Das Problem des Handelsreisenden: Lösungsansätze mit Weltrekordcharakter. Dr. Gerold Jäger

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1 Das Problem des Handelsreisenden: Lösungsansätze mit Weltrekordcharakter Dr. Gerold Jäger Arbeitsgruppe Prof. Dr. Paul Molitor Institut für Informatik Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Lange Nacht der Wissenschaften 4. Juli 2008

2 Überblick 1 Einleitung Was ist das Handelsreisendenproblem? Bedeutung des Handelsreisendenproblems Anwendungen in der Praxis Beispiel

3 Überblick 2 Wie findet man eine minimale Tour? Naive Methode Erweiterung der naiven Methode TSP-Wettbewerb zum Finden minimaler Touren

4 Überblick 3 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Naive Methode Erweiterung der naiven Methode Unser Ansatz TSP-Wettbewerb zum Finden möglichst guter Touren

5 Einleitung Was ist das Handelsreisendenproblem? Ein Handelsreisender möchte eine vorgegebene Menge von Städten nacheinander besuchen. Danach möchte er zu seinem Ausgangsort zurückkehren. Die Reihenfolge, in der er die Städte besucht, kann er selbst festlegen. Eine solche Reise nennt man eine Tour durch alle Städte. Er hat einen Plan zur Verfügung, der ihm alle Entfernungen (z.b. in Kilometer) zwischen jeweils zwei Städten anzeigt. Jede dieser Touren liefert eine Gesamtlänge, die der Handelsreisende für diese Tour zurücklegen muss.

6 Einleitung Was ist das Handelsreisendenproblem? Er kann zwei Ziele verfolgen: Das höchste Ziel: Er sucht eine Tour mit minimaler Gesamtlänge. Falls ihm dieses Ziel zu ehrgeizig ist: Er sucht eine Tour mit möglichst kleiner Gesamtlänge. Das Handelsreisendenproblem ist auch unter dem englischen Ausdruck Travelling Salesman Problem (TSP) bekannt.

7 Einleitung Bedeutung des Handelsreisendenproblems Das Handelsreisendenproblem ist eines der bekanntesten Probleme der Theoretischen und Praktischen Informatik. Gründe: Einfach zu verstehen. Schwer zu lösen (wie wir später sehen werden). Man kann praktisch testen, was Computerprogramme für bestimmte Beispiele leisten können: In welcher Laufzeit finden sie Touren mit welcher Qualität?

8 Einleitung Anwendungen in der Praxis Netzfahrplan: Ein Verkehrsmittel fährt vorgegebene Haltestellen an. Lagerlogistik: Einzelposten einer Bestellung werden im Lager zusammengesucht. Tourenplanung: Einsatzfahrzeug fährt Depots ab. Design von Mikrochips: Die Städte sind Bohrlöcher. Genom-Sequenzierung: Die Städte sind DNA-Teilstränge.

9 Einleitung Beispiel Kürzeste Tour durch Städte in Deutschland

10 Wie findet man eine minimale Tour? Naive Methode Probiere alle möglichen Touren durch. Wähle davon die Tour mit kleinster Länge aus. Fertig!? Ja, aber... Wieviel Touren hat man durchzuprobieren? Nehmen wir an, der Handelsreisende hat 10 Städte zu besuchen. Am Startort hat er 9 Möglichkeiten für die nächste Stadt. Am ersten Durchgangsort hat er nur noch 8 Möglichkeiten, da zwei Städte schon besucht wurden. Dies geht so weiter, bis: Am 9-ten Durchgangsort hat er nur noch eine Möglichkeit, da alle anderen Städte schon besucht wurden.

11 Wie findet man eine minimale Tour? Naive Methode Insgesamt hat man = 9! = Touren durchzuprobieren. Für eine beliebige Anzahl n von Städten muss man (n 1)! Touren durchprobieren. Beispiele: n = 5 : 24 mögliche Touren. n = 10 : mögliche Touren. n = 30 : 8, mögliche Touren. n = 70 : 1, mögliche Touren. Vergleiche: Im Universum gibt es etwa Atome. Die derzeit besten Hochleistungsrechner brauchen schon für 30 Städte Millionen Jahre, alle möglichen Touren durchzuprobieren.

12 Wie findet man eine minimale Tour? Erweiterung der naiven Methode Ziel: Entferne solche Touren von der Suche, von denen man während der Suche schon weiß, dass sie nicht mehr minimal sein können. Beispiel: Man hat während der Suche schon eine Tour mit Gesamtkosten 10 Einheiten gefunden. Zwischen Stadt A und B sind die Kosten 11 Einheiten. Dann kommen alle Touren, in denen der Handelsreisende A und B direkt hintereinander besucht, nicht mehr für eine minimale Tour in Frage. TSP-Wettbewerb, Teil 1: Finde für Probleme mit möglichst vielen Städten eine minimale Tour.

13 Wie findet man eine minimale Tour? TSP-Wettbewerb zum Finden minimaler Touren Größte optimal gelöste Beispieleingaben Jahr Forschungsteam Anzahl Städte 1954 Dantzig, Fulkerson, Johnson Held, Karp Camerini, Fratta, Maffioli Grötschel Crowder, Padberg Padberg, Rinaldi Grötschel, Holland Padberg, Rinaldi Applegate, Bixby, Chvátal, Cook Applegate, Bixby, Chvátal, Cook (USA-Tour) 2001 Applegate, Bixby, Chvátal, Cook (D-Tour) 2004 App., Bixby, Chvátal, Cook, Helsgaun (S-Tour) 2006 App., Bixby, Chvátal, Cook, Helsgaun

14 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Naive Methode Gehe in jedem Schritt zur nächstgelegenen Stadt. Wenn man alle Städte besucht hat, gehe wieder zum Startort. Nachteil dieser Methode: Am Anfang der Reise legt man zwar sehr kurze Entfernungen zurück. Am Ende ist die Auswahl an nicht besuchten Städten sehr klein, und die zurückgelegten Entfernungen können sehr groß sein. Man bezeichnet diese Methode als Greedy-Methode ( greedy heißt gierig ).

15 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Naive Methode Was benötigt man für die Greedy-Methode? Eine Liste, die zu jeder Stadt die nächstgelegene Stadt angibt. Laufzeit? Nehmen wir wieder an, der Handelsreisende hat 10 Städte zu besuchen. Für jede der 10 Städte hat er 9 Entfernungen zu vergleichen und die minimale dieser Entfernungen zu notieren. Dies sind 9 10 = 90 Schritte.

16 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Naive Methode Für eine beliebige Anzahl n von Städten muss man n (n 1) = n 2 n solche Schritte durchführen. Hochleistungsrechner können diese Methode in wenigen Tagen mit 1 Million Städten durchführen. Im Vergleich zum Handelsreisendenproblem enthält die Schrittzahl die Problemgröße n nur als Basis, nicht im Exponenten. Zum Vergleich nochmal die Schrittzahlen: n 2 n bzw. (n 1)!.

17 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Erweiterung der naiven Methode Starte mit einer (schon recht guten) Tour, die man durch die naive Methode erhalten hat. Ersetze (wenige) existente Städteverbindungen durch (genau so viele) nicht-existente Städteverbindungen, so dass weiter eine Tour vorliegt, die aber besser ist als die ursprüngliche Tour. Dies kann für zwei Städteverbindungen so aussehen:

18 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Erweiterung der naiven Methode Die beste Umsetzung dieser Idee stammt von Keld Helsgaun aus dem Jahre 1998 bzw. eine erweiterte Version aus dem Jahre Die Laufzeit seines Ansatzes hängt sehr stark von der Anzahl der Städte ab.

19 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Unser Ansatz Finde mit bekannten Ansätzen, z.b. dem Ansatz von Helsgaun, gute Touren, die sogenannten Starttouren. Dabei heißt gut, dass sie recht kleine Länge haben, aber nicht so kleine Längen wie gewünscht. a b c

20 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Unser Ansatz Suche nun alle Städteverbindungen, die in allen Touren dieser Menge enthalten sind. d

21 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Unser Ansatz Eine neue Beispieleingabe wird gebildet, indem die Städte, die auf einem Weg von gemeinsamen Städteverbindungen liegen, weggelassen werden. Dabei werden alle Städteverbindungen der Starttouren durch weggelassene Städte gespeichert. e

22 Wie findet man eine möglichst gute Tour? Unser Ansatz Auf die neue Beispieleingabe wird wiederum der Ansatz von Helsgaun angewandt. Da Helsgauns Ansatz sehr stark von der Städteanzahl abhängt, ist er nun deutlich effektiver und führt zu besseren Touren. Für dieses Beispiel erhält man folgende minimale Tour: f

23 Wie findet man eine möglichst gute Tour? TSP-Wettbewerb zum Finden möglichst guter Touren TSP-Wettbewerb, Teil 2: Finde für Beispieleingaben, für die die Berechnung einer minimalen Tour zu schwer ist, eine möglichst gute Tour. Die etwa 241 Beispieleingaben wurden aus verschiedenen Anwendungen genommen. Die schwierigste (und interessanteste) Beispieleingabe ist das World-TSP mit Städten.

24 Wie findet man eine möglichst gute Tour? TSP-Wettbewerb zum Finden möglichst guter Touren Für 10 Beispieleingaben haben wir einen Weltrekord aufgestellt. Diese Eingaben werden im folgenden aufgeführt. 7 der 10 Weltrekorde sind noch aktuell. Unser (ehrgeiziges) Ziel: Berechnung einer Weltrekordtour für das World-TSP.

25 Wie findet man eine möglichst gute Tour? TSP-Wettbewerb zum Finden möglichst guter Touren Weltrekorde unserer Arbeitsgruppe Datum Forschungsteam Anzahl Städte Richter, Goldengorin, Jäger, Molitor Richter, Goldengorin, Jäger, Molitor Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter Dong, Jäger, Molitor, Richter