Beweis der Existenz von genau 5 platonischen Körpern anhand der Eulerschen Polyederformel

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1 Platonische Körper.nb 1 Beweis der xistenz von genau 5 platonischen Körpern anhand der ulerschen Polyederformel Daniel Bauernfeind, Dietmar Kerbl, Dodekaeder Tetraeder Ikosaeder Würfel Oktaeder

2 Platonische Körper.nb 2 1) Abstract In diesem Paper gehts es um die Beweis, dass es nur 5 Platonische Körper geben kann, in Anbetracht der uler'schen Polyederformel. Bevor man dies jedoch bewerkstelligen kann muss klar definiert werden, welche igenschaften ein Körper haben muss, um als Platonischer Körper zu gelten. Die uler'sche Polyederformel kann mittels Induktion bewiesen werden. Die xistenz der 5 Platonischen Körper kann zusätzlich anhand der Winkeldefekte der Polyeder anschaulich erklärt werden. 2) Introduction: Benannt sind die Platonischen Körper nach dem griechischen Philosophen Platon ( ca v. Chr.). Für ihn war die Tatsache, dass es nur fünf dieser Körper geben kann, so bedeutend, dass er sie in seiner Lehre den vier antiken lementen bzw. dem Kosmos zuordnete: Tetraeder - Feuer, Würfel - rde, Oktaeder - Luft, Ikosaeder - Wasser, Dodekaeder - Kosmos. Der Schweizer Mathematiker uler ( ) entdeckte die Polyederformel, welche cken-, Kanten- und Flächenzahl nicht nur eines Platonischen Körpers, sondern eines beliebigen, konvexen, von ebenen Vielecken begrenzten Körpers miteinander verbindet. Mitte des 20. Jahrhunderts schuf der Architekt Buckminster Fuller riesige Kuppelbauten in Form "abgerundeter" Ikosaeder, z. B. beim US-Pavillon auf der Weltausstellung xpo67 in Montreal. [3] Zunächst definieren wir die Begriffe: * Polyeder * Konvexe Polyeder * Reguläre Polyeder Der Beweis der ulerschen Polyederformel wird im Folgenden mittels vollständiger Induktion durchgeführt. Für den gültigen Beweis des Satzes, es gibt genau 5 reguläre Polyeder, sind dann Beziehungen zwischen Kanten, cken und Flächen herzustellen und in die Polyederformel einzusetzen. Weiters wird auch die Überlegung angestellt, die Anzahl der Platonischen Körper mittels Winkeldefekte anschaulich zu erklären. Am nde des Papers wird das rgebnis der 5 Körper in Tabellenform angegeben und die Verbindung zum Beweis hergestellt.

3 Platonische Körper.nb 3 3) For the Users: Definition: in Polyeder ist ein Gebilde im Raum ( Ñ 3 ), das durch endlich viele ebene Flächen (benen beziehungsweise Halbebenen) begrenzt wird. Diese Begrenzungsflächen bilden reguläre oder nichtreguläre Polygone (Vielecke). in Polyeder P heißt konvex, wenn jede Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten aus P nur Punkte aus P enthält. So eine Strecke verläuft also niemals außerhalb des Polyeders. ine Fläche (F) eines Polyeders P ist der Teil von P, der auf einer Begrenzungsebene liegt. (Zum Beispiel sind die Flächen eines Würfels Quadrate.) Zwei Flächen, die mehr als einen Punkt von P gemeinsam haben, schneiden sich in einer Kante (K). in Punkt von P heißt cke (), falls an ihm mindestens 3 Flächen angrenzen. in reguläres Polyeder ist ein konvexes Polyeder mit folgenden zusätzlichen igenschaften: a.) Jede Fläche eines regulären Polyeders ist ein reguläres n-ck. Das heisst alle Seitenlängen des n-cks sind gleich. ( n 3 ) b.) An jeder cke eines regulären Polyeders treffen genau m Kanten zusammen. ( m 3 ) [1] Satz: ulersche Polyederformel Für jedes konvexe Polyeder gilt die invariante Beziehung: - K + F = 2 Beispiel: Am einfachen Beispiel des Würfels sieht man, dass es Polyeder gibt, bei denen in jeder cke gleich viele Kanten zusammenlaufen (nämlich 3), und jede Fläche von gleich vielen Kanten berandet wird (nämlich 4). s gilt also für jeden Würfel: = 8 F = 6 K = 12 Wir sehen hier auch, dass die Polyederformel gilt: Satz: Die fünf platonischen Körper sind die einzigen regulären Polyeder Die in der Tabelle angeführten Körper sind eben diese Platonischen Körper. Name Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Würfel Dodekaeder Oberflächenform gl.seitige Dreiecke gl.seitige Dreiecke gl.seitige Dreiecke Quadrate regelmäßige Fünfecke n, m 3, 3 3, 4 3, 5 4, 3 5, 3 : F : K: Den Beweis dazu finden Sie im nachfolgenden Teil

4 Platonische Körper.nb 4 4)Details for the Insiders Satz: ulersche Polyederformel Für jedes konvexe Polyeder gilt die invariante Beziehung: - K + F = 2 Beweis: Wir vereinfachen die Situation, indem wir das Polyeder in die bene projezieren. Dabei wird eine Fläche entfernt und das entstehende Gebilde flach in die bene ausgebreitet. (siehe Skizze). Die Anzahl der cken, Kanten und Flächen bleibt gleich, weil die entfernte Fläche der äüßeren, quasi "unendlichen" Fläche zugeordnet wird. Das Bild dieser Projektion wird Polyedernetz genannt. Hier eine Skizze für den Würfel: Wir können nun den Polyedersatz von uler mit Induktion über die Anzahl der Kanten K beweisen: Induktionsannahme: - K + F= 2 ó + F = K + 2 Induktionsanfang: K = 1 s gibt nur 2 verschiedene Netze die dies erfüllen. Für Beide gilt die Beziehung. Im ersten Fall ist = 2, F = 1 und K = 1. Im zweiten Fall ist = 1, F = 2 und K = 1. Induktionsschritt von K auf K+1: Sei a ein Netz mit b = K+1 Kanten, cken und z Flächen. zu zeigen ist also: + F = K + 2 Wir unterscheiden 3 Fälle. 1. Fall: Die neue Kante ist eine sogenannte "Schlinge" (wie im zweiten Fall bei der Skizze oben), das heisst die Anzahl der Flächen erhöht sich um eins ( z = F+1 ) und die Anzahl der cken bleibt gleich. ( = ) + z = b + 2 ó + (F + 1) = (K + 1 )+ 2 ó + F = K Fall: Die neue Kante verbindet zwei vorhandene cken, dadurch wird eine vorhandene Fläche in zwei Flächen zerlegt. Das heisst z = F+1 und =. Wie im Fall 1 gilt wieder die Polyederformel. 3. Fall: Die neue Kante verbindet eine neue, und eine vorhandene cke. Das heisst = + 1 und die Anzahl der Flächen bleibt gleich ( z = F ) + z = b + 2 ó ( + 1) + F = (K + 1) + 2 ó + F = K + 2 [2], [4] à

5 Platonische Körper.nb 5 Satz: Die fünf platonischen Körper sind die einzigen regulären Polyeder Beweis: Wir gehen nun von einem allgemeinen regulären Polyeder RP mit cken, F Flächen und K Kanten aus. Mit Hilfe von n und m lassen sich folgende Beziehungen herstellen: Da an jeder cke von RK genau m Kanten angrenzen, zählt *m alle Kanten, aber jede genau zweimal, da sie ja genau zwei cken hat. Weiters hat jede Fläche F genau n Begrenzungskanten. Daher ist F*n die Anzahl aller Kanten, wieder jede doppelt gezählt. Jede Kante begrenzt genau zwei Flächen. Also ergibt sich: K = *m ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 F = 2*K ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ n (1) (2) Da die ulersche Polyederformel für alle konvexen Polyeder gilt, insbesondere auch für reguläre Polyeder. Wir setzten also in die Formel ein und erhalten folgende Gleichung: - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ *m + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2*K 2 n Wir bringen die rechte Seite auf gemeinsamen Nenner. * ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ *m*n + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2*2*K Wir ersetzten das verbleibende K noch einmal durch *m ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2. * ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ *m*n + *m 4* ÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2 ÄÄÄÄ Vereinfacht ergibt sich. * ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ *m*n + ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 2**m ( - m*n + 2*m) Wir heben nun ÄÄÄÄÄÄÄÄ heraus. Wir betrachten nun den Ausdruck im Inneren der Klammer näher: - m*n + 2m Sehe mir dazu den Ausdruck (n-2)*(m-2) an: (n-2)*(m-2) = n*m - 2*m Man sieht, dass 3 Produkte mit negativem Vorzeichen aus meinem "Klammerausdruck" darin vorkommen. Das heißt ich kann meinen Klammer Ausdruck - m*n + 2m umformen auf 4 - (n-2)*(m-2) und erhalte die neue Gleichung: ÄÄÄÄÄÄÄÄ [4 - (n - 2)*(m - 2)] Wir dividieren nun durch ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ und erhalten: 4*n ÄÄÄÄÄÄÄÄ = 4 - (n - 2)*(m - 2) Da die Zahl ÅÅÅÅÅÅÅÅ 4*n offensichtlich positiv ist, muss auch die rechte Seite der Gleichung positiv sein und es ergibt sich folgende Ungleichung:

6 Platonische Körper.nb (n - 2)*(m - 2) > 0 beziehungsweise 4 > (n - 2)*(m - 2) Weiters wissen wir aus der Definition, dass n, m 3 gelten muss. Wenn man nun für n - a und für m - b setzt sieht man, dass a und b 1 gelten muss. Also: Für welche a und b e Í ist a*b < 4 erfüllt? Für (a, b) gibt es, wie man leicht sieht, nur folgende Möglichkeiten: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1) Daraus ergeben sich für n und m folgende Möglichkeiten für die (n, m) - Paare: (3, 3) (3, 4) (3, 5) (4, 3) (5, 3) [1] Man könnte dieses rgebnis auch anders interpretieren. Wir bezeichnen den Winkeldefekt einer cke eines konvexen Polyeders als die Differenz zwischen dem Vollkreis, also 360, und der Summe aller Winkel in den cken derjenigen Flächen, die in dieser Polyederecke zusammenstoßen. Da an den cken unserer Polyeder mehrere gleiche Flächen zusammentreffen, muss ein Winkeldefekt entstehen, damit der Körper nicht in der bene bleibt. Ausserdem müssen es mindestens drei Flächen sein. Regelmäßige Dreiecke haben einen Innenwinkel von 60, Quadrate 90, regelmäßige Fünfecke 108 und regelmäßige Secksecke 120. Drei Sechsecke kommen also gar nicht mehr in Frage, weil 3*120 schon 360 sind, damit ist kein Winkeldefekt mehr vorhanden. Das heisst man kann aus Sechs- oder "Nochmehr"- cken keine regelmäßigen Polyeder bauen. Bleiben Fünfecke, von denen man nur genau drei nehmen kann, Vierecke von denen man ebenfalls nur genau drei nehmen kann, und Dreiecke, von denen bis zu fünf an einer cke zusammenstoßen können, denn 60*5 < 360. [5] Mit dieser Interpretation und mit Hilfe der Gleichungen (1) und (2) läßt sich nun folgende Tabelle für die cken, Flächen und Kanten unserer regulären Polyeder berechnen. Name Tetraeder Oktaeder Ikosaeder Würfel Dodekaeder Oberflächenform gl.seitige gl.seitige gl.seitige Quadrate regelmäßige Dreiecke Dreiecke Dreiecke Fünfecke n,m 3, 3 3, 4 3,5 4,3 5, 3 : F: K:

7 Platonische Körper.nb 7 5.) Quellenangabe [1] Pierre Basieux; "Die Top Ten der schönsten mathematischen Sätze"; 4. Auflage Juli 2002; Seiten [2] J.Wallner,Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie,TU Wien; "Geometrie für den Mathematikunterricht (Unterlagen)"; Proseminar Wintersemester 2003/2004; Kapitel [3] Anette Götz:"Platonische Körper"; [4] (ulersche Polyederformel) [5] "Fabi"; "Die fünf platonischen Körper";