Overview. Testen von Planarität. Planare Graphen. Beliebige Knotenpositionen. Gerade Linien. Faces

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1 Overview Testen von Planarität Markus Chimani LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Automatisches Zeichnen von Graphen 15 Planarität Grundbegriffe Wie erkennt man Planarität Boyer-Myrvold Überblick Idee Beispiel Gültigkeit Details zum Algorithmus & Analyse Wie mache ich das alles eigentlich wirklich? Wie mache ich das alles eigentlich wirklich schnell? Datenstrukturen, algorithmische Kniffe, Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 2 Planare Graphen Beliebige Knotenpositionen Planarer Graph Planarer Graph Nicht-Planarer Graph Theorem Für jeden planaren Graphen G gilt Für alle beliebigen Knotenpositionen existiert eine planare Zeichnung von G. Nicht-Planare Zeichnung Planare Zeichnung Nicht-Planare Zeichnung Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 3 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 4 Gerade Linien Faces Theorem Jeder planare Graph kann mit ausschliesslich geraden Linien gezeichnet werden. Beobachtung Die der Kanten um die Knoten bleibt gleich! Kantenreihenfolge (CCW) implizierte Faces f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 (äusseres Face) Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 5 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 6 1

2 Faces Einbettungen von planaren Graphen Kantenreihenfolge (CCW) implizierte Faces f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 1 (äusseres Face) f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 Charakterisierung von planaren Zeichnungen (Äquivalenzklassen) Definition Kombinatorische Einbettung Für alle Knoten zyklische der inzidenten Kanten äquivalent Für alle Faces zyklische der inzidenten Kanten Definition Planare Einbettung Kombinatorische Einbettung & Wahl eines externen Faces Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 7 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 8 Einbettungen Beispiel Kleinste nicht-planare Graphen K 3,3 (vollständig bipartit) K 5 (vollständig) Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 9 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 10 Subdivisions & Minoren Kuratowskis Theorem Theorem (Kuratowski, 1933) Ein Graph ist genau dann nicht-planar, wenn er eine K 5 oder K 3,3 Subdivision enthält. Eine Subdivision von G entsteht durch Splitten von Kanten Ein Minor von G entsteht durch Verschmelzen von adj. Knoten Theorem (Wagner, 1937) Ein Graph ist genau dann nicht-planar, wenn er einen K 5 oder K 3,3 Minor enthält. Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 11 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 12 2

3 Zweizusammenhang Euler Beobachtung Planarität kann man für 2-zusammenhängende Komponenten einzeln testen Sei G=(V,E) mit Faces F n= V, m= E, f= F Theorem (Eulers Polyederformel für planare Graphen) n m + f = 2 Gegebene Einbettung durch Abzählen auf Planarität testen. Folgerung Für planare Graphen muss gelten m 3n 6 m = O(n) Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 13 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 14 Geschichte der Planaritätstests BM Überblick/ Quelle 1961 (Auslander, Parter) polynomiell, O(n 3 ) 1963 (Goldstein) Behebt Fehler (Nicht-Terminierung) in AP 1964 (Demoucron, Malgrange and Partuiset) O(n 2 ), einfach 1967 (Lempel, Even, Cederbaum) O(n 2 ), (vertex addition) 1974 (Hopcroft, Tarjan) O(n), kompliziert, (path addition) 1976 (Booth, Luecker) LEC in O(n) mit Hilfe von PQ-Bäumen (und st-numbering von Even, Tarjan 1976) 1985 (Chiba et al.) Einbettung aus LEC/BL in O(n) 1996 (Mehlhorn, Mutzel) Klärung von HT, Einbettung in O(n) 1985/2003 (de Fraysseix, Rosenstiehl) DFS-basierend, neues Planaritätskriterium, einfacher, sehr schnell 1999/2004 (Boyer, Myrvold) DFS-basierend, einfach und schnell, Einbettung ergibt sich während dem Algorithmus automatisch Jetzt also Planaritätstest von John M. Boyer und Wendy Myrvold Basierend auf On the Cutting Edge Simplified O(n) Planarity by Edge Addition. JGAA 8(3), pp , Vorteile Linear O(n) Einfach (im Vergleich ) Schnell in Praxis Einbettung ergibt sich direkt Einfache Extraktion einer Kuratowski-Subdivision Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 15 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 16 BM Überblick/ Idee BM Überblick/ Kleines Beispiel Gegeben Graph G=(V,E), n = V, m = E = O(n) G DFS-Baum Einbettung Berechne einen beliebigen DFS-Baum (mit beliebigen Startknoten). Ordne Knoten gemäß DFI (DFS-Index) (v 1, v 2,..., v n ) /* DFS-Baum ist trivialerweise planar. */ for v i = { v n,, v 1 } /* Umgekehrte! */ Bette v i, zusammen mit allen Backedges (v j,v i ), mit j>i, planar ein. Einbettung mind. einer Backedge nicht möglich return G nicht planar return G ist planar (und eingebettet) Jede Kante d. Baums ist eigene Bicomp Backedge einfügen Bicomps verschmelzen Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 17 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 18 3

4 BM Überblick/ Hauptprobleme Verwalten der Bicomps In welcher betten wir die Backedges ein? Wie bestimmen wir das Routing einer Backedge? Wie stellen wir fest, dass eine Backedge nicht planar eingebettet werden kann? Wie garantieren wir, dass eine nicht-einbettbare Kante tatsächlich nur bei nicht-planaren Graphen auftritt? (Wie schaffen wir das alles in Linearzeit?) Zwischengraph während Berechnung Menge von Bicomps Cut-Knoten existieren mehrmals je einmal pro inzidenter Bicomp DFS-Baum später während Algorithmus Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 19 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 20 Eigenschaften der Bicomps Definition Die Wurzel einer Bicomp ist der Knoten mit kleinstem DFI Beobachtung Eine Bicomp mit Wurzel v enthält nie mehr als ein DFS-Kind von v Begründung Enthielte die Bicomp mindestens 2 Kinder, so wären diese nur über v verbunden. Widerspruch zu 2-Zusammenhang Pertinenz & Externalität Für Knoten v i mit DFI i pertinente Knoten/Bicomps Knoten v k, mit DFI k > i und Backedge (v k,v i ) Bicomps die am DFS-Pfad v i v k liegen. Cut-Knoten entlang des Pfads externe Knoten Knoten v k mit DFI k > i und Backedge (v k,v q ) mit q < i, oder Cut-Knoten entlang des DFS-Pfad v i v k Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 21 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 22 Backedge einfügen Backedges einfügen externe Knoten müssen aussen liegen Flippen von Bicomps pertinente Bicomps verschmelzen Backedge einfügen unmöglich Backedges einfügen unmöglich externe Knoten können nicht weggeflippt werden Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 23 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 24 4

5 Backedge einfügen möglich? Mehrere Backedges? Einfügelemma Eine Kante kann genau dann eingefügt werden, wenn ein Weg entlang den Aussenflächen der pertinenten Bicomps existiert, der keinen externen Knoten (Stop-Vertex) enthält. Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 25 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 26 Mehrere Backedges? Mehrere Backedges? Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 27 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 28 Mehrere Backedges? Mehrere Backedges? Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 29 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 30 5

6 Mehrere Backedges? Mehrere Backedges? Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 31 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 32 Mehrere Backedges? Mehrere Backedges? Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 33 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 34 Mehrere Backedges? Mehrere Backedges? Übrigbleibende Bicomps in Bicomps 1-zusammenhängende Strukturen. Am Ende verschmelzen. Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 35 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 36 6

7 Beispiel 1 Beispiel 2 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 37 Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 38 Was bleibt? Warum ist der Algorithmus korrekt? Algorithmus bettet Graph ein Graph ist planar Algorithmus bettet Graph nicht ein Graph ist nicht planar Wie/Warum schafft den Algorithmus Linearzeit? Eine naïve Implementation dieser Idee mind. O(n 2 ) Zu lösende Punkte O(n) Kanten einfügen. Jede Kante in O(1) einfügbar? Nein! Amortisierte Analyse Wie schnell kann man eine einzelne Kante einfügen? Ausnutzen, dass mehrere Kanten gleichzeitig eingefügt werden? Geschickte Algorithmik & geschickte Analyse! Morgen! Markus Chimani, LS XI Algorithm Engineering, TU Dortmund VO Autom. Zeichnen von Graphen Planarität testen 39 7