1 Mengen und Aussagen

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1 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag $Id: mengen.tex,v /11/01 14:19:48 hk Exp $ $Id: beweise.tex,v /11/05 06:40:11 hk Exp $ 1 Mengen und Aussagen Wir haben jetzt Allaussagen (x M) : A(x) und Existenzaussagen (x M) : A(x) eingeführt. Diese scheinen sich zwar formal recht ähnlich zu sein, inhaltlich unterscheiden sie sich jedoch grundlegend voneinander. Um eine Allaussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man sich ein beliebiges Element x M der zugrundeliegenden Menge M vorgeben und für jedes solche die Aussage A(x) beweisen. Es reicht nicht dies für einzelne x M zu tun. Als ein Beispiel nehmen wir einmal M = N\{0, 1} = {, 3, 4,...} und A(n) = ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = 1 letzteres für jedes n N. Probieren wir etwa n = so sind n 5 5 = 7 und (n+1) 5 5 = 38 und wir haben ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = 1. Verwenden wir dann einen Computer, so kann man leicht etwa alle Werte n durchprobieren und die beiden Zahlen n 5 5 und (n + 1) 5 5 stellen sich immer als teilerfremd heraus. Als ein Beweis der Aussage (n M) : A(n) reicht das aber nicht aus, selbst eine so große Zahl von Beispielen hat keine Beweiskraft. Andererseits reicht ein einzelnes Gegenbeispiel aus die Allaussage zu widerlegen, und nehmen wir etwa n = , so ist ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = > 1. Ganz anders sieht dies bei einer Existenzaussage aus. Um eine Aussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man nur ein einziges x M finden für welches die Aussage A(x) gilt. Idealerweise geschieht dies durch möglichst direkte Angabe solch eines x, aber dies ist nicht zwingend verlangt, es gibt Beispiele bei denen man die Existenz eines x einsehen kann, ohne die geringste Idee zu haben wie solches x konkret beschaffen kann. Von Bedeutung sind oftmals auch die Verneinungen von All- und Existenzaussagen. Überlegen wir uns zunächst wann eine Allaussage (x M) : A(x) falsch ist. Wie im obigen Beispiel reicht hierfür ein einzelnes x M aus so, dass A(x) falsch ist. In anderen Worten ist die Verneinung einer Allaussage eine Existenzaussage, nämlich (x M) : A(x) = (x M) : A(x). Entsprechend ist eine Existenzaussage (x M) : A(x) falsch, wenn wir eben kein Element x von M finden können für das A(x) wahr ist, d.h. wenn die Verneinung A(x) für jedes Element x von M wahr ist. Die Verneinung einer Existenzaussage wird damit eine Allaussage (x M) : A(x) = (x M) : A(x). 3-1

2 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Bei Verneinung drehen sich als All- und Existenzquantoren um, d.h. Allquantoren werden zu Existenzquantoren und Existenzquantoren werden zu Allquantoren. Sind beispielsweise M, N zwei Mengen und A(x, y) eine Aussage über Elemente x M und y N, so wird (x M) (y N) : A(x, y) = (x M) : (y N) : A(x, y) = (x M) (y N) : A(x, y). Entsprechend kann man in allen solchen Fällen vorgehen, zum Verneinen werden alle Quantoren umgedreht und die innere Aussage verneint. Zum Abschluß wollen wir noch einen Zusammenhang zwischen Aussagen und Mengen beschreiben. Neben den bisher beschriebenen Methoden zur Bildung von Mengen gibt es noch eine weitere Konstruktionsmethode bei der aus einer gegebenen Menge durch eine Bedingung an die Elemente dieser Menge eine Teilmenge ausgewählt wird. Als ein Beispiel nehmen wir einmal die Menge P der Primzahlen. Primzahlen n sind spezielle natürliche Zahlen n N, und zwar diejenigen die nicht Eins sind und keinen von 1 und n verschiedenen Teiler besitzen. Letzteres ist eine Bedingung A(n) an die Elemente von N, und man schreibt P = {n N n 1und es gibt keinen Teiler m von n mit 1 < m < n}. } {{ } A(n) Allgemein schreibt man {x M A(x)} = { Menge aller Element x M, die die Bedingung A(x) an Elemente von M erfüllen. Beachte das es hier nur erlaubt ist, eine Teilmenge aus einer bereits vorhandenen Grundmenge M auszuwählen. Man ist versucht auch freie Mengenbildungen also {x A(x)} für die Menge überhaupt aller mathematischen Objekte x, die die Bedingung A(x) erfüllen, zuzulassen. Diese harmlos aussehende Schreibweise führt aber sofort in verheerende Widersprüche. Der bekannteste solche Widerspruch ist die sogenannte Russelsche Antinomie. Bei dieser versucht man die Menge R := {x x ist eine Menge mit x / x} zu bilden. Es gibt dann zwei Möglichkeiten, entweder ist R ein Element von R oder nicht, und wir wollen beide Möglichkeiten einmal durchgehen. Ist R R, so ist R nach Definition von R eine Menge die sich nicht selbst als Element enthält, also haben wir R / R. Dies geht natürlich nicht, und damit scheidet diese Möglichkeit aus. Daher muss wohl R / R gelten. Aber dann ist R ja eine Menge die sich nicht selbst als Element enthält, und dies bedeutet wiederum R R, und auch diese Möglichkeit scheidet aus. So etwas wie die Menge R darf also nicht existieren, und tatsächlich haben wir die obige Mengenbildung durch das Bestehen auf einer vorgegebenen Grundmenge auch 3-

3 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag ausgeschlossen. Natürlich könnte es trotzdem einen komplizierteren Widerspruch geben, der nur unsere erlaubten Mengenbildungen verwendet, aber ein solcher ist bislang nicht aufgetaucht. Auch die Operationen des Schneidens, Vereinigens und Komplementbildens von Mengen lassen sich alternativ über die Bildung von Teilmengen durch Auswahlbedingungen beschreiben. Beispielsweise ist für je zwei Mengen A, B A B = {x A x B} = {x B x A} = {x x A x B}. Der letzte dieser drei Ausdrücke sieht dabei wie die eben gerade verbotene freie Mengenbildung aus. In diesem speziellen Fall kann man sie aber doch erlauben, da durch die Bedingung A(x) = x A x B ja implizit eine Grundmenge gegeben ist. Ebenso sind A B = {x x A x B}, A\B = {x A x / B}. In diesem Sinne entspricht das Schneiden von Mengen der und Verknüpfung von Aussagen, und das Vereinigen entspricht der oder Verknüpfung. Die Beweismethoden Es gibt drei verschiedene Beweismethoden, der direkte Beweis, der indirekte Beweis und die sogenannte vollständige Induktion. Die ersten beiden Methoden sind sehr allgemeiner Natur während die vollständige Induktion auf Aussagen eines speziellen Typs beschränkt ist. Diese drei Methoden sind nur die prinzipiellen Grundmethoden. Beweise komplizierterer Aussagen setzen sich in der Regel aus vielen kleinen Teilbeweisen zusammen, die dann ihrerseits jeweils eine der Grundmethoden verwenden. Wir beginnen mit dem einfachsten der drei Grundtypen, dem direkten Beweis. Zu zeigen ist eine Implikation A B, wobei A die Voraussetzungen sind und B die Behauptung ist. Bei einem direkten Beweis gibt man eine logische Folgerungskette an, die bei den Vorausetzungen A beginnt und mit der Behauptung B endet. Als ein Beispiel für einen direkten Beweis, wollen wir die folgende Behauptung verwenden: Für alle x, y R mit x, y 0 ist xy x + y. Die Voraussetzungen A und die Behauptung B sind hier A = x, y R x, y 0, B = xy x + y. 3-3

4 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Wir wollen an diesem Beispiel auch gleich einen der typischen Anfängerfehler vorführen, und geben daher zunächst einen fehlerhaften Beweis an: ab a + b = ( ) a + b (a + b) ab = 4 = 4ab a + ab + b = a ab + b 0 = (a b) 0 ist wahr. = a + ab + b 4 (quadrieren) Leider ist das kein Beweis, und zwar weder ein Beweis unserer Behauptung noch von irgend etwas. Für einen direkten Beweis müsste man von der Voraussetzung ausgehend auf die Behauptung schließen, aber hier sind wir anstelle dessen von der Behauptung ausgegangen und haben gezeigt das aus dieser eine wahre Aussage folgt. Dies besagt aber nichts, denn aus einer falschen Aussage folgt ebenso eine wahre Aussage. Die eigentliche Rechnung ist aber schon in gewissen Sinne in Ordnung, sie ist nur falsch organisiert. Was eigentlich gemeint ist, ist dass die letzte Aussage (a b) 0 wahr ist, und aus dieser folgt dann a ab b 0 und aus dieser folgt weiter (a + b) = a + ab + b 4ab, also (a + b) /4 ab, und das Ziehen der Wurzel ergibt schließlich (a + b)/ (ab). Die korrekte Schlußrichtung ist hier also von unten nach oben, wir müssen den falschen Beweis nur umdrehen um den korrekten Beweis zu erhalten. Die korrigierte Version ist somit wie folgt. Es gilt a ab + b = (a b) 0, und Addition mit 4ab liefert (a + b) = a + ab + b = a ab + b + 4ab 4ab, also (a + b) /4 4. Die Monotonie der Wurzel liefert schließlich die Behauptung (a + b)/ ab. Damit haben wir einen direkten Beweis unserer Behauptung angegeben. In diesem Beispiel sehen wir auch, dass die logische Reihenfolge in einem Beweis von der Reihenfolge der eigentlichen Überlegungen abweichen kann, auch wenn dies nicht immer so extrem wie in diesem Beispiel ist. Wir hatten früher schon bemerkt, dass ein Beweis nicht nur die Korrektheit einer Aussage belegen soll, sondern diese auch erklären soll. Dagegen ist es nicht die Aufgabe eines Beweises zu dokumentieren wie man auf den Beweis oder die Aussage kommt. Soviel zum direkten Beweis. Wir kommen jetzt zur zweiten Beweismethode, dem indirekten Beweis oder Widerspruchsbeweis. Auch bei diesen ist eine Aussage A B zu beweisen. Wie immer beim Beweis einer Implikation nehmen wir an, dass die Aussage A gilt, und bei einem Widerspruchsbeweis nehmen wir weiter an, dass die Aussage B falsch ist. Dann wird aus der Aussage A ( B) ein Widerspruch hergeleitet, d.h. wir finden eine Aussage C von der wir zeigen können das sowohl C als auch die Verneinung C wahr sind. Da dies nicht möglich ist, muss die Annahme das B falsch ist selbst falsch gewesen sein, d.h. B ist wahr. Das Urbeispiel eines Widerspruchsbeweises ist der Beweis der Irrationalität von. Die zu beweisende Aussage ist hier B : / Q. 3-4

5 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Nehmen wir also an B wäre falsch, d.h. es ist Q. Da rationale Zahlen definitionsgemäß Brüche ganzer Zahlen sind, und da > 0 ist, gibt es dann natürliche Zahlen p, q N mit p, q 1 und = p/q. Durch Auskürzen kann man weiter annehmen das p und q keine gemeinsamen Teiler haben. Dies ist dann unsere Aussage C : p und q haben keine gemeinsamen Teiler mit der wir einen Widerspruch erhalten werden. Hierzu rechnen wir = = ( ) p = p q q, und somit ist auch p = q. Damit ist p ein Vielfaches von, also gerade. Andererseits sind Produkte ungerader Zahlen wieder ungerade, und damit muss p selbst gerade sein, da sonst p ungerade wäre. Damit erhalten wir die natürliche Zahl r := p N mit p = r. Setzen wir dies in unsere Gleichung ein, so folgt q = p = (r) = 4r, also auch q = r. Genau wie bei p muss q damit gerade sein. Somit ist aber ein gemeinsamer Teiler von p und q, wir haben also C. Dies ist ein Widerspruch, und somit ist tatsächlich irrational. Während der direkte und der indirekte Beweis auf ganz allgemeine Aussagen anwendbar sind, ist die dritte, jetzt zu diskutierende, Beweismethode nur für eine spezielle Sorte von Aussagen verwendbar. Die vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, um Aussagen über alle natürlichen Zahlen zu beweisen, genauer geht es um Allaussagen der Form (n N) : A(n), wobei A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen n ist. Ein Beispiel einer solchen Aussage ist n(n + 1) A(n) : n = für n N. Dabei interpretieren wir die bei n = 0 auftretende leere Summe als Null. Ein Induktionsbeweis erfolgt in zwei Schritten: 1. Induktionsanfang: Zeige das die Aussage A(0) gilt.. Induktionsschritt: Hier ist zu zeigen, dass aus A(n) für n N auch A(n + 1) folgt, d.h es ist die Allaussage (n N) : A(n) A(n + 1) zu beweisen. Den Induktionsschritt unterteilt man meistens in zwei Teile: (a) Induktionsannahme: Sei n N mit A(n) gegeben. 3-5

6 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag (b) Induktionsschritt: Zeige, dass auch A(n + 1) gilt. Haben wir Induktionsanfang und Induktionsschritt erfolgreich durchgeführt, so besagt das Prinzip der vollständigen Induktion, dass die Aussage A(n) für jedes n N wahr ist. Ein häufiges Mißverständnis besteht darin zu glauben, dass man beim Induktionsschritt bereits weiss das A(n) wahr ist. Dies ist aber nicht der Fall, alles was gezeigt wird ist die Implikation A(n) A(n + 1) und wie immer beim Beweis einer Implikation kann man annehmen das die Voraussetzung der Implikation, also A(n), wahr ist denn andernfalls ist die Implikation sowieso wahr. Als ein Beispiel wollen wir die Formel n = n(n + 1) für alle n N per vollständiger Induktion beweisen. Dies bedeutet die Gültigkeit von (n N) : A(n) mit der Aussage für n N. A(n) : n = n(n + 1) Induktionsanfang: Der Induktionsanfang ist was sicherlich wahr ist. A(0) : 0 = 0 (0 + 1), Induktionsannahme: Sei n N mit n = n(n+1). Induktionsschritt: Wir müssen einsehen das auch A(n + 1), also (n + 1) = wahr ist. Mit der Induktionsannahme ergibt sich (n + 1) = (1 + + n) + (n + 1) = und der Induktionsschritt ist durchgeführt. = (n + 1)(n + ) n(n + 1) + (n + 1) n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1)(n + ), Per vollständiger Induktion ist damit A(n) für alle n N bewiesen. Überlegen wir uns kurz warum ein Induktionsbeweis funktioniert. Im Induktionsanfang wird A(0) nachgewiesen und im Induktionsschritt wird weiter A(n) A(n + 1) für alle n N gezeigt. Mit n = 0 wissen wir insbesondere A(0) A(0 + 1) = A(1), 3-6

7 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag d.h. A(0) und die Implikation A(0) A(1) sind wahr und somit ist auch A(1) wahr. Mit n = 1 haben wir dann auch A(1) A(1 + 1) = A() und da wir A(1) bereits eingesehen haben, ist auch A() wahr. So fortfahrend sind dann auch A(3), A(4),..., und immer so weiter, wahr. Da wir so bei jeder natürlichen Zahl n N vorbeikommen ist A(n) für jedes n N wahr. Dies sollte Sie von der Gültigkeit der Methode der vollständigen Induktion überzeugen. Es ist allerdings kein exaktes Argument für diese, da wir das Problem in dem harmlos aussehenden und so weiter versteckt haben. Bevor wir mit der vollständigen Induktion fortfahren, wollen wir noch eine nützliche Abkürzung einführen, das sogenannte Summenzeichen. Man schreibt beispielsweise für n N k = n. Das große Sigma ist hier das Summenzeichen und k der sogenannte Summationsindex. Das Summenzeichen n a k wird so interpretiert das k die Werte von 1 bis n durchläuft, für jedes solche k die Zahl a k gebildet wird und alle diese Zahlen aufsummiert werden. Beispielsweise sind 6 k = = = 86 oder k=3 4 1 k = = 5 1. Oftmals läßt man den Summationsindex auch über eine kompliziertere Menge laufen, die dann in der Regel unterhalb des Summenzeichens beschrieben wird, beispielsweise 1 k 10 k Primzahl 1 k = = Der Summationsindex ist eine der letztes Mal erwähnten formalen Variablen, insbesondere gibt es ihn nur innerhalb der Summe und nicht außerhalb. Bei komplexeren Summen dürfen auch mehrere Summationsindizes gleichzeitig verwendet werden, beispielsweise 1 i<j 3 1 i + j = = = Hier durchlaufen die Summationsindizes i, j die möglichen Werte (i, j) = (1, ), (1, 3) und (, 3). Sind a 1,..., a n, b 1,..., b n und c beliebige Zahlen, so gelten offenbar (a k + b k ) = a k + (ca k ) = c 3-7 a k. b k und

8 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Entsprechende Formeln gelten dann natürlich auch für die Summation über kompliziertere Indexbereiche. Wir wollen jetzt auch noch eine kleine Variante der vollständigen Induktion besprechen, bei der eine Aussage A(n) nicht unbedingt für alle n N bewiesen wird sondern für alle n ab einem Startwert n 0 N. Zu beweisen ist also die Allaussage (n N, n n 0 ) : A(n), und für eine vollständige Induktion müssen die folgenden drei Bestandteile durchgeführt werden: Induktionsanfang: Die Aussage A(n 0 ) ist wahr. Induktionsannahme: Sei n N mit n n 0 und A(n). Induktionsschritt: Zeige das dann auch A(n + 1) gilt. Beachte das wir in der Induktionsannahme zusätzlich zu A(n) auch noch annehmen das n n 0 ist, dies kann durchaus wesentlich sein. Haben wir die obigen drei Schritte durchgeführt, so besagt das Prinzip der vollständigen Induktion, dass die Aussage A(n) für alle n N mit n n 0 gilt. Als ein Beispiel wollen wir die Aussage n > n für n N untersuchen. Diese ist nicht für jedes n N wahr, für die kleinen Werte von n haben wir n n n und somit versuchen wir unser Glück mit dem Startwert n 0 = 5. Wir wollen also n > n für alle n N mit n 5 beweisen. Unsere Aussage A(n) ist hier A(n) : n > n. Wir führen die vollständige Induktion durch Induktionsanfang: Es ist 5 = 3 > 5 = 5, also gilt A(5). Induktionsannahme: Sei n N mit n 5 und n > n gegeben. Induktionsschritt: Da insbesondere n 3 ist haben wir dann Es folgt n = n n 3n = n + n > n + 1. n+1 = n > n = n + n > n + n + 1 = (n + 1), und wir haben auch A(n + 1) eingesehen. 3-8

9 Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag Per vollständiger Induktion ist damit n > n für alle n N mit n 5 bewiesen. In den allermeisten Fällen ist der Induktionsanfang wie in diesen Beispielen eine recht banale Angelegenheit. Trotzdem ist er unverzichtbar, der Induktionsschluß kann auch bei falschen Aussagen funktionieren. Nehmen wir einmal die offensichtlich unsinnige Aussage n > n + 1 als unser A(n). Ist dann n N mit A(n), also n > n + 1, so folgt durch Addition mit Eins auch n + 1 > (n + 1) + 1, also A(n + 1). Der Induktionsschluß ist hier also problemlos möglich, der Anfang natürlich nicht. Dies ist kein seltenes Phänomen, nehmen Sie einmal an die Aussage A(n) ist für jedes n N falsch. Da aus falschem alles folgt, gilt dann A(n) A(n + 1) für jedes n N, der Induktionsschluß funktioniert also immer wenn die Aussage A(n) niemals richtig ist. 3-9

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