Was ist wenn direkt oder Kontraposition versagen? Problem: Wir ko nnen eine Aussage schwer direkt oder mit Kontraposition beweisen. Lo sung: Wir fordern eine dritte Beweistechnik: Beweis durch Widerspruch

8 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Widerspruch Alkohol im Supermarkt Wenn Superma rkte Alkohol an ihre Kunden verkaufen, dann mu ssen die Kunden 8 Jahre alt sein p Der Supermarkt verkauft Alkohol an seine Kunden q Die Kunden sind 8 Jahre alt q Die Kunden sind ju nger als 8 Jahre (p q) Wenn Sie Alkohol an seine Kunden verkauft, dann mu ssen die Kunden 8 Jahre alt sein Polizei u berpru ft: ((p q) f )

9 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Widerspruch Alkohol im Supermarkt Wir vermuten: ((p q) f ) Nachweis: siehe U bung

10 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Widerspruch > Mathematisches Beispiel Beispiel aus der Mathematik Beispiel Wenn a und b gerade natu rliche Zahlen sind, dann ist auch deren Produkt a b gerade. Wir zerteilen die Aussagen: p... q... q...

11 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Widerspruch > Mathematisches Beispiel Beispiel aus der Mathematik Beispiel Wenn a und b gerade natu rliche Zahlen sind, dann ist auch deren Produkt a b gerade. Wir zerteilen die Aussagen: p a und b sind gerade natu rliche Zahlen q a b ist gerade q a b ist ungerade Beweis (siehe Tafel)

12 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Widerspruch > Mathematisches Beispiel.. unsere Aussagenfolge p q : a und b sind gerade natu rliche Zahlen und a b ist ungerade a : a ist gerade und b = 2 k fu r eine natu rliche Zahl k und a b ist ungerade a2 : a ist gerade und a b = 2 k a fu r eine natu rliche Zahl k und a b ist ungerade a3 : a ist gerade und a b = 2 k fu r eine natu rliche Zahl k und a b ist ungerade mit k = k a. f : a ist gerade und a b ist gerade und a b ist ungerade

13 Kontraposition und Widerspruch > Beweis durch Widerspruch > Mathematisches Beispiel.. unsere professionelle Form Beweis: Beweis durch Widerspruch Angenommen zwei natu rliche Zahlen a und b sind gerade und a b ist ungerade. Dann hat b die Form b = 2 k fu r eine natu rliche Zahl k nach Def der Teilbarkeit. Multipliziert man diesen Ausdruck mit a, dann ergibt dies a b = 2 k a. Da 2 k wieder eine natu rliche Zahl ergibt gibt a b = 2 k mit k = a k. Somit ist a b gerade. Widerspruch

14 Kontraposition und Widerspruch > Tipps und Ausblick Ausblick Es gibt in der Informatik noch weitere wichtige Beweistechniken: Beweis durch vollsta ndige Induktion (fu r natu rliche Zahlen) Beweis atomarer Aussagen Beweis mit Fallunterscheidung...

15 Kontraposition und Widerspruch > Tipps und Ausblick Es ist darauf zu achten, dass keine Gedankenspru nge in dem Beweis enthalten sind. Jede Folgerung, die man trifft, sollte klar sein Eine Angabe der Beweistechnik am Anfang hilft dem Leser dem Beweis zu folgen Beweise sollen mo glichst pra zise und genau sein, sodass der Leser die Gedankenga nge vollsta ndig nachvollziehen kann Eine Kennzeichnung am Ende eines Beweises (z.b. durch ), auch wenn es dem Schreiber klar erscheint, ist fu r den Leser hilfreich Am Ende von la ngeren Beweisen ist ein kurzer Satz, was ihr gezeigt habt, hilfreich

16 Kontraposition und Widerspruch > Tipps und Ausblick noch Fragen??? Quelle Bild: fragezeichen.png