Brückenkurs Mathematik. Jörn Steuding (Uni Würzburg), 13. Januar 2018
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1 Brückenkurs Mathematik Jörn Steuding (Uni Würzburg), 3. Januar 08
2 unser Programm. November:. Zahlen und einfache Gleichungen Zahlen, Rechengesetze, lineare u. quadratische Gleichungen, Dezimalbrüche, ein wenig Geometrie 5. November:. Folgen und Grenzwerte Konvergenz und Divergenz, geometrische Reihe 9. Dezember: 3. Funktionen Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrale 3. Dezember: Evaluation & Weihnachtsfeier Das Haus vom Nikolaus, Königsberger Brückenproblem 3. Januar: 4. Graphen Euler-Kreise, Planarität, Färbbarkeit 7. Januar: 5. Vektoren und Gleichungssysteme Addition, Vektorräume, explizites Lösen von Gleichungssystemen 0. Februar: 6. Wahrscheinlichkeitstheorie & Abschluss Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsräume, Laplace-Experimente
3 unser Programm. November:. Zahlen und einfache Gleichungen Zahlen, Rechengesetze, lineare u. quadratische Gleichungen, Dezimalbrüche, ein wenig Geometrie 5. November:. Folgen und Grenzwerte Konvergenz und Divergenz, geometrische Reihe 9. Dezember: 3. Funktionen Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrale 3. Dezember: Evaluation & Weihnachtsfeier Das Haus vom Nikolaus, Königsberger Brückenproblem 3. Januar: 4. Graphen Euler-Kreise, Planarität, Färbbarkeit 7. Januar: 5. Vektoren und Gleichungssysteme Addition, Vektorräume, explizites Lösen von Gleichungssystemen 0. Februar: 6. Wahrscheinlichkeitstheorie & Abschluss Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsräume, Laplace-Experimente
4 unser Programm. November:. Zahlen und einfache Gleichungen Zahlen, Rechengesetze, lineare u. quadratische Gleichungen, Dezimalbrüche, ein wenig Geometrie 5. November:. Folgen und Grenzwerte Konvergenz und Divergenz, geometrische Reihe 9. Dezember: 3. Funktionen Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrale 3. Dezember: Evaluation & Weihnachtsfeier Das Haus vom Nikolaus, Königsberger Brückenproblem 3. Januar: 4. Graphen Euler-Kreise, Planarität, Färbbarkeit 7. Januar: 5. Vektoren und Gleichungssysteme Addition, Vektorräume, explizites Lösen von Gleichungssystemen 0. Februar: 6. Wahrscheinlichkeitstheorie & Abschluss Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsräume, Laplace-Experimente
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9 4. Graphen Graphentheorie ist eine junge mathematische Disziplin mit vielen Anwendungen...
10 Was ist ein Graph? Ein Graph besteht aus einer Menge von Ecken und Kanten, die je zwei Ecken miteinander verbinden.
11 Was ist ein Graph? Ein Graph besteht aus einer Menge von Ecken und Kanten, die je zwei Ecken miteinander verbinden Sind die Ecken nummeriert, lässt sich der Graphen besser beschreiben. Wir können den Kanten auch eine Richtung vorschreiben; dann liegt ein gerichteter Graph vor.
12 das Haus vom Nikolaus Das - ist - das - Haus - vom - Ni - ko - laus! Man versuche, die Figur ohne Abzusetzen zu zeichnen und dabei keine Kante doppelt zu ziehen!
13 das Haus vom Nikolaus Finde einen Weg, der jede Kante genau einmal entlang läuft!
14 das Haus vom Nikolaus Zum Beispiel:
15 kein Haus vom Nikolaus Ein Euler-Weg ist ein Weg in einem Graphen, der jede Kante des Graphen genau einmal entlang läuft (wie beim Haus vom Nikolaus). Nicht jeder Graph enthält einen Euler-Weg...
16 das Königsberger Brückenproblem Gibt es in dieser Stadt einen Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Bei dieser Stadt handelt es sich um die Stadt Königsberg (heute Kaliningrad in Russland) im 8. Jahrhundert.
17 das Königsberger Brückenproblem Gibt es in dieser Stadt einen Rundweg, der jede Brücke genau einmal benutzt? Bei dieser Stadt handelt es sich um die Stadt Königsberg (heute Kaliningrad in Russland) im 8. Jahrhundert.
18 Daumenkino
19 Daumenkino 3 4
20 Daumenkino 3 3 4
21 Daumenkino 4 3 4
22 kein Rundweg Es gibt keinen Rundweg, der jede Kante genau einmal entlang läuft. Also existiert kein geschlossener Euler-Weg oder Euler-Kreis. Beweis. Durchläuft man eine Ecke, so gelangt man über eine Kante in diese Ecke und verlässt diese Ecke entlang einer anderen Kante. Zu einem solchen Besuch einer Ecke gehören also zwei verschiedene Kanten. Also müsste es bei einem Rundgang nur Ecken geben, von denen jeweils eine gerade Anzahl von Kanten abgeht. Das ist aber beim Graphen in Königsberg nicht richtig. Und beim Haus des Nikolaus gibt es zwar einen Euler-Weg, aber keinen Euler-Kreis.
23 kein Rundweg Es gibt keinen Rundweg, der jede Kante genau einmal entlang läuft. Also existiert kein geschlossener Euler-Weg oder Euler-Kreis. Beweis. Durchläuft man eine Ecke, so gelangt man über eine Kante in diese Ecke und verlässt diese Ecke entlang einer anderen Kante. Zu einem solchen Besuch einer Ecke gehören also zwei verschiedene Kanten. Also müsste es bei einem Rundgang nur Ecken geben, von denen jeweils eine gerade Anzahl von Kanten abgeht. Das ist aber beim Graphen in Königsberg nicht richtig. Und beim Haus des Nikolaus gibt es zwar einen Euler-Weg, aber keinen Euler-Kreis.
24 kein Rundweg Es gibt keinen Rundweg, der jede Kante genau einmal entlang läuft. Also existiert kein geschlossener Euler-Weg oder Euler-Kreis. Beweis. Durchläuft man eine Ecke, so gelangt man über eine Kante in diese Ecke und verlässt diese Ecke entlang einer anderen Kante. Zu einem solchen Besuch einer Ecke gehören also zwei verschiedene Kanten. Also müsste es bei einem Rundgang nur Ecken geben, von denen jeweils eine gerade Anzahl von Kanten abgeht. Das ist aber beim Graphen in Königsberg nicht richtig. Und beim Haus des Nikolaus gibt es zwar einen Euler-Weg, aber keinen Euler-Kreis.
25 kein Rundweg Es gibt keinen Rundweg, der jede Kante genau einmal entlang läuft. Also existiert kein geschlossener Euler-Weg oder Euler-Kreis. Beweis. Durchläuft man eine Ecke, so gelangt man über eine Kante in diese Ecke und verlässt diese Ecke entlang einer anderen Kante. Zu einem solchen Besuch einer Ecke gehören also zwei verschiedene Kanten. Also müsste es bei einem Rundgang nur Ecken geben, von denen jeweils eine gerade Anzahl von Kanten abgeht. Das ist aber beim Graphen in Königsberg nicht richtig. Und beim Haus des Nikolaus gibt es zwar einen Euler-Weg, aber keinen Euler-Kreis.
26 kein Rundweg Es gibt keinen Rundweg, der jede Kante genau einmal entlang läuft. Also existiert kein geschlossener Euler-Weg oder Euler-Kreis. Beweis. Durchläuft man eine Ecke, so gelangt man über eine Kante in diese Ecke und verlässt diese Ecke entlang einer anderen Kante. Zu einem solchen Besuch einer Ecke gehören also zwei verschiedene Kanten. Also müsste es bei einem Rundgang nur Ecken geben, von denen jeweils eine gerade Anzahl von Kanten abgeht. Das ist aber beim Graphen in Königsberg nicht richtig. Und beim Haus des Nikolaus gibt es zwar einen Euler-Weg, aber keinen Euler-Kreis.
27 der Anfang der Graphentheorie Leonhard Euler löste 735/36 das Königsberger Brückenproblem und begründete damit die Graphentheorie. Euler lebte von 707 bis 783. Er forschte in Basel, Berlin und St. Petersburg zu vielen Themen der Physik und Mathematik. Er war einer der größten Mathematiker seiner Zeit. Gegen Ende seines Lebens erblindete Euler, aber hat sich trotzdem weiter auf hohem Niveau mit Mathematik beschäftigt.
28 Anwendungen Eine sinnlose Anwendung der Graphentheorie ist das Färben von Landkarten: Der Vierfarbensatz besagt, dass jede Landkarte mit höchstens vier Farben coloriert werden kann, so dass keine zwei benachbarten Länder dieselbe Farbe haben. Das wurde von Kenneth Appel und Wolfgang Haken 976 mit massivem Computereinsatz bewiesen... Praktischere Anwendungen gibt es beim Design von Fahrplänen, in der Navigation, wenn Google PageRank sucht...
29 Anwendungen Eine sinnlose Anwendung der Graphentheorie ist das Färben von Landkarten: Der Vierfarbensatz besagt, dass jede Landkarte mit höchstens vier Farben coloriert werden kann, so dass keine zwei benachbarten Länder dieselbe Farbe haben. Das wurde von Kenneth Appel und Wolfgang Haken 976 mit massivem Computereinsatz bewiesen... Praktischere Anwendungen gibt es beim Design von Fahrplänen, in der Navigation, wenn Google PageRank sucht...
30 Anwendungen Eine sinnlose Anwendung der Graphentheorie ist das Färben von Landkarten: Der Vierfarbensatz besagt, dass jede Landkarte mit höchstens vier Farben coloriert werden kann, so dass keine zwei benachbarten Länder dieselbe Farbe haben. Das wurde von Kenneth Appel und Wolfgang Haken 976 mit massivem Computereinsatz bewiesen... Praktischere Anwendungen gibt es beim Design von Fahrplänen, in der Navigation, wenn Google PageRank sucht...
31 Anwendungen Eine sinnlose Anwendung der Graphentheorie ist das Färben von Landkarten: Der Vierfarbensatz besagt, dass jede Landkarte mit höchstens vier Farben coloriert werden kann, so dass keine zwei benachbarten Länder dieselbe Farbe haben. Das wurde von Kenneth Appel und Wolfgang Haken 976 mit massivem Computereinsatz bewiesen... Praktischere Anwendungen gibt es beim Design von Fahrplänen, in der Navigation, wenn Google PageRank sucht...
32 gewichtete und gerichtete Graphen Wir hatten bereits gesehen, dass wir den Kanten eines Graphen eine Richtung vorschreiben können. Wir können einem solchen gerichteten Graphen zusätzlich auch noch mit Gewichten ausstatten. Dann entsteht ein gewichteter Graph. Die Gewichte können beispielsweise die Entfernung zwischen Verkehrsknotenpunkten im Straßennetz symbolisieren.
33 der Dijkstra-Algorithmus ? Welches ist der kürzeste Weg von links nach rechts? Die Gewichte an den Kanten stehen für die Länge des Weges.
34 der Dijkstra-Algorithmus ? Wir arbeiten uns von links nach rechts vor und schreiben die kürzesten Distanzen zur Ausgangsecke in rot. Wir beginnen mit den Nachbarn der Ausgangsecke...
35 der Dijkstra-Algorithmus ? Man beachte, dass nicht unbedingt der direkte Weg der kürzeste Weg ist! Als Nächstes betrachten wir die Nachbarn der Nachbarn...
36 der Dijkstra-Algorithmus ? Tatsächlich ist die frühere untere Ecke über den Umweg näher gelegen! Im letzten Schritt ergibt sich der kürzeste Weg...
37 der Dijkstra-Algorithmus Das Ziel ist also 0 Längeneinheiten vom Start entfernt! Nebenbei haben wir Information zu sämtlichen kürzesten Wegen gesammelt!!
38 ein Pionier der Informatik Edsger Dijkstra entwickelte seinen Algorithmus bereits 956. Damals war seine Idee nur von theoretischem Interesse; heute ist sie weitverbreitet. Dijkstra lebte von 930 bis 00. Er war einer der Pioniere der aufblühenden Informatik und lehrte zuerst in Amsterdam und später in Eindhoven und Austin.
39 Bäume Ein Baum ist ein Graph ohne einen geschlossenen Weg (Kreis) Der Calkin Wilf-Baum entsteht durch die Iteration a b a und enthält alle positiven rationalen Zahlen. Bäume sind wichtig in der Informatik, wenn es um Sortieralgorithmen geht... a+b, a+b b
40 Bäume Ein Baum ist ein Graph ohne einen geschlossenen Weg (Kreis) Der Calkin Wilf-Baum entsteht durch die Iteration a b a und enthält alle positiven rationalen Zahlen. Bäume sind wichtig in der Informatik, wenn es um Sortieralgorithmen geht... a+b, a+b b
41 Alles Gute bis in zwei Wochen! etwas zum Tüfteln... Kann man jeden Graphen so durch Verzerren der Kanten so zeichnen, dass sich die Kanten nicht überschneiden?
42 Alles Gute bis in zwei Wochen! etwas zum Tüfteln... Kann man jeden Graphen so durch Verzerren der Kanten so zeichnen, dass sich die Kanten nicht überschneiden?
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