Heuristische und exakte Lösungsansätze für das Handelsreisendenproblem. Dr. Gerold Jäger

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1 Heuristische und exakte Lösungsansätze für das Handelsreisendenproblem Dr. Gerold Jäger Arbeitsgruppe Prof. Dr. Paul Molitor Institut für Informatik Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 30. September 2008

2 Überblick 1 Einleitung Was ist das Handelsreisendenproblem? Mathematische Modellierung Bedeutung des Handelsreisendenproblems Anwendungen in der Praxis Beispiel

3 Überblick 2 Exakte Lösungsansätze Trivialer Algorithmus Erweiterung des trivialen Algorithmus TSP-Wettbewerb exakter Lösungsansätze

4 Überblick 3 Nächster-Nachbar-Algorithmus k-opt-algorithmus Helsgauns Algorithmus Unser Algorithmus TSP-Wettbewerb heuristischer Lösungsansätze

5 Einleitung Was ist das Handelsreisendenproblem? Ein Handelsreisender möchte eine vorgegebene Menge von Städten nacheinander besuchen. Danach möchte er zu seinem Ausgangsort zurückkehren. Die Reihenfolge, in der er die Städte besucht, kann er selbst festlegen. Eine solche Reise nennt man eine Tour durch alle Städte. Jede dieser Touren liefert eine Gesamtlänge, die der Handelsreisende für diese Tour zurücklegen muss.

6 Einleitung Was ist das Handelsreisendenproblem? Er kann zwei Ziele verfolgen: Er sucht eine Tour mit minimaler Gesamtlänge. Diese muss nicht eindeutig sein. Er sucht eine Tour mit möglichst kleiner Gesamtlänge, z.b. kleiner als eine vorgegebene Länge. Das Handelsreisendenproblem ist auch unter dem englischen Ausdruck Travelling Salesman Problem (TSP) bekannt.

7 Einleitung Mathematische Modellierung Lege einen Graphen G = (V, E) an mit Längenfunktion c : E R + 0. Die Knotenmenge V ist die Menge aller Städte. Die Kantenmenge E ist die Menge aller Wege. Die Länge c(e) einer Kante e E ist die Länge des e entsprechenden Weges. Sei V = n. Da jeder Weg theoretisch für die Tour benutzt werden kann, gilt: E = ( n 2) = (n 2 n)/2. Der Graph ist vollständig. Lege die Städtereihenfolge v 1, v 2,..., v n fest, so dass folgender Ausdruck minimal wird: n 1 c(v n, v 1 ) + c(v i, v i+1 ) i=1

8 Einleitung Bedeutung des Handelsreisendenproblems Das Handelsreisendenproblem ist eines der bekanntesten Probleme der Theoretischen und Praktischen Informatik. Gründe: Einfach zu verstehen. Schwer zu lösen (wie wir später sehen werden). Praktikabilität von Algorithmen: In welcher Laufzeit finden Algorithmen Touren mit welcher Qualität?

9 Einleitung Bedeutung des Handelsreisendenproblems Theoretische Analyse von Algorithmen: Was ist die minimale/ maximale Laufzeit bzw. die bestmögliche/ schlechtestmögliche Qualität eines Algorithmus? Sowohl theoretische als auch praktische Methoden für das TSP haben sich auch hilfreich für verwandte Optimierungsprobleme erwiesen.

10 Einleitung Anwendungen in der Praxis Netzfahrplan: Ein Verkehrsmittel fährt vorgegebene Haltestellen an. Lagerlogistik: Einzelposten einer Bestellung werden im Lager zusammengesucht. Tourenplanung: Einsatzfahrzeug fährt Depots ab. Design von Mikrochips: Die Städte sind Bohrlöcher. Genom-Sequenzierung: Die Städte sind DNA-Teilstränge.

11 Einleitung Beispiel Kürzeste Tour durch Städte in Deutschland

12 Exakte Lösungsansätze Trivialer Algorithmus Frage: Was würden Sie tun, wenn Sie ein Handelsreisender wären und an einer bestimmten Stadt starten würden? Probiere alle möglichen Touren durch. Wähle davon die Tour mit kleinster Länge aus. Wieviel Touren hat man durchzuprobieren? Nehmen wir an, der Handelsreisende startet an einer festen Stadt. Dann hat er noch n 1 Möglichkeiten für die nächste Stadt. Nach Erreichen der ersten Stadt hat er nur noch n 2 Möglichkeiten, da zwei Städte schon besucht wurden. Dies geht so weiter, bis: Nach Erreichen der (n 1)-ten Stadt hat er nur noch 1 Möglichkeit, da alle anderen Städte schon besucht wurden.

13 Exakte Lösungsansätze Trivialer Algorithmus Insgesamt hat man erstmal (n 1)! Touren durchzuprobieren. Da der umgekehrte Weg dieselbe Länge wie der originale Weg hat, sind nur (n 1)!/2 Touren durchzuprobieren Beispiele: n = 5 : 12 mögliche Touren. n = 10 : mögliche Touren. n = 30 : 4, mögliche Touren. n = 70 : 8, mögliche Touren. Vergleiche: Im Universum gibt es etwa Atome. Die derzeit besten Hochleistungsrechner brauchen schon für 30 Städte Millionen Jahre, alle möglichen Touren durchzuprobieren.

14 Exakte Lösungsansätze Erweiterung des trivialen Algorithmus Ziel: Verkleinerung des Suchraumes Idee: Man hat während der Suche schon eine Tour mit Gesamtlänge K Einheiten gefunden. Seien A 1, A 2,..., A l verschiedene Städte mit l < n. Fall 1: Der Weg (A 1, A 2,..., A l ) habe Länge K + 1 Einheiten. Fall 2: Die kleinste Tour, die den Weg (A 1, A 2,..., A l ) enthält, habe Länge K + 1 Einheiten. Dann kommen alle Touren, in denen der Handelsreisende den kompletten Weg (A 1, A 2,..., A l ) durchläuft, nicht mehr für eine minimale Tour in Frage.

15 Exakte Lösungsansätze TSP-Wettbewerb exakter Lösungsansätze TSP-Wettbewerb, Teil 1: Finde für Probleme mit möglichst vielen Städten eine minimale Tour. Größte optimal gelöste Beispieleingaben Jahr Forschungsteam Anzahl Städte 1954 Dantzig, Fulkerson, Johnson Held, Karp Camerini, Fratta, Maffioli Grötschel Crowder, Padberg Padberg, Rinaldi Grötschel, Holland Padberg, Rinaldi Applegate, Bixby, Chvátal, Cook Applegate, Bixby, Chvátal, Cook (USA-Tour) 2001 Applegate, Bixby, Chvátal, Cook (D-Tour) 2004 App., Bixby, Chvátal, Cook, Helsgaun (S-Tour) 2006 App., Bixby, Chvátal, Cook, Helsgaun

16 Nächster-Nachbar-Algorithmus Frage: Was würden Sie tun, wenn Sie ein Handelsreisender wären und an einer bestimmten Stadt starten würden? Gehe in jedem Schritt zur nächstgelegenen Stadt. Wenn man alle Städte besucht hat, gehe wieder zum Startort. Nachteil dieses Algorithmus: Am Anfang der Reise legt man zwar sehr kurze Entfernungen zurück. Am Ende ist die Auswahl an nicht besuchten Städten sehr klein, und die zurückgelegten Entfernungen können sehr groß sein. Dieser Algorithmus heisst Nächster-Nachbar-Algorithmus.

17 Nächster-Nachbar-Algorithmus Wieviele Schritte benötigt der Nächster-Nachbar-Algorithmus? Man muss (n 1)-mal die kleinste Entfernung zur nächsten noch nicht besuchten Stadt, also maximal n 1 Längenwerte betrachten. O(n 2 ) Schritte. Die Schrittzahl enthält die Problemgröße n nur als Basis eines Polynoms, nicht im Exponenten. Deshalb ist das Anwenden des Nächster-Nachbar-Algorithmus für das Handelsreisendenproblem ein leichtes Problem der Informatik.

18 Nächster-Nachbar-Algorithmus Hochleistungsrechner können diesen Algorithmus in wenigen Tagen mit 1 Million Städten durchführen. Im Vergleich benötigt die exakte Lösung des Handelsreisendenproblems (n 1)!/2 Schritte. Dieser Ausdruck kann nicht geschrieben werden, so dass die Problemgröße n nur als Basis auftaucht. Das Handelsreisendenproblem selbst ist ein schweres Problem der Informatik.

19 k-opt-algorithmus Starte mit einer (schon recht guten) Tour, die man durch den Nächster-Nachbar-Algorithmus erhalten hat. Ersetze (wenige) Tour-Kanten durch (genau so viele) Nicht- Tourkanten, so dass weiter eine Tour vorliegt, die aber besser ist als die ursprüngliche Tour. Dies kann für zwei Kanten so aussehen:

20 k-opt-algorithmus Für k Kanten heisst dieser Schritt k-opt-schritt. Führe solange wie möglich k-opt-schritte durch. Optimierungen: Wähle (meist) k 5. Betrachte für jeden Knoten nur die 5 kürzesten angrenzenden Kanten. Die verbliebenen Kanten bezeichnet mam als Kandidatensystem.

21 Helsgauns Algorithmus Die beste Umsetzung eines k-opt-algorithmus stammt von Keld Helsgaun aus dem Jahre 1998 bzw. eine erweiterte Version aus dem Jahre Die Laufzeit von Helsgauns Algorithmus hängt sehr stark von der Anzahl der Städte n ab. Helsgauns Hauptverbesserung: Betrachte für jeden Knoten nicht die 5 kürzesten angrenzenden Kanten, sondern die 5 angrenzenden Kanten mit einem besseren Kriterium.

22 Helsgauns Algorithmus Definition: a) Jede Menge von n 1 Kanten, die keinen Kreis enthält, ist ein Baum. b) Einen Baum mit minimaler Summe der Kantenlängen bezeichnet man als minimal spannenden Baum.

23 Helsgauns Algorithmus Beobachtungen Lässt man von einer Tour eine Kante weg, so erhält man einen Baum. Die Länge eines minimal spannenden Baumes ist kleiner als die einer TSP-Lösung. Minimale spannende Bäume und TSP-Lösungen stimmen in sehr vielen Kanten überein. Einen minimal spannender Baum kann man deutlich schneller, nämlich in O(n 2 ) Schritten, berechnen.

24 Helsgauns Algorithmus Definition: Die untere Toleranz einer Kante e außerhalb eines minimal spannenden Baums ist die Länge t(e), um die man c(e) verringern muss, damit e doch im minimal spannenden Baum liegt. Helsgauns neues Kandidatensystem: Betrachte für jeden Knoten die 5 angrenzenden Kanten, die entweder im minimal spannenden Baum liegen oder außerhalb liegen und kleinste untere Toleranz t(e) haben.

25 Unser Algorithmus Finde mit bekannten Algorithmen, z.b. dem Algorithmus von Helsgaun, gute Touren, die sogenannten Starttouren. Dabei heisst gut, dass sie recht kleine Länge haben, aber noch verbesserbar sind. a b c

26 Unser Algorithmus Suche nun die Kanten, die in allen Touren dieser Menge enthalten sind. d

27 Unser Algorithmus Eine neue Beispieleingabe wird gebildet, indem die Städte, die auf einem Weg von gemeinsamen Kanten liegen, weggelassen werden. Dabei werden alle Kanten der Starttouren, die durch weggelassene Städte führen, fixiert, d.h. diese Kanten müssen in der gesuchten Tour auftreten. e f

28 Unser Algorithmus Auf die neue Beispieleingabe wird wiederum der Algorithmus von Helsgaun angewandt. Da Helsgauns Algorithmus sehr stark von der Städteanzahl n abhängt, ist er nun deutlich effektiver und führt zu besseren Touren.

29 Unser Algorithmus Für dieses Beispiel erhält man folgende minimale Tour: f Unser Algorithmus funktioniert besonders gut, wenn die Starttouren nicht zu ähnlich sind, da sonst der Suchraum zu stark eingeschränkt wird.

30 TSP-Wettbewerb heuristischer Lösungsansätze TSP-Wettbewerb, Teil 2: Finde für Beispieleingaben, für die die Berechnung einer minimalen Tour zu schwer ist, eine möglichst gute Tour. Die 241 Beispieleingaben wurden aus verschiedenen Anwendungen genommen. Die schwierigste (und interessanteste) Beispieleingabe ist das World-TSP mit Städten.

31 TSP-Wettbewerb heuristischer Lösungsansätze Für 18 Beispieleingaben haben wir einen Weltrekord aufgestellt. Diese Eingaben werden im folgenden aufgeführt. 13 der 18 Weltrekorde sind noch aktuell. Unser (ehrgeiziges) Ziel: Berechnung einer Weltrekordtour für das World-TSP.

32 TSP-Wettbewerb heuristischer Lösungsansätze Weltrekorde unserer Arbeitsgruppe, Teil 1 Datum Forschungsteam Anzahl Städte Richter, Goldengorin, Jäger, Molitor Richter, Goldengorin, Jäger, Molitor Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter

33 TSP-Wettbewerb heuristischer Lösungsansätze Weltrekorde unserer Arbeitsgruppe, Teil 2 Datum Forschungsteam Anzahl Städte Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Molitor Dong, Molitor Dong, Molitor