7: Graphentheorie. Definition 110

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1 7: Graphentheorie Definition 110 Ein Graph besteht aus einer nichtleeren Menge V ( Vertices ) von Knoten und einer Menge E von Kanten ( Edges Verbindungen zwischen den Knoten), d.h., zwei-elementigen Mengen {v, w} mit v w. Der Grad deg(v) eines Knotens v V ist die Anzahl der Kanten, die v mit anderen Knoten verbinden. Beispiel: Ein Graph mit V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und E = {{1, 2}, {1, 5},..., {4, 6}}. Es ist deg(1) = 2,..., deg(5) = 3, deg(6) = S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie

2 Vollständige Graphen Definition 111 Sei (V, E) ein Graph. (V, E) ist vollständig, wenn für alle v, w V mit v w eine Kante {v, w} in E existiert. Beispiel: A B C F E D 336 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie

3 Wege in Graphen, zusammenhängende Graphen Definition 112 Sei (V, E) ein Graph. Es gibt einen Weg der Länge 1 zwischen v und w in V, wenn eine Kante {v, w} in E existiert. Es gibt einen Weg der Länge n > 1 zwischen v, w V mit v w, wenn ein x in V existiert, so dass es einen Weg der Länge n 1 zwischen x und w und einen Weg der Länge 1 zwischen x und v gibt. Ein Graph ist zusammenhängend, wenn für alle v, w V ein Weg zwischen v und w existiert. 337 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie

4 Beispiele Ein zusammenhängender Graph. Es gibt unendlich viele Wege zwischen 1 und 6. Der kürzeste davon hat die Länge 3. Ein Graph, der nicht zusammenhängt. A B C Es gibt, z.b., keinen Weg zwischen A und B. F E D 338 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie

5 Die Anzahl der Kanten in vollständigen Graphen Satz 113 In jedem Graphen (V, E) gilt deg(v) = 2 E. v V Insbesondere ist die Anzahl an Knoten mit ungeradem Grad grade. Satz 114 Ist der Graph (V, E) zusammenhängend, dann gilt V E S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie

6 Die Anzahl der Kanten in vollständigen Graphen Satz 115 Jeder vollständige Graph (V, E) ist zusammenhängend und hat genau E = V ( V 1) 2 Kanten. (Induktiv; (v 1)(v 2) 2 + (v 1) = (v)(v 1) 2.) 340 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie

7 Gerichtete Graphen Kanten von i nach j, statt zwischen i und j Definition 116 Bei einem gerichteten Graph oder Digraph ( directed graph ) sind die Kanten geordnete Paare (v, w) (statt ungeordneter zwei-elementiger Mengen). Der Eingrad eines Knotens v V ist die Anzahl aller Kanten (w, v), der Ausgrad von v V die Anzahl aller Kanten (v, w). Beispiel: Ein gerichteter Graph mit Kanten {(1, 2),..., (7, 1)}. Der Eingrad von 3 ist 2, der Ausgrad von 3 ist S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie

8 Bewertete Graphen Definition 117 In einem Graph [bzw. Digraph] mit Kantenbewertung gibt es eine Bewertungsfunktion K, die jeder Kante {i, j} [bzw. (i, j)] die Kosten K (i, j) zuordnet. Ist der Graph [bzw. Digraph] nicht vollständig, sind die Kosten einer nicht-existierenden Kante unendlich. Die Kosten eines Weges oder Kreises ist die Summe der Kosten seiner Kanten. Beispiel: Die Entfernungen zwischen den kreisfreien Städten in Thüringen. E J W G S Erfurt Jena Weimar Gera Suhl S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie

9 7.1: Das Königsberger Brückenproblem (Euler, 1736) Gibt es einen Rundgang durch Königsberg, der jede der 7 Brücken über die Pregel genau einmal benutzt? Die offensichtliche Modellierung des Problems ist kein Graph sondern ein Multigraph (er hat Mehrfachkanten). 343 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.1: Königsb, Brücken

10 Modelliere das Problem als Graph! Jede Mehrfachkante kann man durch einen Knoten mit zwei Kanten ersetzen. So erhält man tatsächlich einen Graphen, in dem jeder Kreis einem Kreis im Mehrfachgraphen entspricht. Gesucht ist ein Weg, der jede Kante genau einmal durchläuft und zum Ausgangspunkt zurückführt! 344 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.1: Königsb, Brücken

11 Kreise in Graphen Definition 118 Sei (V, E) ein Graph. Sei v V. Ein Kreis ist ein Weg der Länge n 1 zwischen v und v, in dem jede Kante höchstens einmal durchlaufen wird. Ein Eulerkreis ist ein Kreis der Länge E. D.h., jede Kante wird genau einmal durchlaufen. Ein Hamiltonkreis ist ein Weg von v nach v, der jeden Knoten w V \{v} genau einmal besucht. 345 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.1: Königsb, Brücken

12 Gibt es einen Eulerkreis? Die Antwort! Satz 119 (Euler) Sei (G, V ) ein zusammenhängender Graph. Es gibt genau dann einen Eulerkreis, wenn jeder Knoten einen geraden Grad hat. Folgerung In Eulers Königsberg gibt es keine Rundreise über jede Brücke. Denn wir haben 4 Knoten von ungeradem Grad. 346 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.1: Königsb, Brücken

13 Vom Euler- zum Hamiltonkreis Wir wissen also, wie wir herausfinden können, ob es einen Eulerkreis gibt. Aber: Gibt es in diesem Graph einen Hamiltonkreis? Nein! (Kann man durch scharfes Hinsehen erkennen.) 347 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.1: Königsb, Brücken

14 Harte Probleme Definition 120 Sei A ein Algorithmus. Wir bezeichnen A als effizient, wenn es ein Polynom p vom Grad k N gibt, so dass die Laufzeit von A bei Eingaben der Länge n höchstens p(n) beträgt. Die beiden Probleme ( gibt es einen Euler- bzw. Hamiltonkreis? ) sind sich zwar ähnlich, ihre Schwierigkeit ist aber vermutlich total verschieden. Das eine Problem ist effizient lösbar, das andere dagegen... Die Frage, ob es einen Hamiltonkreis gibt, gehört zu einer Kategorie von Problemen, die als besonders schwer zu lösen gelten, den NP-harten Problemen. Wenn für irgend ein NP-hartes Problem ein effizienter Algorithmus existiert, gibt es einen solchen für alle NP-harten Probleme. Bisher ist kein effizienter Algorithmus für ein NP-hartes Problem bekannt, und man vermutet, dass es keinen solchen gibt. 348 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.1: Königsb, Brücken

15 7.2: Bäume Definition 121 Wir bezeichnen einen zusammenhängenden Graphen als Baum, wenn der Graph keinen Kreis enthält. Sind (V, E) ein Graph und (V, E ) mit E E ein Baum, bezeichnen wir (V, E ) als Spannbaum von (V, E). Ein Tripel (R, V, E), wobei (V, E) ein Baum ist und R V die Wurzel des Baumes, bezeichnen wir als Wurzelbaum. Satz 122 Ein Baum mit V = n Knoten enthält immer genau E = n 1 Kanten. In jedem zusammenhängenden Graphen existiert ein Spannbaum. 349 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.2: Bäume

16 Alternative Definition In der Informatik weit verbreitet Definition 123 Ein (Wurzel-)Baum besteht aus einem Knoten (der Wurzel) und n N 0 Nachfolgern (den Teilbäumen, die ihrerseits Bäume sind). Knoten ohne Nachfolger bezeichnet man als Blätter. Die Länge des Weges von der Wurzel bis zu einem Knoten v bezeichnet man als Höhe von v. Das Maximum der Höhen aller Blätter ist die Höhe des Baumes. Jeder Knoten v, außer der Wurzel, hat genau eine Kante (v, w), die in Richtung zur Wurzel geht. Wir nennen w den Elternknoten von v, und v einen Kindknoten von w. 350 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.2: Bäume

17 Wozu findet man Bäume in der Informatik? Beispiel: Hierarchisches Dateisystem (UNIX) / dev home lib... franz clara bin Desktop Download... Wie ist das eigentlich in Windows? 351 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.2: Bäume

18 7.3: Datenstrukturen und Algorithmen auf Graphen Wenn ein Computer Graphen-Algorithmen ausführt, muss der Graph durch eine geeignete Datenstruktur dargestellt werden, z.b. durch Adjazenzlisten oder -matrizen. Die Beantwortung von Fragen wie z.b. Gibt es eine Kante zwischen den Knoten i und j (bzw. i j?) Welche Knoten sind von i aus zu erreichen? Wie teuer ist der Weg von i nach j? Was ist der billigste Weg von i zu einem Nachbarn? braucht maximal einen Zeitaufwand, der linear in der Anzahl V an Knoten ist... und ggf. auch schneller sein kann. 352 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.3: DS & A

19 Tiefensuche in einem Graphen gerichet oder ungerichtet Eingabe: Graph G, mit n Knoten; Startknoten x {1,..., n} Interner Speicher: Array B(1,..., n); (besuchte Knoten) Initialisierung: Für i {1,..., n}, i x: B[i] := 0; B[x] := 1 Aufruf: Besuche(G, x, B) Prozedur: Besuche(G, x, B): Für alle Knoten y mit einer Kante x y: Wenn B[y] = 0 dann B[y] := 1 gib den Knoten y und die Kante x y aus Besuche(G, y, B) 353 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.3: DS & A

20 Satz 124 (Eigenschaften der Tiefensuche) Sei G ein gerichteter oder ungerichteter Graph mit n Knoten. Dann gelten die folgenden Eigenschaften: 1. Die Tiefensuche in G terminiert nach spätestens n Aufrufen der Prozedur Besuche. 2. Die ausgegebenen Knoten sind genau die Knoten, die von dem Startknoten aus erreichbar sind. 3. Die ausgegebenen Kanten stellen einen Wurzelbaum dar. Die Wurzel ist der Startknoten. 4. Ist G ungerichtet und zusammenhängend, dann werden alle Knoten außer dem Startknoten ausgegeben. Die ausgegebenen Kanten sind ein Spannbaum von G. 354 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.3: DS & A

21 7.4: Touren in Graphen Die Karte zeigt alle Großstädte in Deutschland. Algorithmische Probleme: Suche die kürzeste Rundreise, die alle Städte einmal besucht. (Traveling Sales Person Problem, TSP) Binde alle Städte an ein Datennetz an, das möglichst kurz sein soll. (Minimaler Spannbaum) 355 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.4: Touren

22 Typische Aufgaben für die Informatik Sei ein Graph (V, E, K ) mit Kantenbewertung gegeben. Es gibt Entscheidung: Sei ein Höchstpreis P gegeben. Gibt es einen Weg (oder Kreis oder Baum) in (V, E) (mit bestimmten Eigenschaften), dessen Kosten P sind? Suche: Sei ein Höchstpreis P gegeben. Finde einen Weg/Kreis/Baum in (V, E) (mit bestimmten Eigenschaften), dessen Kosten P sind! Optimierung: Finde einen Weg/Kreis/Baum in (V, E) (mit bestimmten Eigenschaften), mit minimalen Kosten! Approximation: Sei eine Genauigkeitsschranke g gegeben. Finde einen Weg/Kreis/Baum in (V, E) (mit bestimmten Eigenschaften), dessen Kosten höchstens die minimalen Kosten um höchstens g % übersteigen! 356 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.4: Touren

23 7.5: Das Travelling Sales Person Problem Definition 125 Sei A ein Algorithmus, der, gegeben einen vollständigen Graphen mit Kantenbewertung (V, E, K ) und eine Schranke S entscheidet ob in dem Graph ein Hamiltonkreis existiert, dessen Kosten höchstens S betragen. Dann ist A ein Algorithmus, der das TSP-Entscheidungsproblem löst. (Analog kann man definieren, welche Algorithmen die anderen Varianten des TSP lösen.) 357 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.5: Das TSP

24 Die Reise des Odysseus Hätte er alle Orte auch schneller besuchen können? 358 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.5: Das TSP

25 Eine gute(?) Nachricht für Odysseus: Er braucht eigentlich nur das TSP-Entscheidungsproblem zu lösen Satz 126 Angenommen, es gibt gibt einen Polynomialzeit-Algorithmus A, der das TSP-Entscheidungsproblem löst. Dann gibt es einen Polynomialzeit-Algorithmus B, der einen entsprechenden Hamiltonkreis tatsächlich berechnet, also das TSP-Suchproblem löst. B ruft A maximal V 2 -mal auf. Ebenso gibt es dann einen Polynomialzeit-Algorithmus C, der die Länge S min des kürzesten Hamiltonkreises berechnet. C benötigt dazu log 2 (max{s}) Aufrufe von A. Folgerung: Wenn es einen Polynomialzeit-Algorithmus gibt, der das TSP- Entscheidungsproblem löst, dann gibt es einen ebensolchen Algorithmus für das TSP Optimierungsproblem. 359 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.5: Das TSP

26 Eine schlechte Nachricht für Odysseus: Das TSP-Entscheidungsproblem ist NP-hart! Satz 127 Wenn es einen Polynomialzeit-Algorithmus A gibt, der das TSP- Entscheidungsproblem löst, dann gibt es einen ebensolchen Algorithmus B, der in beliebigen Graphen entscheidet, ob diese einen Hamiltonkreis enthalten. Weil das Ham.-Problem NP-hart ist, ist auch das TSP NP-hart. 360 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.5: Das TSP

27 Minimale Spannbäume Definition 128 Sei A ein Algorithmus, der, gegeben einen vollständigen Graphen mit Kantenbewertung (V, E, K ) und eine Schranke S einen minimalen Spannbaum ausgibt. Dann ist A ein Algorithmus, der das Spannbaum-Optimierungsproblem löst. Satz 129 Es gibt effiziente Algorithmen, die das Spannbaum-Optimierungsproblem lösen. (Algorithmen von Prim und Algorithmus von Kruskal.) 361 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.5: Das TSP

28 7.6: TSP-Approximation Satz 130 Sei (V, E, K ) ein Graph mit Kantenbewertung (V, E, K ), in dem die Dreiecksungleichung gilt. D.h.: u, v, w V : K ({u, v}) + K ({v, w}) K ({u, w}). Sei (V, E) ein minimaler Spannbaum von (V, E, K ) mit den Kosten S. Dann gilt: 1. Die Kosten des billigsten Hamiltonkreises liegen zwischen S und 2S. 2. Gegeben (V, E) kann man effizient einen Hamiltonkreis mit den Kosten 2S konstruieren. 362 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.6: TSP-Approximation

29 Endlich eine gute Nachricht für Odysseus: Wir können einen minimalen Spannbaum berechnen... und dann eine TSP-Rundreise, die höchstens doppelt so lang ist, wie eine kürzeste Rundreise! 363 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.6: TSP-Approximation

30 7.7: Der Page-Rank Algorithmus für gerichtete Graphen Idee: Besonders relevante Suchergebnisse zuerst. Aber woher weiss Google (oder glaubt zu wissen), welche Suchergebnisse besonders relevant sind? 364 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

31 Ein Würstchenverkäufer in Königsberg A E H F G B D C Wenn Leute ziellos durch Königsberg schlendern, welche Knoten besuchen Sie besonders häufig? D.h., wenn man an einem Knoten mit n Nachbarknoten ist, geht man zu jedem Nachbarknoten mit der Wahrscheinlichkeit 1/n. 365 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

32 Lineare Gleichungen E F B Wir schreiben a,..., h für die Häufigkeit der Besuche auf A..., H. A H G D C Dies sind die Unbekannten unseres GLS. Es ist g = h = a/5 + d/3, c = a/5 + b/3 + d/3,... (Warum?) 366 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

33 Das lineare Gleichungssystem So etwas kann man effizient lösen! E B a = e 2 + f 2 + g 2 + h 2 + c 3 F b = e 2 + f 2 + c 3 A G C c = b 3 + a 5 + d 3 d = g 2 + h 2 + c 3 H D e = a 5 + b 3 = f g = a 5 + d 3 = h 367 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

34 Eine Lösung... aber dafür hätten wir kein LGS lösen müssen E B a = e 2 + f 2 + g 2 + h 2 + c 3 = 5 F b = e 2 + f 2 + c 3 = 3 A G C c = b 3 + a 5 + d 3 = 3 d = g 2 + h 2 + c 3 = 3 H D e = a 5 + b 3 = f = 2 g = a 5 + d 3 = h= S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

35 Versuchen wir das gleiche mit Web-Seiten Ein Netz von verlinkten Web-Seiten ist ein gerichteter Graph. Hier müssen wir tatsächlich ein LGS lösen. a = d 2 b = a 2 c = b 2 + d 2 d = a 2 + b 2 + c 369 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

36 Wie kommen wir aus der Sackgasse... sonst stecken alle Surfer irgendwann auf Seite F fest! 370 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

37 Ein verfeinertes Modell Vielleicht sogar realistischer... Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p springt man zu einer zufälligen Webseite. Alle Webseiten sind gleich wahrscheinlich. Wenn man an einem Knoten mit Ausgrad n ist, geht man zu den Nachbarknoten mit der Wahrscheinlichkeit (1 p) (1/n). In einer Sackgasse ist der Ausgrad 0, dann springt man zu einer zufälligen Webseite. 371 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

38 Das Gleichungssystem für p = 1/5 a = 4 5 d b = 4 ( a ) e c = 4 ( b d ) d = 4 ( a b ) 3 + c e = 4 5 b f = 4 5 d S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

39 Diskussion Man kann lineare Gleichungssysteme effizient lösen. Gleichungssysteme mit vielen tausend Unbekannten sind kein Problem. Unser Gleichungssystem mit sechs Unbekannten kann man von Hand lösen. Aber Google müsste ein Gleichungssytem mit Milliarden von Unbekannten lösen. Das schafft selbst Google nicht. Google verwendet einen Näherungsalgorithmus, der schnell eine annähernd korrekte Lösung liefert. Der Algorithmus ist außerdem adaptiv. D.h., Google braucht nicht jedesmal, wenn eine neue Seite ins Netz gestellt wird, oder eine vorhandene Seite ihre Links ändert, ganz von vorne anzufangen. 373 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

40 Der Algorithmus Anwendung auf unser Gleichungssystem a := b := c := d := e := f := 1; Wiederhole (a, b, c, d, e, f ) := (a, b, c, d, e, f ) (Gib (a, b, c, d, e, f ) als Zwischenergebnis aus.) a := 4 5 d b := 4 5 ( a 2 + e) c := 4 5 ( b 3 + ) d d := 4 5 ( a 2 + b 3 + c) e := 4 5 b f := 4 5 d bis (a, b, c, d, e, f ) (a, b, c, d, e, f ) ( an den Lösungen ändert sich kaum noch etwas ) Gib (a, b, c, d, e, f ) als Ergebnis aus. 374 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

41 Die Ergebnisse S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

42 Das Gleichungssystem für p = 1/5 a = 4 5 d b = 4 ( a ) e c = 4 ( b d ) d = 4 ( a b ) 3 + c e = 4 5 b f = 4 5 d S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.7: Page-Rank

43 7.8: Planare Graphen Definition 131 Ein Graph ist planar, wenn man die Kanten überschneidungsfrei zeichnen kann. A B C F E D Planarität ist relevant planar nicht planar beim Verlegen von Leiterbahnen auf Platinen beim Verlegen von Versorgunsgsleitungen in Baugebieten (aus Sicherheitsgünden sollen die sich nicht kreuzen) S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.8: Planare Graphen

44 Die Eulersche Polyederformel Wir bezeichnen eine Fläche, die von Kanten eingeschlossen ist, als Gebiet. Die Außenfläche eines Graphen ist auch ein Gebiet. Satz 132 Graph mit 3 Gebieten Für jeden zusammenhängenden planaren Graphen (E, V ) mit V 1 Knoten, E Kanten und a Gebieten gilt; (Induktion nach E.) a + V = E S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.8: Planare Graphen

45 Planare Graphen sind arm an Kanten Satz 133 In jedem planaren zusammenhängenden Graphen (E, V ) mit V Knoten und E Kanten gilt E 3 V 6. (Mindestens 3 Kanten pro Gebiet, jede Kante grenzt an zwei Gebiete, also a 2 E /3; dann Eulersche Polyederformel.) Beispiel: Der vollständige Graph mit 5 Knoten ist nicht planar. 379 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.8: Planare Graphen

46 7.9: Anregung zum Selber-Lesen... und Quellen einiger der verwendeten Bilder Grötschel, Padberg: Die optimierte Odyssee. pubnew/paper/groetschelpadberg1999a.pdf Langkau, Skutella: Minimal aufspannende Bäume. ãlgorithmus/algo21.php Näher: Das Travelling Sales Person Problem oder die optimale Tour für den Nikolaus. ãlgorithmus/algo40.php Brandes, Dorfmüller: WWW Wichtig, Wichter, am Wichtigsten Der Page-Rank Algorithmus. ãlgorithmus/algo10.php Höpfner: Topologisches Sortieren. ãlgorithmus/algo8.php 380 S. Lucks Diskr Strukt. (WS 17/18) 7: Graphentheorie 7.9: Anregung