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Transkript

1 Stephan Hußmann (Hrsg.) o ma orrsc e, I rerun er e en In Studium und Unterricht vieweg

2 42 - ein Geleitwort von Peter Gritzmann Xl Vorwort Xll1 1 Optimal zum Ziel: Das Kürzeste-Wege-Problem 1 1 U-Bahn-Fahrten, Schulwege und die Reise von Datenpaketen.. 1 Problem 1 - U-Bahn fahren Problem 2 - Den Schulweg oder den Weg zur Arbeit optimieren 2 Problem 3 - Datenpakete verschicken Die Qual der Wahl: Was soll optimiert werden? Alle Möglichkeiten probieren: Enumeration Graphen und Graphenisomorphie Graphen und Wege Das Graphenlabor Graphenisomorphie Matrizen Die Breitensuche Erste Ideen für einen»weg-mit-minimaler-anzahl-von-kanten- Algorithmus« Die Froschperspektive und die Lochblende Formulierung der Breitensuche Blättertausch und Rollenspiel: Überprüfen der Formulierung 24 6 Der Algorithmus von Dijkstra Gewichtete Graphen Den Algorithmus von Dijkstra nacherfinden Mehr über optimale Wege

3 VI 8 Vertiefung: Korrektheitsbeweise Korrektheitsbeweis für die Breitensuche Korrektheitsbeweis für den Algorithmus von Dijkstra Günstig verbunden: Minimale aufspannende Bäume 39 1 Leitungsnetze planen, Straßen erneuern und Computer verkabeln 39 Problem 1 - Leitungen erneuern Problem 2 - Straßenbeläge kostengünstig verbessern Problem 3 - Telefonleitungen mieten Problem 4 - Computernetzwerke verkabeln Das Problem modellieren Bäume Eindeutigkeit der Wege Die Anzahl der Baumkanten Die Anzahl der aufspannenden Bäume Die Tiefensuche Der Algorithmus Korrektheitsbeweis Das Daumenkino und noch einmal die Lochblende Exkurs: Ariadne - die erste Informatikerin Enge Verwandte: Tiefensuche und Breitensuche 60 5 Die Algorithmen von Kruskal und Prim Kosten kommen ins Spiel 62 Zwei»gierige«Vorgehensweisen Steinerbäume Vertiefung: Korrektheitsbeweise für die Algorithmen von Kruskal und Prim , 66 3 Mathematik für die Müllabfuhr: Das chinesische Postbotenproblem 69 1 Tourenplanung für Müllabfuhr, Postzustellung und Museen Problem 1 - Müllabfuhr optimieren Problem 2 - Das chinesische Postbotenproblem 70 Problem 3 - Ein Museum planen 71

4 ' va 2 Modellierung durch Graphen 71 Welche Informationen werden zur Lösung der Aufgabe b enötigt:.. ' ( Wie genau soll das Modell werden? Das chinesische Postbotenproblem Eulergraphen und Eulertouren Die Müllabfuhr, die Königsberger Brücken und Leonhard Euler 77 Algorithmen für Eulertouren 79 Figuren in einem Zug zeichnen 84 5 Knotengrade 84 Die Anzahl der ungeraden Knoten Ein weiterer Beweis für die Anzahl der Blätter im Baum Mehr über Knotengrade Matchings: Was die Müllabfuhr mit Partnerwahl zu tun hat Die Lösung für Müllautos und andere Anwendungen Thema mit Variationen: Andere Postbotenprobleme 93 4 Martin Grötschel Schnelle Rundreisen: Das Travelling-Salesman-Problem 95 1 Problem 1 - Städtereisen Die Modellierung als Graph Problem 2 - Das Bohren von Leiterplatten Löcher bohren: Die Zielfunktion Der Ursprung des Travelling-Salesman-Problems Lösungsmethoden 108 Exakte Algorithmen: Enumeration 109 Exakte Algorithmen: Ganzzahlige Programmierung 111 Greedy-Algorithmen Approximationsalgorithmen für das STSP 118 Verbesserungsverfahren Vertiefung Die Nichtapproximierbarkeit des TSP Zufall und das TSP Lösungen und Literaturhinweise

5 V11l 5 Timo Leuders Wenn es Mathematikern zu bunt wird: Färbeprobleme 1 Landkarten, Fische, Handys und Botschafter Problem 1 - Landkartenfärbung Problem 2 - Fischgesellschaften Problem 3 - Handynetze Problem 4 - Diplomatenkarussell Wie passt das alles zusammen? Ideen, Begriffe und Zusammenhänge. Graphen als Modelle Ein kleiner Abstecher oder:»da bist du platt« Reichen vier Farben denn nun immer? Plättbarkeit und Färbbarkeit Wie sieht es aber nun mit 4 Farben aus? Wie knackt man die Färbungsprobleme praktisch?. Fingerübungen Jetzt wird es handgreiflicher: Färbealgorithmen Von der Heuristik zum Algorithmus Vorwä d nich,» orwarts, un lllc t vergessen.«. Wie aus einem Beweis ein Algorithmus wird Stephan Hußmann Mit Mathematik spielend gewinnen: Kombinatorische Spiele Mit Mathematik spielend gewinnen Spiel 1 - Bridg-It Spiel 2 - Shannon-Switching-Game Spiel 3 - Trianguli Spiel 4 - Hex Spiele mit mathematischer Strategie gewinnen 174 Bridg-It - Zugänge zur Graphentheorie Kann das Spiel jemals unentschieden enden? Wie kann eine geeignete Gewinnstrategie aussehen? Wer beginnt, der gewinnt Shannon-Switching-Game Trianguli Hex

6 IX 7 Stephan Hußmann Wer passt zu wem? Matchings Jobs und Tanzkurse - immer eine Frage der richtigen Zuordnung Problem 1 - Jobverteilung Problem 2 - Tanzkurs Eine Entdeckungsreise durch die Welt der Matchings Aufwelcher Seite stehst du? - Zweigeteilte Graphen Stellen und Bewerber J. I'" etzt emma gieng Perfekt matchen Gute Nachbarschaftsverhältnisse Jetzt wird geheiratet Immer abwechselnd Knoten statt Kanten Eine Decke voller Knoten. Ein kurzer Ausblick: Matchings aufgewichteten Graphen Stephan Hußmann Wie viel passt noch in die Leitung? Flüsse und Netzwerke Von Flüssen und Gewinnchancen. 233 Problem 1 - Energietransport Problem 2 - Handballmeisterschaft Wie viel Wasser passt in den Fluss? Viele Wege führen zum Ziel Fluss und Kapazität Welche Wege gibt es überhaupt? Von verschiedenen Standorten aufdas Problem schauen Alltagserfahrungen nutzbar machen Netzwerkschnitte Vorwärts oder Rückwärts. Wie lässt sich ein Fluss maximieren? Kleinster Schnitt trifft größten Fluss Auf der Suche nach einem Algorithmus Wer wird erster? Spiele und Mannschaften

7 x 9 Martin Grötschel Das Problem mit der Komplexität: P = NP? Andreas Brieden und Peter Gritzmann Von Ackerbau und polytopalen Halbnormen: Diskrete Optimierung für die Landwirtschaft Problem - Flurbereinigung Lösung durch computergestütze Enumeration? Modellierung Die Nebenbedingungen Geometrischlzahlentheoretische Interpretation der zulässigen Menge 283 Wahl der Zielfunktion Abstandsmessung 288 Abstandsmaximierung Polytopale Halbnormen Zusammenfassung des Algorithmus Umsetzung in der Praxis Optimierungsvorschlag 300 Postoptimierung vor Ort Fazit Literatur 305 Index 309