1. Übung Graphentheorie WS2016/17

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1 1. Übung Graphentheorie WS2016/17 1. Schreiben Sie für jede Ecke der folgenden 7 Graphen den Grad auf! Welche der Graphen sind regulär? G 1 G 2 G 5 G 3 2. Bestimmen Sie alle paarweise nicht-isomorphen ungerichteten Graphen mit (a) p = 2 Ecken und q = 2 bzw. q = 3 Kanten, (b) p = 3 Ecken und q = 1,2,3 Kanten, Welche der Graphen sind schlicht? G 6 3. Bestimmen Sie alle paarweise nicht-isomorphen ungerichteten schlichten Graphen mit (a) p = 6 Ecken, die 2-regulär bzw. 3-regulär sind, (b) p = 4 Ecken e 1,e 2,e 3,e 4 mit grade 1 = 1, grade 2 = grade 3 = 2, grade 4 = 3, bzw. mit grade 1 = grade 2 = 2, grade 3 = grade 4 = Bestimmen Sie alle paarweise nicht-isomorphen ungerichteten Graphen mit p Ecken und q Kanten und p+q 6. Welche der Graphen sind schlicht? G 7 G 4 (3 Punkte) 5. Untersuchen Sie, welche der 7 Graphen aus Aufgabe 1 zueinander isomorph sind! (Begründung erforderlich. ) (3 Punkte) 6. Auf einer Party befinden sich 31 Personen, und jede dieser Personen kennt genau 5 andere der anwesenden Personen. Ist das möglich?

2 7. Sei G ein Graph mit p Ecken und q Kanten. Zeigen Sie: (a) Ist m := [ 2q] 2q = max{n Z;n }, dann gibt es mindestens eine Ecke mit Grad p p größer oder gleich m. (b) Ist q = p 1, dann existiert eine Ecke e mit grade 1. (c) l der Ecken sollen den Grad k haben und die restlichen Grad k +1. Bestimmen Sie l in Abhängigkeit von p, q und k. 8. Sei G ein Graph mit mindestens 6 Ecken. Zeigen Sie: Es gibt stets 3 Ecken, die paarweise benachbart sind, oder 3, die paarweise nicht benachbart sind. 9. Sei G ein schlichter Graph mit p 2 Ecken und q Kanten. Zeigen Sie: (a) (G) δ(g) p 2. (b) Es gibt zwei Ecken mit gleichem Grad. (3 Punkte) (3 Punkte) 10. (a) Bestimmen Sie einen 4-regulären schlichten Graph mit minimaler Eckenzahl p. (b) Ist k IN ungerade, G ein k-regulärer schlichter Graph mit p Ecken und q Kanten. Zeigen Sie: Dann ist p eine gerade Zahl und q ein ganzzahliges Vielfaches von k. Abgabe der Aufgaben 4, 5, 8, 9 bis vor der Übung.

3 2. Übung Graphentheorie WS2016/ (a) Sei A = die Adjazenzmatrix des Graphen G. Zeichnen Sie den Graph und geben Sie die Inzidenzmatrix an! (b) Sind die Graphen mit den folgenden Adjazenzmatrizen isomorph? A 1 = ,A = ,A = Gegeben sei der folgende gerichtete Graph a b c d e f g h (a) Bestimmen Sie die Adjazenzmatrix und die Inzidenzmatrix des Graphen. (b) Bestimmen Sie einen gerichteten Weg mit größtmöglicher Länge ( = Kantenzahl). 13. Sei G ein gerichteter Graph mit p Ecken. Zeigen Sie: Ist p ungerade und hat jede Ecke ungeraden Ausgangsgrad, dann gibt es eine ungerade Anzahl von Ecken mit ungeradem Eingangsgrad. (1 Punkt) 14. Sei G ein gerichteter Graph, der keine (gerichteten) Kreise enthält. Zeigen Sie: Es gibt mindestens eine Ecke e mit grad (e) = Sei G ein gerichteter Graph G mit p Ecken. G heißt k-regulär, wenn für jede Ecke e gilt grad + e = grad e = k. (a) Geben Sie für beliebiges p 2 ein Beispiel für einen schlichten gerichteten 1-regulären Graphen an. (b) Geben Sie für p = 3, p = 4 und p = 5 jeweils ein Beispiel für einen schlichten gerichteten 2-regulären Graphen an.

4 (c) Zeigen Sie: Für beliebiges p 2 existiert ein schlichter gerichteter (p 1)-regulärer Graph. (d) Zeigen Sie: Für beliebige p IN und k Z mit 0 k < p gibt es einen schlichten k-regulären gerichteten Graphen. (6 Punkte) 16. Welche der folgenden Graphen sind bipartit? Begründung! G 1 G 2 G 3 G (a) Geben Sie alle nichtisomorphen vollständigen bipartiten Graphen mit höchstens 6 Ecken an! (b) Zeichnen Sie K 1,2,2, K 2,2,2, K 2,3,3! (c) Wie viele Kanten hat K r,s,t für beliebige r,s,t IN? 18. (a) Sei G = (E,K) ein bipartiter Graph mit p Ecken und q Kanten. Zeigen Sie q p2 4. G 5 (5 Punkte) (b) Sei G = (E,K) ein r-partiter Graph mit p Ecken und q Kanten und i,j IN 0 mit p = i r + j, 0 j < r. Zeigen Sie, dass G höchstens so viele Kanten hat wie. K i+1,...,i+1,i,...,i }{{}}{{} j p j Geben Sie die maximale Kantenzahl an! 19. Seien G ein ungerichteter zusammenhängender Graph, W 1, W 2 zwei längste Wege in G (d.h. mit maximaler Kantenzahl). Zeigen Sie: W 1 und W 2 haben mindestens eine Ecke gemeinsam. Abgabe der Aufgaben 13, 15, 17 bis vor der Übung.

5 3. Übung Graphentheorie WS2016/ Sei G ein ungerichteter schlichter Graph mit p Ecken und q Kanten. Zeigen Sie: (a) Gilt (G)+δ(G)+1 p, dann ist G zusammenhängend. ( ) p r +1 (b) Hat G r Komponenten, dann gilt q. 2 (c) Aus q > (p 1)(p 2) 2 folgt: G ist zusammenhängend. (4 Punkte) 21. (a) Bestimmen Sie alle starken Komponenten des folgenden gerichteten Graphen. 3 (b) Untersuchen Sie, ob der zugehörige ungerichtete Graph eine stark zusammenhängende Orientierung hat und konstruieren Sie eine solche gegebenenfalls! 22. Sei G = (E,K) ein schlichter Graph. Der schlichte Graph G := (E,K) mit K := {uv;u,v E,u v,uv K} heißt Komplement von G oder zu G komplementärer Graph. (a) Bestimmen Sie die Komplemente folgender Graphen: G 1 G 2 (b) Für e E sei grad G (e) der Grad von e in G. Zeigen Sie: Für jedes e E gilt grad G (e)+grad G (e) = p 1. (c) In G gebe es genau eine gerade Ecke. Wie viele ungerade bzw. gerade Ecken hat G? (d) Zeigen Sie: Ist G nicht zusammenhängend, dann ist G zusammenhängend. Gilt auch die Umkehrung? G 3 (4 Punkte)

6 23. Sei G = (E,K) ein schlichter Graph mit p Ecken. G heißt selbstkomplementär, wenn G und G isomorph sind. (a) Zeigen Sie: Jeder selbstkomplementäre Graph ist zusammenhängend. (b) Geben Sie Beispiele für selbstkomplementäre Graphen an mit p {1,2,3,4,5,8}. (c) Zeigen Sie: Ist G selbstkomplementär, dann gilt p = 4k oder p = 4k +1 mit geeignetem k IN Kann man ein einzelnes Drahtstück so biegen, daß ein Kantenmodell eines Würfels entsteht? Wie sieht es bei einem Oktaeder aus? 25. Konstruieren Sie für folgenden Graph eine Euler-Tour mit Hilfe der Methode aus dem Beweis zu Satz bzw ! h i k d e f g a b c 26. Sei G = (E,K) ein Eulerscher Graph mit q Kanten. Weiter sei S := {e E; 1 grad(e) ist ungerade}. 2 Zeigen Sie: Ist q ungerade, dann hat S eine ungerade Anzahl von Elementen. 27. Zeigen Sie, daß der Dodekaedergraph aus Kapitel 1.3 Hamiltonsch ist. Abgabe der Aufgaben 20 a,c, 21, 22, 25 a bis vor der Übung.

7 4. Übung Graphentheorie WS2016/ Zeigen Sie: (a) Jeder kreisfreie Graph mit p 2 Ecken ist bipartit. (b) Die Graphen K 1,n, n IN, sind die einzigen vollständigen bipartiten Graphen, die Bäume sind. 29. Sei G ein schlichter ungerichteter Graph mit p Ecken und q Kanten. Zeigen Sie: Hat G genau zwei Komponenten, die beide nicht regulär sind, dann gilt (G)+δ(G)+3 p. 30. Untersuchen Sie, welcher der beiden folgenden Graphen Hamiltonsch ist! (3 Punkte) G 1 G 2 (3 Punkte) 31. Sechs Personen a,b,c,d,e,f sollen so an einem runden Tisch plaziert werden, dass jede Person ihre beiden Tischnachbarn noch nicht kennt. Die Bekanntschaftsverhältnisse seien durch folgende Adjazenzmatrix a b c d e f a b c d e f gegeben. Dabei bedeutet 1, dass die beiden Personen sich kennen, und 0, dass sie sich nicht kennen. Geben Sie, wenn möglich, eine entsprechende Sitzordnung an. 32. Sei G = (E,K) ein Hamiltonscher Graph, S E eine Teilmenge der Ecken mit k Elementen. Weiter sei G S der Graph, der entsteht, wenn man aus G die Ecken von S und die mit diesen Ecken inzidenten Kanten entfernt. Zeigen Sie: G S hat höchstens k Komponenten.

8 33. Sei G ein 3-regulärer schlichter ungerichteter Graph. Zeigen Sie: (a) In G existiert genau dann eine trennende Ecke, wenn in G eine Brücke existiert. (b) Gibt es eine Brücke in G, dann hat G mindestens 10 Ecken. (4 Punkte) 34. Sei G = (E,K) ein schlichter Graph, K = {k 1,...,k q }. Ein Graph L(G) = (E,K ) mit E = {e 1,...,e q }, K = {e i e j ; k i und k j benachbart in G} heißt Liniengraph von G. (a) Zeichnen Sie einen Liniengraph zu G (b) Zeigen Sie: Ist k = uv K, e die entsprechende Ecke in L(G), dann gilt grad L(G) e = grad G u+grad G v 2. (c) Zeigen Sie: Ist G zusammenhängend, dann auch L(G). (d) Zeigen Sie: Ist G Eulersch, dann ist L(G) Eulersch und Hamiltonsch. (e) Zeigen Sie: Ist G Hamiltonsch, dann ist L(G) Hamiltonsch. (f) Zeigen Sie: Die Umkehrung gilt jeweils nicht. Abgabe der Aufgaben 29, 30, 31, 33 bis vor der Übung.

9 5. Übung Graphentheorie WS2016/ Zeigen Sie: Ist k eine Brücke des Graphen G, dann hat G k genau eine Komponente mehr als G. Gilt entsprechendes auch für eine trennende Ecke? 36. Sei G ein kreisfreier Graph. Zeigen Sie: e ist trennende Ecke von G genau dann, wenn grad(e) > Geben Sie für folgende Graphen alle trennende Ecken an. Wenn es keine trennenden Ecken gibt, dann geben Sie minimale trennende Eckenmengen an, also Mengen S E, so dass S möglichst wenig Ecken enthält und G S mehr Komponenten hat als G. G 1 G 2 G Welcher der folgenden Graphen ist ein Baum bzw. ein Wald? e 3 e 6 e 3 e 6 e 3 e 6 e 3 e 6 e 3 e 6 e 2 e 5 e 2 e 5 e 2 e 5 e 2 e 5 e 2 e 5 e 1 e 4 e 1 e 4 e 1 e 4 e 1 e 4 e 1 G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 e Sei G ein zusammenhängender Graph, k eine Kante in G. Zeigen Sie: k ist genau dann eine Brücke, wenn jeder spannende Baum von G k enthält, und genau dann eine Schlinge, wenn k in keinem spannenden Baum von G enthalten ist. 40. Seien g 1,...,g p natürliche Zahlen. (4 Punkte) (a) Zeigen Sie: Es gibt einen Baum B mit p Ecken e 1,...,e p und grade i = g i, 1 i p, p genau dann, wenn g i = 2p 2. i=1

10 (b) Konstruieren Sie einen Baum mit 7 Ecken und grade i = 1, 1 i 4, grade 5 = 2, grade i = 3, 6 i Bestimmen Sie alle nicht zueinander isomorphen Bäume mit 6 Ecken. 42. Bestimmen Sie alle nicht isomorphen schlichten Graphen G = (E, K) mit p Ecken, q Kanten und 3 Komponenten G 1, G 2, G 3 mit folgender Eigenschaft: (a) p = 10, q = 15, G 1 ist 4-regulär, G 2 ein Baum und G 3 ein Kreis. (3 Punkte) (b) p = 15, q = 17, G 1 ist 3-regulär, G 2 ein Baum und G 3 ein Kreis gerader Länge. Abgabe der Aufgaben 35, 37, 39, 40 b, 42 a bis vor der Übung.

11 6. Übung Graphentheorie WS2016/ Sie besitzen 8 Sendemasten, deren Position und Sendestärke durch folgender Tabelle gegeben ist: Sendemast A B C D E F G H Koordinaten (0;2) (2;0) (3;4) (5;1) (4;3) (7;4) (8;2) (10;2) Sendestärke Jeder Mast kann ein Signal aussenden, welches von allen andern Masten innerhalb seines Senderadius empfangen werden kann. Mit Hilfe dieser Masten soll ein Signal von Mast A an alle anderen Masten gesendet werden. (a) Beschreiben Sie das Problem graphentheoretisch. (b) Aus Kostengründen soll das Signal von möglichst wenigen Masten weitergesendet werden. Von wievielen Masten müssen Sie es mindestens senden? (c) Die Kosten dafür, das Signal von einem Mast aus zu senden, seien proportional zu seiner Reichweite. Welche Masten verwenden Sie zu Weiterleitung, wenn Sie die Gesamtkosten möglichst klein halten wollen? 44. Gegeben ist der folgende Graph (a) Bestimmen Sie einen minimalen spannenden Baum und seinen Wert mit dem Algorithmus von Kruskal. (b) Zeigen Sie: Mit jedem Algorithmus zur Bestimmung eines minimalen spannenden Baums kann man auch einen maximalen spannenden Baum bestimmen. (c) Bestimmen Sie einen minimalen spannenden Baum und einen maximalen spannenden Baum und die Werte mit dem Algorithmus von Prim. (8 Punkte)

12 45. Zeigen Sie: Ist G ein zusammenhängender kantenbewerteter Graph und sind die Werte verschiedener Kanten verschieden, dann gibt es für G genau einen minimalen spannenden Baum. Gilt auch die Umkehrung? (4 Punkte) 46. Gegeben sei der Graph aus folgender Abbildung mit den Kantengewichten 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6 und 6. e 5 e 6 e 4 e 1 e 2 e 3 Verteilen Sie, wenn möglich, die Kantengewichte so, dass der Graph (a) einen eindeutig bestimmten minimalen spannenden Baum, (b) mehrere minimale spannende Bäume hat. Abgabe der Aufgaben 44, 45 bis vor der Übung.

13 7. Übung Graphentheorie WS2016/ Bestimmen Sie zu dem folgenden Graph s e 3 4 e e e e e 1 e 7 e 9 e 8 mit dem Algorithmus von Dijkstra einen Baum kürzester Wege mit Wurzel s (d.h. für jede Ecke e einen kürzesten s-e-weg). (4 Punkte) 48. Es sei G = (E,K) ein Graph mit nichtnegativen Kantengewichten w(k) für alle k K und W = (s,e 1,...,e n ) ein kürzester Weg von s nach e n. Beweisen oder widerlegen Sie: (a) Für a > 0 ist W auch ein kürzester Weg von s nach e n bezüglich der Kantengewichte w (k) := w(k)+a für alle k K. (b) Für a > 0 ist W auch ein kürzester Weg von s nach e n bezüglich der Kantengewichte w (k) := a w(k) für alle k K. 49. Es sei G = (E,K) ein Graph mit nichtnegativen Kantengewichten w(k) für alle k K und p Ecken und sei s E. Weiter sei T 1 = (E,K 1 ) ein minimaler spannender Baum und T 2 = (E,K 2 ) ein Baum kürzester Wege von s zu den anderen Ecken. Zeigen Sie w(t 1 ) w(t 2 ) (p 1) w(t 1 ). 50. Untersuchen Sie, ob folgender Algorithmus zur Suche von kürzesten Wegen auf gewichteten Graphen zum richtigen Ergebnis führt: Eingabe: ein gewichteter Graph mit nicht-negativen Gewichten. Ausgabe: kürzeste Wege vom Startknoten zu allen anderen Knoten. (1) Zu Beginn bekommen alle Ecken die Distanz unendlich. (2) Wähle eine Startecke. Sie bekommt die permanente Distanz 0 und ist nun die aktive Ecke.

14 (3) Setze als Distanz (temporäre Distanzen) der Nachbarecken der aktiven Ecke mit temporärer Distanz das Kantengewicht der anliegenden Kante(n) fest. (4) Wähle die Ecke mit der kleinsten temporären Distanz. Sie ist nun die aktive Ecke und ihre Distanz wird unveränderlich festgeschrieben (permanente Distanz). (5) Wiederhole (3) bis (4) so lange, bis es keine Ecke mit permanenter Distanz mehr gibt, deren Nachbarn noch temporäre Distanzen haben. Geben Sie gegebenenfalls einen Graphen an, in dem der angegebene Algorithmus zu (mindestens) einer Ecke nicht den kürzesten Weg ausgibt. Markieren Sie den ausgegebenen Weg im Graphen. 51. (a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Floyd-Warshall-Algorithmus für den folgenden Graphen die Längen aller kürzesten Wege und bestimmen Sie einen kürzesten e 1 -e 2 -Weg, e 2 - e 4 -Weg, e 3 -e 5 -Weg, e 4 -e 1 -Weg bzw. e 5 -e 3 -Weg: e e 5 e e 4 10 e 3 (4 Punkte) (b) Zeigen Sie, dass die Matrix (e (p) ij ) die richtige Information für die Bestimmung der kürzesten u-v-wege liefert. 52. Führen Sie den Floyd-Warshall-Algorithmus für die Graphen aus Beispiel und (2) durch und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Abgabe der Aufgaben 47, 48, 50, 51 a bis vor der Übung.

15 8. Übung Graphentheorie WS2016/ Zeigen Sie, dass folgende Graphen planar sind! e 5 e 5 e 6 e 5 e 6 e 4 e 9 e 7 e 4 e e 7 6 e 4 e 3 e 10 e 8 e 3 e 7 e 8 e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 3 e G 1 G 2 2 G Sei G ein ebener zusammenhängender 4-regulärer Graph mit p Ecken, q Kanten und 10 Ländern. Bestimmen Sie p und q und zeichnen Sie einen solchen Graphen. 55. Sei G ein schlichter Graph mit p 11 Ecken. Zeigen Sie: Es können nicht G und G planar sein. 56. Sei G ein schlichter zusammenhängender ebener Graph mit p Ecken, q Kanten und s Ländern, s i die Anzahl der Länder der zugehörigen Landkarte mit i Kanten. Zeigen Sie: (a) Ist G 3-regulär, dann gilt 12 = 3s 3 +2s 4 +s 5 (i 6)s i. i=7 (b) Gilt δ(g) 3, dann gibt es mindestens 1 Land mit höchstens 5 Kanten. (c) Gilt die Behauptung aus (b) auch, wenn δ(g) 2 ist? (4 Punkte) 57. (a) Sei G = K 5 oder G = K 3,3, k eine beliebige Kante von G. Zeigen Sie: G k ist planar. (b) Gilt das auch für G = K p mit p 6 oder G = K m,n mit m 3, n 4? 58. Bestimmen Sie alle (a) vollständigen planaren Graphen K p, (b) vollständigen bipartiten planaren Graphen K s,t, (c) vollständigen 3-partiten planaren Graphen K r,s,t. Abgabe der Aufgaben 54, 56 a,c, 58 bis vor der Übung. (6 Punkte)

16 9. Übung Graphentheorie WS2016/ Ein konvexes Polyeder habe Seitenflächen, die ausschließlich regelmäßige Fünfecke oder regelmäßige Sechsecke sind. Wie viele Fünfecke sind dabei? (3 Punkte) 60. Gegeben seien folgende Graphen: G 1 k 1 k 2 G 2 Zeigen Sie mit Hilfe von Satz , dass 61. (a) G 1 nicht Hamiltonsch ist, (b) G 2 zwar Hamiltonsch ist, es aber keinen Hamilton-Kreis in G 2 gibt, der die Kanten k 1 und k 2 enthält. e 5 e 6 e 4 Zeigen Sie, dass folgender Graph G 1 nicht planar ist. Geben Sie einen Teilgraph G 2 an, der Unterteilung von K 5 oder K 3,3 ist. e 7 e 3 G Unter dem 4-dimensionalen Würfelgraph versteht man den Graphen mit der Eckenmenge E = {(x 1,x 2,x 3,x 4 ); x i = 0 oder x i = 1, 1 i 4} = {e 1,...,e 16 }, und den Kanten e i e j, wenn die Koordinaten von e i und e j sich an genau einer Stelle unterscheiden. Zeigen Sie: (a) G ist bipartit. (b) G ist nicht planar. e 8 e 1 e 2 (4 Punkte)

17 63. Gegeben sind die beiden folgenden Graphen: G 1 G 2 (a) Zeichnen Sie G 1 und G 2. (b) Zeigen Sie, dass G 1 und G 2 isomorph sind, aber ihre duale GraphenG 1 und G 2 nicht. (3 Punkte) Abgabe der Aufgaben 59, 60, 62, 63 bis vor der Übung.

18 10. Übung Graphentheorie WS2016/ Bestimmen Sie (a) die chromatische Zahl und folgender Graphen! (b) den chromatischen Index G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G Bestimmen Sie (a) die chromatische Zahl und (b) den chromatischen Index der platonischen Körper und des Petersen-Graphen. (3 Punkte) 66. An einer Schule soll ein Zeitplan für Prüfungen in neuen unterschiedlichen Fächern aufgestellt werden. Wenn es Schüler gibt, die zwei oder mehr dieser Fächer belegt haben, müssen die Prüfungen zu unterschiedlichen Zeiten stattfinden. Folgende Tabelle gibt an, welche Fächerpaare von mindestens einem Schüler gewählt wurden: A B C D E F G H I A x x x B x x C x x x x D x x x x E x x x x F x x x G x x x H x x x I x x Beschreiben Sie das Problem als Färbungsproblem eines Graphen, geben Sie die minimale Anzahl von benötigten Prüfungsterminen an und einen geeigneten Zeitplan. 67. Sei G ein Graph, der aus zwei vollständigen Graphen K s und K t besteht, die genau eine Ecke und keine Kante gemeinsam haben. Bestimmen Sie χ(g).

19 68. Sei G ein schlichter Graph. Zeigen Sie: (a) Enthält G genau einen Kreis C ungerader Länge, dann ist jeder weitere Kreis kantendisjunkt zu C. (b) Enthält G genau einen Kreis ungerader Länge, dann gilt χ(g) = 3. (5 Punkte) 69. Sei G ein 3-regulärer Hamiltonscher Graph. Zeigen Sie χ (G) = In einem Wettbewerb mit 2n Mannschaften muss jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft im direkten Vergleich antreten. Keine Mannschaft tritt am selben Tag mehrmals an. Zeigen Sie mit Hilfe der Kantenfärbung eines Graphen, dass der Wettbewerb in genau 2n 1 Tagen durchgeführt werden kann. Abgabe der Aufgaben 65, 66, 68, 69 bis vor der Übung.

20 11. Übung Graphentheorie WS2016/ Geben Sie für folgende Graphen und das zugehörige angegebene Matching M jeweils einen längsten M-alternierenden Weg W an, der nicht M-erweiternd ist, einen M-erweiternden Weg W (falls er existiert), und gegebenenfalls ein maximales Matching. (a) e 8 e 7 e 9 e 4 (b) e 4 e 5 e 6 e 1 e 2 e 3 M 1 = {e 2 e 4,e 5 e 7,e 6 e 8 } e 3 e 6 e 4 e 5 e 1 e 2 M 3 = {e 1 e 3,e 2 e 5,e 4 e 6 } e 1 e 5 e 8 e 6 e 7 e 3 e 2 M 2 = {e 5 e 8,e 6 e 7 } e 10 e 11 e 12 e 7 e 8 e 9 e 6 e 5 e 2 e 3 e 4 e 1 M 4 = {e 3 e 5,e 6 e 9,e 7 e 10,e 8 e 11 } 72. Für p IN, p 4, sei W p der Graph, der sich zusammensetzt aus einem Kreis mit p 1 Ecken und einer zusätzlichen Ecke, die mit allen anderen Ecken verbunden ist. Bestimmen Sie ein maximales Matching für (a) ein Rad W p mit p 4, (b) einen vollständigen Graphen K p mit p 2, (c) einen vollständigen 3-partiten Graphen K n,n,n für n IN. Welche der Matchings sind perfekt, welche fast-perfekt. 73. Sei G = (E,K) ein schlichter Graph mit p Ecken, E E eine maximale unabhängige Menge in G mit p Ecken. Zeigen Sie: Es gilt p p (G)+1.

21 74. Sei G = (E,K) ein schlichter Graph, β(g) die Eckenüberdeckungszahl, α 0 (G) die Kantenunabhängigkeitszahl von G, δ(g) der minimale Eckengrad. (a) Zeigen oder widerlegen Sie: Jede überdeckende Eckenmenge E E von G enthält eine minimale überdeckende Eckenmenge E E (mit E = β(g)). (b) Zeigen oder widerlegen Sie: Jede unabhängige Kantenmenge K K von G ist in einer maximalen unabhängigen Kantenmenge K K (mit K = α 0 (G)) enthalten. 75. Sei G = (E, K) ein schlichter Graph, β(g) die Eckenüberdeckungszahl, δ(g) der minimale Eckengrad. Zeigen Sie: β(g) δ(g). 76. Sei G = (E,K) ein vollständiger r-partiter Graph mit p Ecken. Zeigen Sie: (a) β(g) = δ(g). (b) G ist Hamiltonsch genau dann, wenn p 2 β(g). 77. Sei G = (E 1 E 2,K) bipartit und der Grad jeder Ecke von E 1 ist mindestens so groß wie der Grad jeder Ecke von E 2. Zeigen Sie: Es gibt ein vollständiges Matching von E 1 nach E In der NRW-Labor-Schule Siegen sind 7 Planstellen zu besetzen zur Abdeckung des Unterrichts in den Fächern Chemie, Englisch, Erdkunde, Französisch, Geschichte, Mathematik und Physik. Die 7 Bewerber können Unterricht in folgenden Fächern erteilen: Frau Abendroth Mathematik, Physik Frau Berg Chemie, Englisch, Mathematik Herr Czaja Chemie, Französisch, Geschichte, Physik Frau Denker Englisch, Französisch, Geschichte, Physik Herr Ehrgeiz Chemie, Mathematik Herr Faulhaber Mathematik, Physik Frau Gutemiene Englisch, Erdkunde, Geschichte Jeder Lehrer soll allerdings anschließend genau ein Fach unterrichten. Bestimmen Sie, ausgehend von der Zuordnung Berg-Mathematik, Czaja-Chemie, Denker- Geschichte, Faulhaber-Physik, Gutemiene-Englisch mit Hilfe des Algorithmus nach Satz eine maximales Matching. (6 Punkte) Abgabe der Aufgaben 71 b, 72 c, 74, 78 bis vor der Übung.

22 12. Übung Graphentheorie WS2016/ Untersuchen Sie, ob der Fluß f : K IR auf dem Netzwerk N s a b 20 z mitf( sa) = 20,f( sb) = 0,f( ab) = 20,f( az) = 0,f( bz) = 20maximalistundbestimmen Sie gegebenenfalls mit dem Algorithmus von Ford-Fulkerson einen maximalen Fluß und den zugehörigen minimalen Schnitt. (3 Punkte) 80. Sei N = (E,K,s,z,c) ein Netzwerk mit Kapazität c(k) IN für alle k K. Beweisen oder widerlegen Sie: (a) Sind alle Werte der Kapazität gerade Zahlen, so existiert ein maximaler (s, z)-fluss, der nur geradzahlige Flusswerte besitzt. (b) Sind alle Werte der Kapazität ungerade Zahlen, so existiert ein maximaler (s, z)- Fluss, der nur ungeradzahlige Flusswerte besitzt. 81. In dem bipartiten Graphen G = (E,K) s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 z 3 z4 z 1 z 2 z 5 z 6 z 7 ist das gesättigte Matching M = { s 1 z 2, s 2 z 3, s 3 z 1, s 5 z 4, s 6 z 7 } gegeben. Konstruieren Sie mit Hilfe des Algorithmus von Ford-Fulkerson ein maximales Matching. Wandeln Sie dazu den Graphen in ein Netzwerk (E,K,s,z,c) um und bestimmen Sie einen geeigneten Fluss, der dem Matching M entspricht. 82. Sei N = (E,K,s,z,c) ein Netzwerk, c : E IR eine nichtnegative Funktion. Gesucht ist ein maximaler Fluß in N, der den Bedingungen 0 f(k) c(k) für alle k K, f(k) c(e) für alle e E \{s,z} k K (e)

23 genügt. Transformieren Sie das Problem so, dass man den Satz vom Minimalschnitt-Maximalfluß anwenden kann. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen an dem Netzwerk N = (E,K,s,z,c) mit E = {s,a,b,z}, K = { sa, sb, az, bz, ba}, c( sa) = 3, sb = 5, az = 1, bz = 2, ba = 3 und mit c(a) = 4, c(b) = 6. (9 Punkte) 83. Seieni,j INundN = (E,K,s 1,s 2...,s m,z 1,z 2,...,z n,c)einnetzwerk mit denquellen s 1,s 2...,s m und den Senken z 1,z 2,...,z n. Gesucht ist ein Fluß f mit 0 f(k) c(k) für alle k K, f( ue) = f( ew) für alle e E \{s 1,s 2...,s m,z 1,z 2,...,z n } ew K ue K und mit maximalem Wert f = s i u K,1 i m f( s i u) us i K,1 i m f( us i ). Wie kann man die Ergebnisse aus Kapitel 7 auf ein solches Netzwerk anwenden? Abgabe der Aufgaben 79, 82 bis 1.2. vor der Übung.