Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?

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1 Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Königsberger Brückenproblem Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? 1 2 Jede Kante verläuft von Ecke zu Ecke. Ecken= vertices V Kanten= edges E Was ist ein Graph? und begründete damit die Graphentheorie Ein Graph besteht aus einer Eckenmenge und einer Kantenmenge G ( E, K) Mindestens eine Ecke 3 Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten. Gundbegriffe Die Adjazenz-Matrix gibt an, durch wie viele Kanten die Ecken verbunden sind. 4 Eulersche Begriffe In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Kanten, die zu ihrer Startecke zurückkehren, heißen Schlingen. Eulersche Begriffe In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. Ein geschlossener Eulerscher Weg heißt Eulerscher Kreis. 5 In welchen Graphen gibt es einen Eulerschen Kreis? 6 1

2 Eulers Lösung: Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Eulers Lösung: Eulerscher Satz: Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben. Beweis:??? 7 8 Eulers Lösung: Eulerscher Satz: Das Haus des Nikolaus In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Im Königs- berg- Graphen gibt es keinen Eulerschen Kreis. Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben Das Haus des Nikolaus In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor. Eulerscher Satz: Graphen in unserer Welt Einen offenen Eulerschen Weg gibt es genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben

3 Graphen in unserer Welt Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben. 13 Graphen in unserer Welt Mit Graphen schafft man sich ein Modell der Wirklichkeit, das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet. Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle. Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben. 14 Routenplaner und Graphen Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Routenplaner und Graphen Die Routenplaner arbeiten mit bewerteten Graphen Die Bewertung kann Entfernung, Zeit, Kosten... bedeuten. Erstmal leichtere Probleme: Stadtplanung und Graphen Für das Stadtbauamt kann die Bewertung bedeuten. Bewertung Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. 17 greedy=gierig 18 3

4 Eine Kante davon wählen. Nicht nehmen, sonst wird es ein Kreis. Bewertung Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Entstanden ist ein minimaler Spannbaum Bewertung Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist Entstanden ist ein minimaler Spannbaum Bewertung Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist. Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreise. 21 Selber machen Bewertung Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die. Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis Mache dann mit einer nächst teureren Kante weiter, bis ein Spannbaum Übrigens: gibt es hier einen Eulerschen Weg? 22 Bewertung Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die. Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum Bewertung Leitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die. Markiere solange die billigsten Kanten, solange kein Kreis Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. 23 Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad. 24 4

5 Graphen- Theorie ist eins der spannendsten und dynamischsten mathematischen Themen zur Zeit. Zwei Mathematiker greifen die Idee von Sofies Welt auf An der geforderten Ecke anfangen Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit Grips Es ist schwieriger zu lösen. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 Sprich ij wie ei Erstmal so wie Sie es in der Klausur machen sollten! weiter so Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandswert beschriften 26 An der geforderten Ecke anfangen Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit Grips Es ist schwieriger zu lösen. Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen Ecken Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960 Sprich ij wie ei Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein. weiter so Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandwert beschriften 27 Fertige Ecken: A Unfertige Ecken: B1 A, E9 A, D2 A, Aktive Ecke wird: B1 A Unbetretene Ecken: C F G H I 28 Fertige Ecken: A, B1 A, Unfertige Ecken: E9 A, E8 B, D2 A, C7 B, Aktive Ecke wird: D2 A Unbetretene Ecken: F G H I Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet. 29 Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, Unfertige Ecken: E8 B, C7 B, E7 D, H5 D, Aktive Ecke wird: H5 D Unbetretene Ecken: F G I Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet. 30 5

6 Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D Unfertige Ecken: C7 B, E7 D, E6 H, I9 H Aktive Ecke wird: E6 H, 31 Unbetretene Ecken: F G Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H Unfertige Ecken: C7 B, I9 H, I8 E, F11 E Aktive Ecke wird: C7 B Unbetretene Ecken: G Der Wert Wert einer Ecke ist seine Entfernung von A. Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet. 32 Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B Unfertige Ecken: I8 E, F11 E, F9 C, G13 C, Aktive Ecke wird: I8 E Unbetretene Ecken: ggf. Ecken neu bewertet. Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke. 33 Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E Unfertige Ecken: F9 C, G13 C, G12 I, Aktive Ecke wird: F9 C Unbetretene Ecken: ggf. Ecken neu bewertet. 34 Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E, F9 C, G10 F Unfertige Ecken: G12 I, G10 F ggf. Ecken neu bewertet. Aktive Ecke wird: G10 F Unbetretene Ecken: Die letzte aktive Ecke ist fertig. 35 Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum. Fertige Ecken: A0, B1 A, D2 A, H5 D, E6 H, C7 B, I8 E, F9 C, G10 F Das ist nun ein kürzeste-wege-baum

7 Es wird gelöst vom Logistik Interaktive Version an der TU München Dies ist Aufgabenblatt 6 bei der TUM 37 1.Modellierung des Problems mit Graphen 2.Bewertung des Graphen mit 1.Fahrzeiten oder 2.Fahrkosten 3.Streckenlänge. Lösung des Kürzeste-Wege- Problems 38 Landkarten färben Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Länder verschieden gefärbt sein sollen? Modellierung des Problems mit Graphen: Landkarten färben mit Graphentheorie Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen? Landkarten färben mit Graphentheorie Wie viele Farben braucht man, wenn benachbarte Hauptstädte verschieden gefärbt sein sollen? Vier-Farben-Satz Es reichen immer vier Farben Erst 1976 mit Computereinsatz bewiesen (Appel, Haken) 41 Eckenfärbung von Graphen Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Gibt es einen hier Eulerschen Weg? Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. 42 7

8 Eckenfärbung von Graphen Die Ecken sollen so gefärbt werden, dass benachbarte Ecken verschiedene Farben haben Eulerschen Weg? Nein, 3 Ecken mit ungeradem Grad, durften höchstens 2 sein. Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen. 43 Mobilfunk-Konfliktgraphen Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konfliktgraphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann. 44 Mobilfunk-Konfliktgraphen Konflikt-Graphen Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konfliktgraphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann. 45 Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. 47 Adjazenzmatrix dazu Konflikt-Graphen Graphentheorie in Büchern Kombinatorische Optimierung erleben: Im Studium und Unterricht Stephan Hußmann (Autor), Brigitte Lutz-Westphal (Autor) Manfred Nitzsche Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden. Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig Grün an ihrer Ampel haben. Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap

9 Fuzzy-Logik weiche Logik Knotentheorie Zöpfe Bereich Algebra, Logik 50 Bereich Knotentheorie, moodle Kap Fraktale, Chaostheorie Fraktale, Chaostheorie Bereich Fraktale 52 Bereich Fraktale 53 Fraktale, Chaostheorie Bereich Fraktale, moodle Kap