4 Färbungen Begriffe Komplexität Greedy-Algorithmus Knotenreihenfolgen Das 4-Farben-Problem...

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1 Inhaltsverzeichnis 4 Färbungen Begriffe Komplexität Greedy-Algorithmus Knotenreihenfolgen Das 4-Farben-Problem Listenfärbungen Einführung paare Graphen Knotenreihenfolgen und Greedy-Algorithmus Planare Graphen

2 4 Färbungen 4.1 Begriffe (1) Beispiel: Frequenzzuordnungsproblem Gegeben: Menge von Sendern, Menge von Frequenzen, Sender können sich gegenseitig beeinflussen, d.h. sie können nicht auf derselben Frequenz senden, da sonst Interferenz auftritt. Gesucht: Minimalzahl von Frequenzen, so dass zwei Sender, die sich beeinflussen unterschiedliche Frequenzen erhalten. Modell: Graph G = (V, E) V entspricht der Menge der Sender: S 1,..., S n ; E: S i und S j sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn Sie sich gegenseitig beeinflussen. Frequenzzuordnung: Färbe die Knoten von G mit möglichst wenig Farben, so dass benachbarte Knoten unterschiedliche Farben erhalten. Bemerkung.: Jede Farbe entspricht einer Frequenz Beispiel 4.1: (2) Definition Ein Graph G = (V, E) heißt zulässig (Knoten)färbbar mit k Farben, sofern eine Funktion c : V {1,..., k} existiert mit c(x) c(y) für alle xy E. Die chromatische Zahl χ(g) ist die kleinste Zahl k, so daß der Graph G zulässig k-färbbar ist. 41

3 Bemerkung: Frequenzzuordnungsproblem = Knotenfärbungsproblem 4.2 Komplexität Betrachte folgendes Entscheidungsproblem: k-färbung= {(G, k) : G ist ein endlicher Graph, k N; Frage: besitzt G eine zulässige Knotenfärbung mit k Farben?} Satz: 2-Färbung ist in Linearzeit O( V + E ) entscheidbar. Satz: k-färbung ist NP-vollständig für k Greedy-Algorithmus (1) Algorithmus Bem.: Wir verwenden die natürlichen Zahlen {1, 2,...} als Farben. Eingabe: G = (V, E) zusammenhängender Graph mit n = V Sei v 1,..., v n eine beliebig gewählte Knotenreihenfolge. Färbe in der gewählten Reihenfolge jeden der Knoten mit der kleinsten möglichen Farbe (die nicht bei seinen schon gefärbten Nachbarn vorkommt). Beispiel 4.2: 42

4 (2) Bemerkung: Das Ergebnis des Greedy-Algorithmus kann beliebig schlecht sein, d.h. die Differenz zwischen der Anzahl der beim Algorithmus benötigten Farben und der chromatischen Zahl ist beliebig groß, sogar bei paaren Graphen (χ(g) = 2). Beispiel 4.3: K nn Matching 4.4 Knotenreihenfolgen Durch sinnvolle Wahl der Knotenreihenfolge kann das Ergebnis des Greedy-Algorithmus verbessert werden. (1) 2-Färbung Wähle die Knotenreihenfolge v 1,..., v n so, dass für jedes i 2 gilt, dass v i mindestens einen Nachbarn unter den Knoten v 1,..., v i 1 besitzt (Breitensuche, Tiefensuche). Für jeden Graphen liefert der Greedy-Algorithmus dann entweder eine 2-Färbung (sofern der Graph mit 2 Farben färbbar ist), oder die Aussage, dass der Graph nicht 2-färbbar ist. Noch einmal Beispiel 4.3 Satz: Ein Graph G ist 2-färbbar (paar), genau dann wenn G keinen ungeraden Kreis besitzt. (2) Coloring Number Frage: Wie sollte man die Knotenreihenfolge wählen, um 43

5 auch bei nicht 2-färbbaren Graphen mit dem Greedy- Algorithmus möglichst gute Ergebnisse zu erzielen? Definition: Die Coloring Number col(g) eines Graphen G ist die kleinste (natürliche) Zahl k, für die eine Knotenreihenfolge existiert, so dass jeder Knoten v i weniger als k Nachbarn unter den Knoten v i+1,..., v n besitzt. Betrachte folgende Reihenfolge: Sei v 1 ein Knoten mit Minimalgrad in G und für i = 2,..., n sei G i der Untergraph von G, der durch Entfernen der Knoten v 1,..., v i 1 entsteht, sowie v i ein Knoten mit Minimalgrad in G i. Bestimme x 1,..., x n durch Umkehren der Reihenfolge v 1,..., v n, d.h. x 1 = v n, x 2 = v n 1,..., x n = v 1. Diese Knotenreihenfolge wird Minimalgradfolge genannt. Bemerkung: Die Färbung der Knoten von G mit dem Greedy-Algorithmus unter Verwendung einer Minimalgradfolge x 1,..., x n ergibt eine Färbung mit höchstens col(g) Farben. Das kann aber immer noch beliebig schlecht sein. Beispiel 4.4: Definition: Ein Graph G heißt d-degeneriert, wenn jeder Untergraph von G einen Knoten vom Grad kleiner oder gleich d besitzt. Satz: Jeder d-degenerierte Graph ist (d + 1)-färbbar. 44

6 (3) Brook s Theorem (1941) Satz: Sei G ein zusammenhängender Graph mit Maximalgrad (G), der weder ein vollständiger Graph, noch ein ungerader Kreis ist. Dann ist G mit höchstens (G) Farben färbbar. 4.5 Das 4-Farben-Problem (1) Problem: Kann man eine beliebige Landkarte mit höchstens 4 Farben derart färben, dass je zwei Länder, die eine Grenze gemeinsam haben (nicht nur einen Punkt) verschiedene Farben erhalten? Beispiel 4.5: (2) Modell: Definition: G ist ein planarer Graph, wenn man ihn kreuzungsfrei in die Ebene zeichnen kann. Das 4-Farben Problem entspricht der Frage, ob man einen planaren Graphen zulässig mit 4 Farben färben kann. 45

7 Noch einmal Beispiel 4.5 (3) Planare Graphen Beispiel 4.6: K 3,3 Definition: Ein Graph H ist eine Unterteilung (subdivision) von G, wenn H = G ist, oder H kann durch Einfügen von Knoten vom Grad 2 in Kanten von G erhalten werden. Beispiel 4.7: Kuratowskis Theorem (1930): Ein Graph G ist genau dann planar, wenn er weder eine Unterteilung des K 3,3 noch eine Unterteilung des K 5 enthält. Ein planarer Graph mit n Knoten hat höchstens 3n 6 Kanten. Jeder planare Graph hat einen Knoten vom Grad kleiner oder gleich 5. Beispiel 4.8: Petersen-Graph 46

8 (4) 6-Färbung Jeder planare Graph ist 5-degeneriert. Jeder planare Graph ist 6-färbbar. (5) Geschichte des 4-Farben-Problems: 1852 Francis Guthrie (Student) fragte seinen Professor August De Morgan und dieser am 23. Oktober Sir William Hamilton Beweis von Alfred Bray Kempe 1890 Percy John Heawood fand einen Fehler in Kempes Beweis, aber mit der Idee kann bewiesen werden, dass 5 Farben ausreichen Kenneth Appel und Wolfgang Haken fanden einen Beweis mit Computerhilfe für schwierige Fälle. Heute wird der 4-Farben-Satz allgemein anerkannt. 5 Listenfärbungen 5.1 Einführung (1) Das Frequenzzuordnungsproblem Gegeben: Menge von Sendern, Menge von Frequenzen, jeder Sender hat eine Liste von erlaubten Frequenzen Sender können sich gegenseitig beeinflussen, d.h. sie können nicht auf derselben Frequenz senden, da sonst Interferenz auftritt. 47

9 Gesucht: Minimalzahl von Frequenzen, so dass zwei Sender, die sich beeinflussen, unterschiedliche Frequenzen erhalten. (2) Modell: Graph G = (V, E) V entspricht der Menge der Sender: S 1,..., S n ; E: S i und S j sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn Sie sich gegenseitig beeinflussen. L(v): Liste von erlaubten Farben (Frequenzen) für v V Frequenzzuordnung: Färbe die Knoten von G, so dass benachbarte Knoten unterschiedliche Farben erhalten, wobei die Frequenz für jeden Sender v aus seiner Liste L(v) gewählt werden muss. Frage: Wie lang müssen die Listen der erlaubten Frequenzen mindestens sein (wieviele Elemente müssen sie mindestens enthalten), damit die Zuordnung auf jeden Fall klappt? (3) Begriffe: Sei G = G(V, E) ein schlichter Graph. Jedem Knoten von v V (G) ist eine Menge (Liste) L(v) von erlaubten Farben zugeordnet. Die Menge L = {L(v) v V (G)} heißt Listenzuordnung. Eine Listenzuordnung heißt k-zuordnung, wenn jedem Knoten genau k erlaubte Farben zugeordnet sind. 48

10 Ein Graph G heißt L-listen färbbar, wenn die Knoten von G für die gegebene Listenzuordnung L zulässig färbbar sind, wobei die Farbe jeweils aus der zugehörigen Liste gewählt werden muss. Ein Graph heißt k-listenfärbbar, wenn er für jede beliebige k-zuordnung L jeweils L-listenfärbbar ist. Das kleinste k, für das ein Graph G k-listenfärbbar ist, heißt listenchromatische Zahl χ l (G). Beispiel 5.1: Satz: χ(g) χ l (G) 5.2 paare Graphen Zur Erinnerung: Jeder paare Graph ist 2-färbbar Die listenchromatische Zahl von paaren Graphen ist nicht beschränkt. Beispiel 5.2: K m,m m, K 7,7 Satz: Jeder planare paare Graph ist 3-listenfärbbar. 5.3 Knotenreihenfolgen und Greedy-Algorithmus Jeder m-degenerierte Graph ist m + 1-listenfärbbar. χ l (G) col(g) 49

11 5.4 Planare Graphen Listenfärbung von Landkarten: Jedes Land kann eine Liste von Farben bestimmen, von der dann eine Farbe für seine Färbung auf der Landkarte verwendet wird. Reicht es immer (für eine beliebige Landkarte), wenn jedes Land eine Liste von 4 Farben angibt? Modell: Listenfärbung von planaren Graphen Jeder planare Graph ist 6-listenfärbbar. Erdős, Rubin und Taylor vermuteten 1993, dass jeder planare Graph 5-listenfärbbar ist und dass es planare Graphen gibt, die nicht 4-listenfärbbar sind. Beide Vermutungen wurden 1993 bewiesen. Beispiel 5.3: Konstruktion eines planaren nicht 4-listenfärbbaren Graphen 50