Wie bügle ich ein Tischtuch? Prof. Dr. Uwe Jannsen
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- Albert Rosenberg
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1 Auflösungen von Singularitäten, oder: Wie bügle ich ein Tischtuch? Prof. Dr. Uwe Jannsen (Universität Regensburg) Vortrag Bayerische Akademie der Wissenschaften Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
2 1. Singularitäten überall In vielen Gebieten der Mathematik benutzt man die Begriffe regulär (oder glatt) und singulär, um gutartige Objekte oder Situationen von schwierigen zu unterscheiden. Dies spielt auch in den Anwendungen der Mathematik eine Rolle und taucht auch in der Schule auf. a) Ein Pol ist eine singuläre Stelle einer Funktion: Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
3 b) differenzierbare und nicht differenzierbare Funktionen y = sin x regulär Börsenkurs singulär Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
4 c) Geometrie/Modellierung Kugel glatt Würfel singulär (nicht glatt) an den Ecken Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
5 d) Differentialgeichungen DGL y = y x 2 y = y Lösung y = e x y = e 1 x regulär singulär Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
6 e) Topologie Man kann eine Mannigfaltigkeit (zum Beispiel einen Torus) durch eine Morsefunktion (Höhenfunktion) verstehen: aus dem Wikipediaartikel über Morsetheorie Die Höhenlinien haben Singularitäten. Diese geben gerade Informationen über die Mannigfaltigkeit! Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
7 f) Katastrophentheorie kleine Schwankungen können riesige Effekte haben (Schmetterlingseffekt) scheinbar reguläres kann singuläre Effekte haben Die Katastrophentheorie hat ihren Namen durch die lebensnahen Interpretationen ihrer geometrischen Bilder erhalten (Kriegsausbruch, Börsenkrach, Panik, Erdbeben, Kentern, etc.) Ihr Inhalt aber ist die Klassifikation der Singularitäten differenzierbarer Abbildungen bis auf Diffeomorphie. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
8 Beispiel: die Kuspen-Fläche Regensburger Sammlung mathematischer Modelle (initiiert von Prof. Neukirch) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
9 Die Schwalbenschwanzkatastrophe Regensburger Sammlung mathematischer Modelle (initiiert von Prof. Neukirch) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
10 Die hyperbolische Umbilic-Katastrophe Regensburger Sammlung mathematischer Modelle (initiiert von Prof. Neukirch) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
11 Der Whitney-Regenschirm Regensburger Sammlung mathematischer Modelle (initiiert von Prof. Neukirch) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
12 2. Algebraische Geometrie Die genannten Katastrophen-Flächen sind algebraisch, d.h., werden durch algebraische Gleichungen beschrieben! Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
13 Mathematischer Hintergrund Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
14 Die sieben Elementarkatastrophen von René Thom sind durch die folgenden Funktionenfamilien gegeben. f = x 3 + ax f = x 4 + ax + bx 2 f = x 5 + ax + bx 2 + cx 3 f = x 6 + ax + bx 2 + cx 3 + dx 4 Falte Kuspe Schwalbenschwanz Schmetterling f = x 3 + y 3 + ax + by + cxy f = x 3 + xy 2 + ax + by + c(x 2 + y 2 ) f = x 2 y + y 4 + ax + by + cx 2 + dy 2 Hyperbolische Umbilic Elliptische Umbilic Parabolische Umbilic Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
15 2. Algebraische Geometrie In der Analysis: Funktionen a) y = 3 x 2 = x 2 3 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
16 2. Algebraische Geometrie In der Analysis: Funktionen a) y = 3 x 2 = x 2 3 y = 2 3 x 1 3 für x > 0, y = 2 3 x 1 3 für x < 0 Singularität bei 0 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
17 b) y = 1 x 2 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
18 b) y = 1 x 2 y 1 = 2 1 x 2 Singularität bei -1 und 1 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
19 Bessere Sichtweise: Algebraische Kurven a) Statt y = x 2 3 schreibe (Übergang zur dritten Potenz) y 3 = x 2 oder x 2 + y 3 = 0 singulär bei 0 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
20 b) Statt y = 1 x 2 schreibe y 2 = 1 x 2 oder x 2 + y 2 = 1 Kreis offenbar glatt! Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
21 Symmetrischere Behandlung (x und y gleich behandeln): Kurve f (x, y) = 0 ( ) Gradient grad(f ) = f x, f y (partielle Ableitungen) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
22 Symmetrischere Behandlung (x und y gleich behandeln): Kurve f (x, y) = 0 ( ) Gradient grad(f ) = f x, f y (partielle Ableitungen) a) Kuspe: grad(x 2 + y 3 ) = (2x, 3y 2 ) b) Kreis: grad(x 2 + y 2 1) = (2x, 2y) Singularität, wenn f (x, y) = 0 und grad(f ) = 0 (als Vektor). a) (0, 0) Singularität. b) grad(f ) = 0 bei (0, 0), aber f (0, 0) 0. Keine Singularität! Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
23 Beispiele für singuläre algebraische Kurven (aus E. Kunz, Einführung in die algebraische Geometrie, Vieweg 1997) Kuspenkurve Knotenkurve Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
24 Weitere Beispiele aus: E. Kunz, Einführung in die algebraische Geometrie, Vieweg 1997 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
25 aus: E. Kunz, Einführung in die algebraische Geometrie, Vieweg 1997 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
26 Algebraische Flächen (das Kuspen/Knoten-Tischtuch) kombiniere die Kuspe x 2 + y 3 = 0 die Knotenkurve x 3 + x 2 y 2 = 0 zur algebraischen Fläche mit der Gleichung f (x, y, z) = (x 3 + x 2 y 2 ) 2 + z 3 = 0 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
27 Algebraische Flächen (das Kuspen/Knoten-Tischtuch) kombiniere die Kuspe x 2 + y 3 = 0 die Knotenkurve x 3 + x 2 y 2 = 0 zur algebraischen Fläche mit der Gleichung f (x, y, z) = (x 3 + x 2 y 2 ) 2 + z 3 = 0 Es ist grad(f ) = (2(x 3 + x 2 y 2 )(3x 2 + 2x), 2(x 3 + x 2 y 2 )( 2y), 3z 2 ) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
28 Algebraische Flächen (das Kuspen/Knoten-Tischtuch) kombiniere die Kuspe x 2 + y 3 = 0 die Knotenkurve x 3 + x 2 y 2 = 0 zur algebraischen Fläche mit der Gleichung f (x, y, z) = (x 3 + x 2 y 2 ) 2 + z 3 = 0 Es ist grad(f ) = (2(x 3 + x 2 y 2 )(3x 2 + 2x), 2(x 3 + x 2 y 2 )( 2y), 3z 2 ) grad(f ) = 0 bedeutet entweder ( ) z = 0 und x 3 + x 2 y 2 = 0 oder ( ) z = 0 und 3x 2 + 2x und y = 0 Einsetzen: für den 2. Fall ist f (x, y, z) 0. Also bleibt ( ). Singulärer Ort: Knotenkurve in der x y-ebene Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
29 Das Kuspen/Knoten-Tischtuch Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
30 3. Auflösungen von Singularitäten durch Aufblasung 1. Beispiel: Betrachte wieder die Kuspenkurve x 2 + y 3 = 0 bei (0,0) ist f (x, y) = x 2 + y 3 = 0 grad(f ) = (2x, 3y 2 ) = (0, 0) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
31 Aufblasung = Koordinatentransformation: x = x 1 y in die Gleichung einsetzen: x 1 = x y, y 1 = y (x 1 y) 2 + y 3 = 0 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
32 Aufblasung = Koordinatentransformation: x = x 1 y in die Gleichung einsetzen: x 1 = x y, y 1 = y (x 1 y) 2 + y 3 = 0 durch y 2 teilen gibt neue Gleichung f 1 = x y = 0 regulär! Parabel regulär! Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
33 Symmetrie (kanonisches Vorgehen, Gleichbehandlung von x und y): Betrachte auch die Koordinatentransformation x 1 = x, y 1 = y x, d.h., y = y 1 x: x 2 + (y 1 x) 3 = 0 / : x 2 neue Gleichung der Gradient ist f 1 = 1 + xy 3 1 = 0 grad f 1 = (y 3 1, 3xy 2 1 ) keine gemeinsamen Nullstellen regulär! Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
34 2. Beispiel: Betrachte die Knotenkurve x 3 + x 2 y 2 = 0. Wieder Aufblasung im Nullpunkt x = y = 0. x-karte : neue Koordinaten x 1 = x, y 1 = y x x 3 + x 2 (xy 1 ) 2 = 0 / : x 2 neue Gleichung x + 1 y 2 1 = 0 Parabel regulär! (y-karte: Übungsaufgabe) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
35 Was ist passiert? x 3 + x 2 y 2 = 0 x + 1 y 2 = 0 Singularität im Nullpunkt Singularität aufgelöst Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
36 Klassischer Satz: Man kann bei jeder Kurve die Singularitäten durch Aufblasungen auflösen. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
37 Klassischer Satz: Man kann bei jeder Kurve die Singularitäten durch Aufblasungen auflösen. Aufblasung ist ein kanonischer (insbesondere Koordinatenunabhängiger) Prozess. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
38 Klassischer Satz: Man kann bei jeder Kurve die Singularitäten durch Aufblasungen auflösen. Aufblasung ist ein kanonischer (insbesondere Koordinatenunabhängiger) Prozess. Er kann auf eine umgebende Fläche fortgesetzt werden. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
39 Klassischer Satz: Man kann bei jeder Kurve die Singularitäten durch Aufblasungen auflösen. Aufblasung ist ein kanonischer (insbesondere Koordinatenunabhängiger) Prozess. Er kann auf eine umgebende Fläche fortgesetzt werden. Über dem singulären Punkt entsteht dann ein projektiver Raum (eine Gerade mit einem unendlichen Punkt ). Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
40 Klassischer Satz: Man kann bei jeder Kurve die Singularitäten durch Aufblasungen auflösen. Aufblasung ist ein kanonischer (insbesondere Koordinatenunabhängiger) Prozess. Er kann auf eine umgebende Fläche fortgesetzt werden. Über dem singulären Punkt entsteht dann ein projektiver Raum (eine Gerade mit einem unendlichen Punkt ). Man kann auch höherdimensionale Varietäten, (zum Beispiel Flächen) in verschiedenen Zentren (zum Beispiel Punkten oder ganzen Kurven) aufblasen. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
41 Aufblasungen der Knotenkurve in der Ebene (aus R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer 1997) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
42 Was gilt bei höherdimensionalen Varietäten, zum Beispiel Flächen? Satz (Hironaka, 1964) Hat der Grundkörper K die Charakteristik 0 (Beispiele C, R, Q), so hat man Auflösung von Singularitäten (durch Aufblasungen) in beliebiger Dimension. Genauer: Ist X eine Varietät über K, so gibt es eine algebraische Abbildung X X, die eine Komposition von Aufblasungen ist, so dass X glatt ist. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
43 Dies ist für positive Charakteristik unbekannt! Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
44 Dies ist für positive Charakteristik unbekannt! Warum interessiert man sich für Körper positiver Charakteristik? Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
45 Dies ist für positive Charakteristik unbekannt! Warum interessiert man sich für Körper positiver Charakteristik? Antwort: Weil sie von arithmetischen Interesse sind Weil sie manchmal einfacher sind. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
46 Beispiele: (Sophie Germain 1823) Man kann den ersten Fall der Fermat-Vermutung für den Exponenten 3 zeigen, indem man zeigt, dass die Gleichung X 3 + Y 3 = Z 3 keine nicht-triviale Lösung modulo 7 besitzt. Hier rechnet man im Körper F 7 = Z/7Z mit 7 Elementen und Charakteristik 7 (7 = 0). Beim allgemeinen Beweis der Fermat-Vermutung durch Wiles (und Taylor) wurde X P + Y P = Z P über F p betrachtet (und vieles mehr). Diese Gleichung ist singulär: grad(x P + Y P Z P ) = (0, 0, 0), weil px p 1 = 0 in F p (p = 0). Kryptographie benutzt ebenfalls Varietäten über endlichen Körpern. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
47 Satz (Zariski, Abhyankar, Hironaka, Cossart-Jannsen-Saito) Für Flächen existiert Auflösung von Singularitäten (durch Aufblasungen) auch in positiver Charakteristik. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
48 Satz (Zariski, Abhyankar, Hironaka, Cossart-Jannsen-Saito) Für Flächen existiert Auflösung von Singularitäten (durch Aufblasungen) auch in positiver Charakteristik. Strategie (und Veranschaulichung am Tischtuch) Der singuläre Ort besteht aus Kurven und Punkten (Falten und Spitzen) Aufblasen in regulären Zentren, die im singulären Ort liegen (sonst bügelt man neue Falten) Modifizieren nur in diesen Zentren; insbesondere nur im singulären Ort (nur dort bügeln, wo es knittert) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
49 Beispiel A: Fläche mit einem singulären Punkt f = (x 2 + y 2 ) + z 3 grad(f ) = (2x, 2y, 2z) Singularität = Nullpunkt x = y = z = 0 (Rotation der Kuspenkurve um die z-achse) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
50 Nullpunkt aufblasen f = (x 2 + y 2 ) + z 3 z-karte x 1 = x z, y 1 = y z, z 1 = z ((x 1 z) 2 + (y 1 z) 2 + z 3 / : z 2 f 1 = (x y 2 1 ) + z regulär! (Rotation der Parabel um die z-achse) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
51 Beispiel B: Fläche mit einer (singulären) Kurve als singulärem Ort f = (x 2 + x 3 y 2 ) 2 + z 3 (die Kuspen/Knoten-Fläche). Singulärer Ort (siehe oben) z = 0 = x 2 + x 3 y 2 (Knotenkurve in der x y-ebene) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
52 Aufsicht zeigt den singulären Ort Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
53 Singulärer Ort ist eine singuläre Kurve! (Knotenkurve mit Singularität im Nullpunkt) Erst diesen Punkt x = y = z = 0 aufblasen. x-karte: x 1 = x, y 1 = y x, z 1 = z x gibt neue Gleichung (x 2 + x 3 (y 1 x) 2 ) 2 + (z 1 x) 3 / : x 3 f 1 = x(1 + x y 2 1 )2 + z 3 1 = 0 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
54 Singulärer Ort ist eine singuläre Kurve! (Knotenkurve mit Singularität im Nullpunkt) Erst diesen Punkt x = y = z = 0 aufblasen. x-karte: x 1 = x, y 1 = y x, z 1 = z x (x 2 + x 3 (y 1 x) 2 ) 2 + (z 1 x) 3 / : x 3 gibt neue Gleichung f 1 = x(1 + x y1 2 )2 + z1 3 = 0 Es ist grad(f 1 ) = ((1 + x y1 2 )(1 + 3x y 1 2 ), 2(1 + x y 1 2 )xy 1, 3z1 2 ) Singulärer Ort z 1 = 0 = 1 + x y 2 1 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
55 Singulärer Ort = Parabel x = 1 + y 2 1 in der x-y 1 -Ebene Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
56 Parabel z 1 = 0 = x + 1 y 2 1 aufblasen. neue Variablen t = x + 1 y 2 1, y 1, z 1. Aus f 1 = x(x + 1 y 2 1 )2 + z 3 1 wird f 1 = (t 1 + y 2 1 )t2 + z 3 1 Kurve wird durch z 1 = 0, t = 0 bestimmt. Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
57 Parabel z 1 = 0 = x + 1 y 2 1 aufblasen. neue Variablen t = x + 1 y 2 1, y 1, z 1. Aus f 1 = x(x + 1 y 2 1 )2 + z 3 1 wird f 1 = (t 1 + y 2 1 )t2 + z 3 1 Kurve wird durch z 1 = 0, t = 0 bestimmt. nur zwei Karten, z 1 -Karte und t-karte, und y 1 bleibt t-karte : t 2 = t, z 2 = z 1 t gibt Gleichung (t 1 + y 2 1 )t2 + (z 2 t) 3 / : t 2 f 2 = (t 1 + y 2 1 ) + tz3 2 = 0 grad(f 2 ) = (z , 2y 1, 3tz 2 2 ) grad(f 2 ) = 0 y 1 = 0, t = 0 oder z 2 = 0 f 2 0. regulär! (Ebenso ist die z 1 -Karte regulär) Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
58 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
59 Satz besagt: Diese Strategie funktioniert immer! Herausforderung für gute Schüler (Facharbeit) f (x, y, z) = x 36 y 36 + xy 2 (x + y) 12 + z 3 Herausforderung für guten Studenten (Diplomarbeit) (Gegenbeispiel von Narasimhan) f (x, y, z, t) = xy 3 + yz 3 + x 7 z + t 2 Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg) 10. Dezember / 44
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