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1 $Id: reell.tex,v /10/30 10:58:10 hk Exp $ 1 Die reellen Zahlen 1.2 Aussagen und Mengen Wir beschäftigen uns gerade mit den verschiedenen Methoden zur Beschreibung von Mengen. 5. Als nächstes Beispiel wollen wir die Menge M aller geraden natürlichen Zahlen hinschreiben. Eine naheliegende Schreibweise hierfür ist M = {0, 2, 4, 6, 8,...}. Eine derartige Pünktchen-Schreibweise muss man aber sehr sparsam verwenden, es muss wirklich unmissverständlich und ohne jeden Spielraum klar sein wofür die Auslassungspunkte stehen. Beispielsweise kann man bei der Menge N = {1, 7, 289,...} bestenfalls raten was damit gemeint sein soll, und so etwas geht auch nicht als sinnvolle Mengenbeschreibung durch. Eine pünktchenfreie alternative Beschreibung der Menge M der geraden Zahlen kann man durch Parametrisierung der Elemente erhalten. Eine gerade natürliche Zahl ist ja definitionsgemäß eine Zahl die man als 2 n für eine andere natürliche Zahl n schreiben kann, und durchläuft n die natürlichen Zahlen, so durchläuft 2 n die geraden Zahlen. Dies führt auf die Schreibweise M = {2n n N}. Dies ist dann ein Beispiel einer Mengendefinition durch allgemeine Aufzählung der Elemente, rechts vom Strich stehen eine formale Variable und ein Wertebereich für diese und links vom Strich steht eine Formel mit der freien Variablen n. Anstelle des senkrechten Strichs werden hier auch andere Trennsymbole verwendet, etwa Komma, Semikolon, Doppelpunkte und so weiter. 6. Die Schreibweise des vorigen Beispiels kann man jetzt auch auf kompliziertere Situationen ausdehnen in denen gleich mehrere laufende Variablen vorkommen. Als ein Beispiel wollen wir einmal die Menge M aller natürlichen Zahlen hinschreiben, die sich als eine Summe von zwei Quadraten schreiben lassen. Diese Zahlen haben die Form a + b wobei a, b zwei Quadratzahlen sind. Die Quadratzahlen kann man ihrerseits wieder als a 2 mit a N erhalten, und es ergibt sich M = {a 2 + b 2 a, b N} 3-1

2 als eine einfache Art die Menge M anzugeben. Entsprechend kann man auch die Menge aller natürlichen Zahlen hinschreiben die sich als eine Summe von vier Quadraten schreiben lassen, und es stellt sich heraus das {a 2 + b 2 + c 2 + d 2 a, b, c, d N} = N ist. Wir wollen hier glauben das diese Gleichung wahr ist, der Beweis ist leider viel zu kompliziert um ihn hier im ersten Semester vorzuführen. Dieses Beispiel zeigt uns aber eine wichtige Tatsache, zwei Mengen sind dann gleich wenn sie genau dieselben Elemente besitzen und nicht etwa wenn sie dieselben Beschreibungen haben. Die Beschreibungen der beiden Mengen links und rechts des obigen Gleichheitszeichens sind grundverschieden und lassen sich auch nicht durch einfache Umformungen ineinander überführen, trotzdem sind die von ihnen beschriebenen Mengen gleich. 7. Neben der Mengenbildung durch Aufzählung wie in den vorigen beiden Beispielen kann man Mengen auch noch durch Auswahl konstruieren. Haben wir eine Menge M und eine Aussage A(x) über Elemente x M, so können wir die Menge N := {x M A(x)} aller Elemente von M bilden für die A(x) zutrifft. Beispielsweise ist {x R x 2 = 1} = { 1, 1}. Der formale Aufbau dieser Art der Mengendefinition sieht genauso aus wie bei der Mengenbildung durch Aufzählung, beide haben die Form {......}, es handelt sich aber um zwei verschiedene Konstruktionen. Dass für verschiedene Dinge nahezu gleiche Schreibweisen verwendet werden mag etwas unglücklich sein, stellt sich aber im praktischen Gebrauch als unproblematisch heraus. 8. Bisher haben wir in all unseren Beispielen immer Zahlen als Elemente einer Menge verwendet. Allgemeine Mengen dürfen aber auch kompliziertere Elemente haben, etwa Punkte, Geraden, Kreise oder auch andere Mengen. Ein Beispiel hierfür ist M = {{1, 2}, {3, 4}, 5}. Dies ist eine Menge mit drei Elementen, und nicht etwa mit fünf, und diese drei Elemente sind M = {{1, 2}, {3, 4}, 5 }, }{{}}{{}}{{} also die Menge {1, 2} mit den beiden Elementen 1 und 2, dann die Menge {3, 4} und schließlich die Zahl 5. Insbesondere ist etwa 2 / M, denn die Zahl 2 ist nur ein Element eines Elements von M, aber eben kein Element von M selbst. 3-2

3 9. Ein letztes Beispiel ist die Menge M = {{1}}. Dies ist eine Menge mit einem einzelnen Element, aber dieses Element ist nicht die Zahl Eins, sondern die Menge {1}, deren einziges Element 1 ist. Beachte {1} 1, denn Eins ist eine Zahl und keine Menge, und damit auch {{1}} {1} denn diese beiden Mengen haben verschiedene Elemente. Die Mengenbildung durch Auswahl wie im siebten Beispiel ist nur bei Vorhandensein einer explizit oder implizit vorgegebenen Obermenge M möglich aus der Elemente ausgewählt werden, freie Mengenbildung {x A(x)} wird nicht zugelassen. Das übliche Beispiel weshalb diese problematisch wäre ist die sogenannte Russelsche Antinomie. Bei dieser versucht man die Menge R := {M M ist eine Menge mit M / M} zu bilden, und die Existenz einer solchen Menge stellt sich als widersprüchlich heraus. Das Problem entsteht bei der Frage ob R R gilt? Nehmen wir einmal an das R R ist. Dann ist nach Definition von R auch R / R, es kann also nicht R R sein. Damit muss R / R gelten, aber dann ist R eine Menge die sich nicht selbst als Element enthält, d.h. wir haben doch R R. Eine Konstruktion wie das obige R führt also auf Widersprüche, so etwas soll in der Mathematik aber nicht auftreten und um die Russelsche Antinomie zu beseitigen verbietet man schlichtweg die freie Mengenbildung und besteht auf vorgegebenen Obermengen aus denen ausgewählt wird. Wir wollen ein letztes Beispiel einer Menge vorstellen, diese ist sogar wichtig genug ein eigenes Symbol zu erhalten. Definition 1.1 (Die leere Menge) Die leere Menge ist die Menge die keine Elemente hat, geschrieben als. Natürlich ist die leere Menge für sich genommen keine interessante Menge, ihre Wichtigkeit besteht darin das sie sehr häufig vorkommt. Wir haben die leere Menge hier sogar als eine sogenannte Definition eingeführt und wollen diesen Begriff jetzt ein wenig besprechen. Dass wir die Definition der leeren Menge offiziell als eine Definition bezeichnet und numeriert haben, die Cantorsche Definition einer Menge aber nicht, ist kein Versehen sondern gewollt. Letztere ist nämlich keine Definition im mathematischen Sinne. Im normalen Sprachgebrauch gibt es verschiedene Sorten von Definitionen, und die einfachste Art einer Definition ist die Verabredung einer Abkürzung. Dass beispielsweise LS17 für Leibniz Straße 17 stehen soll ist eine rein willkürliche Abkürzung. Will man dagegen definieren was ein Planet ist, so gibt es ja nach intendierten Verwendungszweck verschiedene Definitionen, wie man etwa an der Diskussion um den Status des Pluto sehen kann. Eine Definition von Planeten beschreibt real vorhandene Objekte und dient nur dazu die gerade relevanten Aspekte dieses Objekts zu benennen. In der Mathematik kommen solche Definitionen nicht vor, schon da die Mathematik nicht 3-3

4 von realen Objekten handelt, statt dessen sind alle Definitionen Verabredungen von Abkürzungen. Der Begriff der leeren Menge ist nicht strikt nötig, anstelle von M = könnte man genauso gut Die Menge M besitze keine Elemente sagen. Bevor das Wort leere Menge definiert wurde gab es keine leere Menge, Planeten dagegen gibt es völlig egal ob man eine Definition von Planet hat oder nicht. Mathematische Definitionen führen also immer einen neuen Begriff in Termen bereits vorhandener Begriffe ein. Die Cantorsche Mengendefinition ist nicht von dieser Art, da sie ihrerseits auf weitere noch nicht definierte Begriffe, wie Objekte unserer Anschauung, Zusammenfassung und so weiter, verweist. So etwas ist leider auch nötig, mit mathematischen Definitionen alleine kommt man nicht aus. Wenn jeder neue Begriff nur in Termen bereits vorhandener Begriffe eingeführt werden kann, so braucht man irgendetwas mit dem alles anfangen kann. Hierfür verwendet man sogenannte Grundbegriffe, diese denken wir uns als vorgegeben und nicht weiter hinterfragbar. Für diese Grundbegriffe gibt man dann üblicherweise eine Beschreibung an, die erklären soll was man sich unter dem Grundbegriff vorzustellen hat. Der Mengenbegriff ist solch ein Grundbegriff und die Cantorsche Mengendefinition ist seine Erklärung. Welche Begriffe als Grundbegriffe verwendet werden und welche definiert werden, ist letzten Endes eine rein willkürliche Entscheidung. Es ist beispielsweise möglich den Begriff einer Funktion als Grundbegriff zu verwenden, und Mengen dann in Termen von Funktionen zu definieren. Es hat sich aber ein üblicher Satz an Grundbegriffen durchgesetzt, zu denen unter anderem die Mengen gehören. Man kann mit erstaunlich wenigen Grundbegriffen auskommen, es reichen der Mengenbegriff und ausreichend viele logische und mathematische Begriffe um eine axiomatische Mengenlehre in Gang zu bringen. Auf der Basis dieser Begriffe können dann kompliziertere Objekte wie die reellen Zahlen definiert werden und ihre Axiome bewiesen werden. Als Startpunkt im ersten Semester ist dies allerdings nicht geeignet, da man einfach zu weit unten anfangen müsste, nicht einmal Dinge wie = 4 wären bekannt, schlimmer noch es wäre noch nicht einmal definiert was 2, 4 und + überhaupt sein sollen. Daher starten wir mit einem viel größeren Satz an Grundbegriffen, zu denen unter anderem die reellen Zahlen gehören. Da eine mathematische Definition letztlich nur eine Abkürzung ist, beschreibt sie das definierte Objekt vollständig, die Definition und die sich aus ihr ergebenden Folgerungen sind alles was über die definierten Objekte zu sagen ist. Dies unterscheidet mathematische Definitionen von Definitionen in anderen Gebieten, wo die definierten Objekte letztlich reale Gegenstände sind und durchaus weitere über eine Definition hinausgehende Eigenschaften haben können. Insbesondere sind Fragen nach dem Status nicht definierter Konzepte keine mathematische Fragen, sondern bestenfalls Fragen über Mathematik. Ein übliches Beispiel für die Verwirrungen die bei Fehlinterpretationen des Definitionsbegriffs entstehen ist die Frage was denn 0/0 ist. Wir haben den Bruch a/b := ab 1 nur definiert wenn a, b R und b 0 sind, dem Symbol 0/0 ist damit keine Bedeutung zugewiesen und die Frage nach seinem Wert ist sinnlos. In diesem Skript werden die meisten Definitionen explizit als solche ausgewiesen und numeriert. Gelegentlich werden wir aber auch Ausnahmen zulassen, einige besonders 3-4

5 einfache Definitionen die eher Synonyme oder Notation sind werden einfach im laufenden Text aufgeführt, so hatten wir zum Beispiel in der ersten Sitzung die Definitionen der Subtraktion und der Division behandelt. Wir wollen auch noch eine Anmerkung zur Vergabe des Namens machen. Während die Physik sehr großzügig mit fest vergebenen Namen ist, beispielsweise ist v fest für die Geschwindigkeit reserviert, gibt es in der Mathematik nur sehr wenige reservierte Namen, selbst ein Symbol wie π steht nicht immer für die Kreiszahl, sondern kann je nach Kontext auch was ganz anderes bedeuten. Einer dieser vergebenen Namen ist das Symbol für die leere Menge, ein anderer ist N für die Menge der natürlichen Zahlen. Dass soll an Kommentaren zu dieser Definition erst einmal reichen, und wir kommen zu einer weiteren wichtigen Definition. Definition 1.2 (Teilmengen einer Menge) Eine Menge M heißt Teilmenge einer Menge N, wenn jedes Element von M auch ein Element von N ist. In diesem Fall schreiben wir M N. Ist eine Menge M keine Teilmenge einer Menge N, so wird dies mit dem Symbol M N notiert. Die Schreibweise M N für die Teilmengenbeziehung wird leider nicht einheitlich von allen Autoren verwendet, oftmals finden Sie auch M N anstelle von M N. Einige Beispiele von Teilmengen sind: 1. Es ist {1, 2} {1, 2, 3} denn die beiden Elemente 1 und 2 der linken Menge sind auch Elemente der rechten Menge. 2. Es ist auch {1, 2, 3} {1, 2, 3}. Allgemein ist jede Menge eine Teilmenge von sich selbst. Will man dies nicht haben, so spricht man von einer echten Teilmenge, d.h. eine Menge M ist eine echte Teilmenge der Menge N wenn M N und M N ist, und wir schreiben M N für M ist eine echte Teilmenge von N. Oftmals wird anstelle von M N aber auch die alternative Schreibweise M N verwendet, was etwas unglücklich ist da dies von anderen wieder als die normale Teilmengenbeziehung interpretiert wird. Die beiden Symbole und sind unmißverständlich, während je nach Autor Teilmenge oder echte Teilmenge bedeuten kann. Das ist verwirrend, aber es ist leider so. 3. Dagegen ist {1, {2}} {1, 2, 3}, denn die einelementige Menge {2} ist zwar ein Element der linken aber kein Element der rechten Menge. 3-5

6 4. Das letzte Beispiel ist jetzt etwas verwirrend, wir behaupten das {1, 2, 3} gilt. Erinnern wir uns an die Teilmengendefinition, so bedeutet {1, 2, 3} das jedes Element der leeren Menge auch ein Element von {1, 2, 3} ist, und so merkwürdig es einem auch vorkommt, dies ist wahr. Es gibt ja kein Element der leeren Menge für das das falsch sein könnte. Mit derselben Begründung ist auch M für überhaupt jede Menge M. Insbesondere. Dieser Teilmengenbegriff wird häufig beim Nachweis der Gleichheit zweier Mengen verwendet, es gilt für je zwei Mengen M und N (F12) Genau dann ist M = N wenn M N und N M gelten. In der Tat, dass M und N gleich sind bedeutet das diese beiden Mengen dieselben Elemente haben, das also aus x M auch x N folgt und umgekehrt x N auch x M impliziert. Letzteres sind aber gerade die beiden Inklusionen M N und N M. Diese Beobachtung wird meist verwendet um die Gleichheit zweier Mengen zu beweisen, um M = N einzusehen, zeigt man zum einen die Inklusion M N und zum anderen die Inklusion N M. Mit Mengen kann man rechnen, es gibt eine Vielzahl von Operationen die aus zwei gegebenen Mengen eine neue Menge machen. Die drei wichtigsten dieser Rechenoperationen wollen wir nun einführen: Definition 1.3: Seien M, N zwei Mengen. 1. Die Vereinigung von M und N, geschrieben als M N, ist die Menge all derjenigen Objekte die Element von M oder von N sind. 2. Der Durchschnitt von M und N, geschrieben als M N, ist die Menge all derjenigen Objekte die Element von M und von N sind. 3. Die Differenzmenge von M und N, geschrieben als M\N, ist die Menge aller Elemente von M, die nicht zugleich Element von N sind. Alternativ nennen wir dies auch das Komplement von N in M oder das relative Komplement von N in M. Vereinigung M N Alle x in M oder N Durchschnitt M N Alle x in M und N Komplement M\N Alle x in M nicht in N 3-6

7 Anstelle der Schreibweise M\N für die Differenzmenge wird von einigen Autoren auch das Symbol M N verwendet. Da wir diese Begriffe nicht sofort brauchen, werden Beispiele hierzu in den Übungsaufgaben behandelt. Wir wollen an dieser Stelle nur noch einige Rechenregeln für die obigen Operationen einführen. Lemma 1.1 (Grundeigenschaften der Mengenoperationen) Seien A, B, C drei Mengen. (a) Es gelten die beiden Distributivgesetze A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C). (b) Es gelten die beiden demorganschen Regeln A\(B C) = (A\B) (A\C) und A\(B C) = (A\B) (A\C). Beweis: (a) Wir beginnen mit dem Nachweis der ersten Formel. Nach (F12) müssen wir einsehen das die beiden Inklusionen A (B C) (A B) (A C) und (A B) (A C) A (B C), beziehungsweise A (B C) (A B) (A C), bestehen, und diese werden wir beide nachweisen. Sei x A (B C). Dann ist x A und x B C, und es treten zwei mögliche Fälle auf. Im ersten Fall ist x B und dann haben wir x A B, also auch x (A B) (A C). Im zweiten Fall ist dagegen x C und wir haben x A C, also wieder x (A B) (A C). Damit haben wir in beiden Fällen x (A B) (A C) und die behauptete Inklusion ist bewiesen. Sei nun umgekehrt x (A B) (A C). Dann treten wieder zwei Fälle auf. Im ersten Fall ist x A B, also wegen x B auch x B C und mit x A folgt x A (B C). Im zweiten Fall haben wir dagegen x A C, also wegen x C auch x B C und mit x A folgt erneut x A (B C). Damit haben wir in beiden Fällen x A (B C) gezeigt und auch diese Inklusion ist bewiesen. Zum Beweis der zweiten Formel reicht es nach (F12) wieder die beiden Inklusionen A (B C) = (A B) (A C) und (A B) (A C) A (B C) einzusehen. Sei x A (B C). Dann haben wir wieder zwei mögliche Fälle. Im ersten Fall ist x A und dann sind auch x A B und x A C, also x (A B) (A C) wie gewünscht. Im zweiten Fall ist x B C also x B und x C und damit ist wieder x A B und x A C also x (A B) (A C). Damit haben wir in beiden Fällen x (A B) (A C) und die Inklusion ist bewiesen. Sei nun umgekehrt x (A B) (A C). Ist dann x A so ist auch x A (B C) und wir sind bereits fertig. Andernfalls ist x / A. Wegen x A B ist dann x B und wegen x A C ebenso x C, es gilt also x B C und wir haben wieder x A (B C). Damit haben wir in beiden Fällen x A (B C) und die Inklusion ist bewiesen. (b) Wir beginnen mit der ersten Regel und zeigen wie in (a) beide Inklusionen A\(B C) (A\B) (A\C) und (A\B) (A\C) A\(B C). 3-7

8 Sei also x A\(B C), d.h. x A und x / B C. Wegen x / B C sind dann x / B und x / C, also ist x A\B sowie x A\C und es gilt folglich x (A\B) (A\C). Jetzt sei umgekehrt x (A\B) (A\C). Dann ist x A\B und x A\C also x A und x / B, x / C, d.h. x / B C und somit x A\(B C). Dies zeigt (A\B) (A\C) A\(B C). Erneut nach (F12) ist damit die erste demorgansche Regel bewiesen. Schließlich kommen wir zur zweiten Regel und erneut werden wir A\(B C) (A\B) (A\C) und (A\B) (A\C) A\(B C) zeigen. Sei x A\(B C) also x A aber x / B C. Letzteres bedeutet x / B oder x / C also haben wir x A\B oder x A\C und folglich x (A\B) (A\C). Dies zeigt A\(B C) (A\B) (A\C). Schließlich sei x (A\B) (A\C). Dann treten zwei verschiedene Fälle auf. Im ersten Fall ist x A\B, also x A und x / B und insbesondere x / B C, d.h. x A\(B C). Andernfalls ist x A\C und x A\(B C) folgt analog mit vertauschten Rollen von B und C. Damit haben wir auch (A\B) (A\C) A\(B C) gezeigt. Eine letzte Anwendung von (F12) liefert auch die zweite demorgansche Regel. Der Beweis läßt sich durchaus ökonomischer und etwas kürzer gestalten, hier geht es uns um die Demonstration der auf (F12) beruhenden Standardtechnik zum Beweis von Mengengleichheiten die daher stur immer wieder verwendet wurde. Da dies die erste Aussage ist die wir hervorheben und als Lemma bezeichnen, wollen wir an dieser Stelle noch kurz auf die hier verwendete Terminologie eingehen. Die Aussagen der Mathematik werden als sogenannte Sätze formuliert und in einem aufgeschriebenen Text werden sie dann oftmals numeriert und in irgendeiner Form hervorgehoben dargestellt. Dabei ist der Name Satz hier ein Oberbegriff, je nach Bedeutung der Aussage werden verschiedene Namen verwendet. In der Literatur finden Sie die folgenden Bezeichnungen: Satz Aussage mit einer mitteilenswerten, eigenständigen Bedeutung. Hauptsatz Ein besonders wichtiger Satz. Theorem Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz oder für Hauptsatz. Lemma Wie ein Satz aber mit Bedeutung hauptsächlich innerhalb der Theorie. Proposition Je nach Autor entweder ein Synonym für Satz oder für Lemma. Hilfssatz Ein sehr spezifisches Lemma das nur für den Beweis einer oder sehr weniger anderer Aussagen gedacht ist. Korollar Eine unmittelbare Folgerung aus einem Satz oder Lemma, oftmals ein besonders hervorgehobener Spezialfall. 3-8

9 Wir werden die Namen Satz, Lemma und Korollar verwenden. Einfache Aussagen werden oftmals nicht extra als Satz formuliert sondern nur im laufenden Text erwähnt und später ohne weiteren Verweis verwendet, dies trifft beispielsweise auf all unsere Feststellungen (F1) und so weiter zu. Besonders selbstverständliche Aussagen werden sogar nirgends festgehalten, beispielsweise werden wir so etwas wie A B = B A für Mengen A, B verwenden auch ohne es irgendwo explizit zu benennen. Wir führen jetzt eine weitere Schreibweise für mathematische Aussagen ein. Diese haben sehr oft die Form Für alle Elemente x eine gegebenen Menge M gilt eine Aussage A(x), eine sogenannte Allaussage, oder Es gibt ein Element x der Menge M für das A(x) gilt, eine sogenannte Existenzaussage. Man schreibt (x M) : A(x) für Für alle x M gilt A(x). Das Symbol ist ein sogenannter Allquantor. Entsprechend schreibt sich eine Existenzaussage als (x M) : A(x) für Es existiert ein x M mit A(x), und hier nennt man einen Existenzquantor. Beispielsweise übersetzt sich die Aussage Für jede reelle Zahl x existiert eine natürliche Zahl n, die echt größer als x ist als Formel in (x R) (n N) : n > x. Ein solcher Ausdruck mit mehreren Quantoren ist dabei immer von links nach rechts zu lesen, ein Ändern der Quantorenreihenfolge ändert auch die Bedeutung der Aussage. Beispielsweise bedeutet (n N) (x R) : n > x, dass es eine natürliche Zahl n gibt, die echt größer als überhaupt alle reellen Zahlen ist, was natürlich falsch ist. Quantoren desselben Typs kann man vertauschen, und daher werden sie meist in zusammengefasster Form notiert, man schreibt beispielsweise (x, y R) : y > x > 0 y 2 > x 2 für (x R) (y R) : y > x > 0 y 2 > x 2. Wir haben jetzt Allaussagen (x M) : A(x) und Existenzaussagen (x M) : A(x) eingeführt. Diese scheinen sich zwar formal recht ähnlich zu sein, inhaltlich unterscheiden sie sich jedoch grundlegend voneinander. Um eine Allaussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man sich ein beliebiges Element x M der zugrundeliegenden Menge M vorgeben und für jedes solche die Aussage A(x) beweisen. Es reicht nicht dies für einzelne x M zu tun. Als ein Beispiel nehmen wir einmal M = N\{0, 1} = {2, 3, 4,...} und A(n) = ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = 1 letzteres für jedes n N. Probieren wir etwa n = 2 so sind n 5 5 = 27 und (n+1) 5 5 = 238 und wir haben ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = 1. Verwenden wir dann einen Computer, 3-9

10 so kann man leicht etwa alle Werte 2 n durchprobieren und die beiden Zahlen n 5 5 und (n + 1) 5 5 stellen sich immer als teilerfremd heraus. Als ein Beweis der Aussage (n M) : A(n) reicht das aber nicht aus, selbst eine so große Zahl von Beispielen hat keine Beweiskraft. Andererseits reicht ein einzelnes Gegenbeispiel aus die Allaussage zu widerlegen, und nehmen wir etwa n = , so ist ggt(n 5 5, (n + 1) 5 5) = > 1. Ganz anders sieht dies bei einer Existenzaussage aus. Um eine Aussage (x M) : A(x) zu beweisen, muss man nur ein einziges x M finden für welches die Aussage A(x) gilt. Idealerweise geschieht dies durch möglichst direkte Angabe solch eines x, aber dies ist nicht zwingend verlangt, es gibt Beispiele bei denen man die Existenz eines x einsehen kann, ohne die geringste Idee zu haben wie man ein solches x konkret beschaffen kann. Von Bedeutung sind oftmals auch die Verneinungen von All- und Existenzaussagen. Überlegen wir uns zunächst wann eine Allaussage (x M) : A(x) falsch ist. Wie im obigen Beispiel reicht hierfür ein einzelnes x M aus so, dass A(x) falsch ist. In anderen Worten ist die Verneinung einer Allaussage eine Existenzaussage, nämlich (x M) : A(x) = (x M) : A(x). Entsprechend ist eine Existenzaussage (x M) : A(x) falsch, wenn wir eben kein Element x von M finden können für das A(x) wahr ist, d.h. wenn die Verneinung A(x) für jedes Element x von M wahr ist. Die Verneinung einer Existenzaussage wird damit eine Allaussage (x M) : A(x) = (x M) : A(x). Bei Verneinung drehen sich also All- und Existenzquantoren um, d.h. Allquantoren werden zu Existenzquantoren und Existenzquantoren werden zu Allquantoren. Sind beispielsweise M, N zwei Mengen und A(x, y) eine Aussage über Elemente x M und y N, so wird (x M) (y N) : A(x, y) = (x M) : (y N) : A(x, y) = (x M) (y N) : A(x, y). Entsprechend kann man in allen solchen Fällen vorgehen, zum Verneinen werden alle Quantoren umgedreht und die innere Aussage verneint. 3-10