»La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a
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- Astrid Amsel
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1 MOTTO GALILEO GALILEI: DIE GOLDWAAGE (IL SAGGIATORE) VON 623»La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l universo), ma non si può intendere se prima non s impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica.«die Philosophie steht in jenem großen Buch geschrieben, das uns ständig offen vor Augen liegt (ich spreche vom Universum). Aber dieses Buch ist nicht zu verstehen, ehe man nicht gelernt hat, die Sprache zu verstehen, und die Buchstaben kennt, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.
2 Gelbe Engel, ein Handlungsreisender und die Sprache der Mathematik Automatische Einsatzplanung von Service-Fahrzeugen des ADAC in Echtzeit Jörg Rambau LS Wirtschaftsmathematik Problemstellung Online-Strategie Modellierung Algorithmus Ergebnis
3 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER
4 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System:
5 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC
6 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner
7 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen
8 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe:
9 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug,
10 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour
11 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten
12 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem
13 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem Besonderheiten:
14 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem Besonderheiten: Zukünftige Aufträge unbekannt
15 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem Besonderheiten: Zukünftige Aufträge unbekannt Online-Problem
16 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem Besonderheiten: Zukünftige Aufträge unbekannt Online-Problem Antwortzeit 0 s (Telefonat)
17 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem Besonderheiten: Zukünftige Aufträge unbekannt Online-Problem Antwortzeit 0 s (Telefonat) Echtzeit-Problem
18 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem Besonderheiten: Zukünftige Aufträge unbekannt Online-Problem Antwortzeit 0 s (Telefonat) Echtzeit-Problem Vor dem Projekt:
19 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem Besonderheiten: Zukünftige Aufträge unbekannt Online-Problem Antwortzeit 0 s (Telefonat) Echtzeit-Problem Vor dem Projekt: Geographische Zerlegung
20 PROBLEMSTELLUNG AUS DER SICHT DER PRAKTIKER System: 700 Hilfefahrzeuge des ADAC Service-Partner 5 Hilfezentralen Aufgabe: Auftrag (0 000 / Tag) Hilfefahrzeug, Hilfefahrzeug Tour Minimiere Betriebskosten plus Verspätungskosten Optimierungs-Problem Besonderheiten: Zukünftige Aufträge unbekannt Online-Problem Antwortzeit 0 s (Telefonat) Echtzeit-Problem Vor dem Projekt: Geographische Zerlegung Manuelles Dispatchen
21 PROBLEMSTELLUNG Hilfefahrzeug frei Wähle nächsten Auftrag Steuerung der gelben Engel Bediene Auftrag Bewege Hilfefahrzeug zum nächsten Auftrag Hilfefahrzeug en route
22 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL
23 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
24 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
25 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
26 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
27 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
28 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
29 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
30 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
31 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
32 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
33 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC ADAC 2 2
34 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC Zu spät! ADAC 2 2
35 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC Zu spät! ADAC 2 2
36 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL ADAC Verspätungskosten ADAC 2 2
37 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL Gesamtkosten: Verspätungskosten ADAC ADAC 2 2
38 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL Verspätungskosten Gesamtkosten: Fahren, Überstunden, Verspätung, Partner. ADAC ADAC 2 2
39 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL Verspätungskosten Gesamtkosten: Fahren, Überstunden, Verspätung, Partner. Ziel: ADAC ADAC 2 2
40 PROBLEMSTELLUNG BEISPIEL Verspätungskosten ADAC Gesamtkosten: Fahren, Überstunden, Verspätung, Partner. Ziel: Steuere Hilfefahrzeuge, so dass Gesamtkosten minimal. ADAC 2 2
41 ONLINE-STRATEGIE Hilfefahrzeug frei Wähle nächsten Auftrag in Einsatzplan als nächsten Auftrag Bewege Hilfefahrzeug zum nächsten Auftrag Reoptimierung bei jedem neuem Auftrag: Finde kostenoptimalen Einsatzplan für alle bekannten Aufträge Bediene Auftrag Hilfefahrzeug En Route
42 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL
43 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge ADAC ADAC 2 2
44 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge ADAC Bei jedem neuen Auftrag ADAC 2 2
45 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL ADAC ADAC 2 Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge Bei jedem neuen Auftrag wird ein neuer optimaler Plan berechnet. 2
46 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL ADAC ADAC 2 Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge Bei jedem neuen Auftrag wird ein neuer optimaler Plan berechnet. 2
47 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL ADAC ADAC 2 Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge Bei jedem neuen Auftrag wird ein neuer optimaler Plan berechnet. 2
48 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL ADAC Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge ADAC 2 Bei jedem neuen Auftrag wird ein neuer optimaler Plan berechnet. 2
49 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL ADAC Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge ADAC 2 Bei jedem neuen Auftrag wird ein neuer optimaler Plan berechnet. 2
50 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL ADAC Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge ADAC 2 Bei jedem neuen Auftrag wird ein neuer optimaler Plan berechnet. 2
51 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL ADAC Prinzip: Zu jedem Zeitpunkt existiert ein optimaler Plan für die bekannten Aufträge Verspätung ADAC 2 Bei jedem neuen Auftrag wird ein neuer optimaler Plan berechnet. 2
52 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL Gesucht: ADAC Verspätung ADAC 2 2
53 ONLINE-STRATEGIE BEISPIEL Verspätung ADAC ADAC 2 Gesucht: Schnelles Computergestütztes Verfahren zur Lösung des Reoptimierungsproblems»Fahrzeugeinsatzplanung mit weichen Zeitfenstern«2
54 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN?
55 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN? Vereinfachungen ADAC ADAC 2 2
56 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN? Vereinfachungen ADAC ADAC 2 2
57 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN? Vereinfachungen ADAC
58 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN? Vereinfachungen ADAC
59 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN? Vereinfachungen Das berühmte TSP Traveling Salesman Problem (Handlungsreisendenproblem) Finde kürzeste Rundreise durch alle Städte!
60 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN? Vereinfachungen Das berühmte TSP Traveling Saleman Problem (Handlungsreisendenproblem) Finde kürzeste Rundreise durch alle Städte! Entfernungen symmetrisch 0km
61 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN? Vereinfachungen Das berühmte TSP Traveling Saleman Problem (Handlungsreisendenproblem) Finde kürzeste Rundreise durch alle Städte! Entfernungen symmetrisch durch Pfeile mit Bewertungen symbolisiert 0km 20km
62 PROBLEMSTELLUNG WAS HAT DAS MIT EINEM HANDLUNGSREISENDEN ZU TUN? Vereinfachungen Das berühmte TSP Traveling Saleman Problem (Handlungsreisendenproblem) Finde kürzeste Rundreise durch alle Städte! Entfernungen symmetrisch durch Pfeile mit Bewertungen symbolisiert
63 PROBLEMSTELLUNG EINFACHER ALGORITHMUS: ALLE TOUREN PROBIEREN, NIMM DIE KÜRZESTE
64 PROBLEMSTELLUNG EINFACHER ALGORITHMUS: ALLE TOUREN PROBIEREN, NIMM DIE KÜRZESTE Fakten:
65 PROBLEMSTELLUNG EINFACHER ALGORITHMUS: ALLE TOUREN PROBIEREN, NIMM DIE KÜRZESTE Fakten: Es gibt für n Städte (n )! 2 verschiedene Touren.
66 PROBLEMSTELLUNG EINFACHER ALGORITHMUS: ALLE TOUREN PROBIEREN, NIMM DIE KÜRZESTE Fakten: Es gibt für n Städte (n )! 2 verschiedene Touren. Für 6 Städte: Touren.
67 PROBLEMSTELLUNG EINFACHER ALGORITHMUS: ALLE TOUREN PROBIEREN, NIMM DIE KÜRZESTE Fakten: Es gibt für n Städte (n )! 2 verschiedene Touren. Für 6 Städte: Touren. Für 60 Städte: etwa Touren.
68 PROBLEMSTELLUNG EINFACHER ALGORITHMUS: ALLE TOUREN PROBIEREN, NIMM DIE KÜRZESTE Fakten: Es gibt für n Städte (n )! 2 verschiedene Touren. Für 6 Städte: Touren. Für 60 Städte: etwa Touren. Probieren dauert sehr, sehr lang
69 PROBLEMSTELLUNG ECHTZEIT-REOPTIMIERUNG DER GELBEN ENGEL Problem: Wie findet man in 0 s einen (fast) optimalen Einsatzplan für etwa 00 Hilfefahrzeuge durch etwa 200 bekannte Aufträge?
70 PROBLEMSTELLUNG ECHTZEIT-REOPTIMIERUNG DER GELBEN ENGEL Problem: Wie findet man in 0 s einen (fast) optimalen Einsatzplan für etwa 00 Hilfefahrzeuge durch etwa 200 bekannte Aufträge? Schlüssel zur Lösung: Übersetzen der Aufgabe in die Sprache der Mathematik (Modellierung) und Anwendung mathematischer Optimierungsmethoden!
71 MODELLIERUNG EINE MODELLIERUNG IM DETAIL Frage: Wie modelliert man das TSP, so dass ein Computer eine optimale Lösung ausrechnen kann?
72 MODELLIERUNG ERSTER SCHRITT: EIN BEWERTETER GRAPH
73 MODELLIERUNG ERSTER SCHRITT: EIN BEWERTETER GRAPH Aufträge, Städte, Tische, Stühle egal:
74 MODELLIERUNG ERSTER SCHRITT: EIN BEWERTETER GRAPH Mathematiker zeichnen Punkte und nennen sie Knoten i V;
75 MODELLIERUNG ERSTER SCHRITT: EIN BEWERTETER GRAPH Mathematiker zeichnen Punkte und nennen sie Knoten i V; 45 die Verbindungen heißen 46 Kanten e = {i, j} E;
76 MODELLIERUNG ERSTER SCHRITT: EIN BEWERTETER GRAPH Mathematiker zeichnen Punkte und nennen sie Knoten i V; die Verbindungen heißen Kanten e = {i, j} E; die Entfernungen werden zu Bewertungen w : E R; 5 4 w(45) w(46) w(4) w(56) w(5) 6 w(34) w(35) w(36) w(3) w(2) w(6) 3 w(23) w(24) w(25) w(26) 2
77 MODELLIERUNG ERSTER SCHRITT: EIN BEWERTETER GRAPH Mathematiker zeichnen Punkte und nennen sie Knoten i V; die Verbindungen heißen Kanten e = {i, j} E; die Entfernungen werden zu Bewertungen w : E R; das ganze heißt bewerteter Graph (V, E, w) oder Netzwerk 5 4 w(45) w(46) w(4) w(56) w(5) 6 w(34) w(35) w(36) w(3) w(2) w(6) 3 w(23) w(24) w(25) w(26) 2
78 MODELLIERUNG ERSTER SCHRITT: EIN BEWERTETER GRAPH Mathematiker zeichnen Punkte und nennen sie Knoten i V; die Verbindungen heißen Kanten e = {i, j} E; die Entfernungen werden zu Bewertungen w : E R; das ganze heißt bewerteter Graph (V, E, w) oder Netzwerk Hier ein Bespiel:
79 MODELLIERUNG ZWEITER SCHRITT: KOSTENMODELL
80 MODELLIERUNG ZWEITER SCHRITT: KOSTENMODELL
81 MODELLIERUNG ZWEITER SCHRITT: KOSTENMODELL
82 MODELLIERUNG ZWEITER SCHRITT: KOSTENMODELL
83 MODELLIERUNG ZWEITER SCHRITT: KOSTENMODELL
84 MODELLIERUNG ZWEITER SCHRITT: KOSTENMODELL
85 MODELLIERUNG ZWEITER SCHRITT: KOSTENMODELL
86 MODELLIERUNG ZWEITER SCHRITT: KOSTENMODELL Kosten = Distanzsumme ausgewählter Kanten Jede Kante doppelt in Tabelle markiert Daher: Kosten = Summe markierter Distanzen / 2 Hier: Kosten = 298
87 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN
88 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN
89 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN
90 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN
91 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN Entscheidungsvariablen sind Binärvariablen: x ii = 0 stets x ij = Zelle (ij) ist ausgewählt x ij = 0 Zelle (ij) ist nicht ausgewählt Damit: X = (x ij ) kodiert ausgewählte Kantenmenge Für eine Kantenmenge F heißt die entsprechende Belegung X F = (x F ij ), xf ij = {i, j} F Inzidenzmatrix von F.
92 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN Inzidenzmatrix
93 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN TSP-Tour
94 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN TSP-Tour Wie kann man an der Inzidenzmatrix sehen, dass die zugehörigen Kantenmenge einer TSP-Tour entspricht?
95 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN Variablenbelegung Die 6 kürzesten Distanzen. Ist das eine TSP-Tour?
96 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN TSP-Tour? Ja oder Nein? Rechnen erlaubt Graph betrachten verboten. Denn Computer können gut rechnen aber schlecht Bilder interpretieren. Ist das eine TSP-Tour?
97 MODELLIERUNG DRITTER SCHRITT: VARIABLEN TSP-Tour? Ja oder Nein? Rechnen erlaubt Graph betrachten verboten. Denn Computer können gut rechnen aber schlecht Bilder interpretieren. Ist das eine TSP-Tour?
98 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN
99 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Kein Knoten in einer Tour liegt in drei oder mehr Kanten.
100 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Kein Knoten in einer Tour liegt in weniger als zwei Kanten.
101 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN In jedem Knoten enden genau zwei Kanten.
102 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN In jedem Knoten enden genau zwei Kanten.
103 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN In jedem Knoten enden genau zwei Kanten.
104 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN In jedem Knoten enden genau zwei Kanten.
105 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN In jedem Knoten enden genau zwei Kanten.
106 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN In jedem Knoten enden genau zwei Kanten.
107 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN In jedem Knoten enden genau zwei Kanten.
108 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN In jedem Knoten enden genau zwei Kanten. Bedingung für Inzidenzmatrizen: Zeilensummen alle gleich 2. j:{i,j} E x F ij = 2 i V Grad-Gleichungen
109 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Im Beispiel: Auswahl der sechs kürzesten Kanten ist keine TSP-Tour. Zeilensummen nicht gleich 2.
110 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Im Beispiel: Auswahl der sechs kürzesten Kanten ist keine TSP-Tour. Zeilensummen nicht gleich 2. Aber: Keine Tour kann kürzer sein als 66 = Summe dieser Kantenlängen.
111 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Es gibt keine geschlossenen Touren mit weniger als n Knoten.
112 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Für jeden Teilgraphen enthält jede Tour mindestens zwei Kanten, die den Teilgraphen verlassen.
113 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Für jeden Teilgraphen enthält jede Tour mindestens zwei Kanten, die den Teilgraphen verlassen.
114 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Für jeden Teilgraphen enthält jede Tour mindestens zwei Kanten, die den Teilgraphen verlassen Bedingung für Inzidenzmatrizen: i W j V\W x F ij 2 W V W V, W Teiltour-Ungleichungen
115 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Im Beispiel: Hier stimmen zwar die Zeilensummen
116 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Im Beispiel: Hier stimmen zwar die Zeilensummen aber, 5, 6 bilden eine Teiltour und 2, 3, 4 bilden eine Teiltour.
117 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Im Beispiel: Hier stimmen zwar die Zeilensummen aber, 5, 6 bilden eine Teiltour und 2, 3, 4 bilden eine Teiltour. Bemerkung am Rande: Es gibt zwar exponentiell viele, nämlich 2 n 2 (hier: 62), Teiltour-Ungleichungen (tatsächlich reichen im Beispiel 0), man kann aber für eine Inzidenzmatrix schnell prüfen, ob sie eine verletzt oder nicht. (Wie, wird hier aber nicht erklärt.)
118 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Eine Inzidenzmatrix X = (x ij ) entpricht genau dann einer TSP-Tour, wenn: x ij = 2 j V i W j V\W x ij 2 i V W V W >, W < n
119 MODELLIERUNG VIERTER SCHRITT: NEBENBEDINGUNGEN Nebenbedingungen im Beispiel mit 6 Städten: x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 = 2 x 2 +x 23 +x 24 +x 25 +x 26 = 2 x 3 +x 32 +x 34 +x 35 +x 36 = 2 x 4 +x 42 +x 43 +x 45 +x 46 = 2 x 5 +x 52 +x 53 +x 54 +x 56 = 2 x 6 +x 62 +x 63 +x 64 +x 65 = 2 x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6. 2 x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 23 +x 24 +x 25 +x x 4 +x 5 +x 6 +x 24 +x 25 +x 26 +x 34 +x 35 +x (Insgesamt 62 Ungleichungen, 0 essentiell). x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 2 Eine Inzidenzmatrix X = (x ij ) entpricht genau dann einer TSP-Tour, wenn: x ij = 2 j V i W j V\W x ij 2 i V W V W >, W < n
120 MODELLIERUNG FÜNFTER SCHRITT: EIN MATHEMATISCHES MODELL FÜR DAS TSP Ganzzahliges lineares Programm (ILP): min w ij x ij 2 i V unter der Bedingung, dass x ij = 2 j V i W j V\W x ij 2 j V x ii = 0 x ij = x ji x ij {0, } i V W V W >, W < n i V i, j V i, j V
121 MODELLIERUNG OPTIMALLÖSUNG (GEFUNDEN Z. B. VON zimpl & cplex, concorde, )
122 MODELLIERUNG OPTIMALLÖSUNG (GEFUNDEN Z. B. VON zimpl & cplex, concorde, ) Optimale Inzidenzmatrix
123 MODELLIERUNG OPTIMALLÖSUNG (GEFUNDEN Z. B. VON zimpl & cplex, concorde, ) TSP-Tour Kosten = 205. Optimale Inzidenzmatrix
124 MODELLIERUNG WELTREKORD 200 MIT concorde
125 MODELLIERUNG WELTREKORD 200 MIT concorde Eine bewiesen optimale Tour durch 5 2 deutsche Städte [Applegate, Bixby, Chvàtal, Cook]
126 MODELLIERUNG WELTREKORD 200 MIT concorde Eine bewiesen optimale Tour durch 5 2 deutsche Städte [Applegate, Bixby, Chvàtal, Cook] Es gibt etwa verschiedene Touren.
127 MODELLIERUNG WELTREKORD 200 MIT concorde Eine bewiesen optimale Tour durch 5 2 deutsche Städte [Applegate, Bixby, Chvàtal, Cook] Es gibt etwa verschiedene Touren. Durch Mathematik: keine kann kürzer sein als die Tour rechts!
128 MODELLIERUNG WELTREKORD 200 MIT concorde Eine bewiesen optimale Tour durch 5 2 deutsche Städte [Applegate, Bixby, Chvàtal, Cook] Es gibt etwa verschiedene Touren. Durch Mathematik: keine kann kürzer sein als die Tour rechts! Aktueller Weltrekord (2004): Städte in Schweden
129 MODELLIERUNG EIN TOURBASIERTES ILP
130 MODELLIERUNG EIN TOURBASIERTES ILP x(,t) ADAC y(,s) ADAC 2 x(2,t ) 2 Modell mit Tourvariablen für Fahrzeuge und Partner.
131 MODELLIERUNG EIN TOURBASIERTES ILP x(,t) ADAC ADAC 2 Fahrzeug fährt Tour T. y(,s) x(2,t ) 2
132 MODELLIERUNG EIN TOURBASIERTES ILP x(,t) ADAC y(,s) ADAC 2 x(2,t ) 2 Vertragspartner bekommt Aufträge S.
133 MODELLIERUNG EIN TOURBASIERTES ILP x(,t) ADAC y(,s) ADAC 2 x(2,t ) 2 Zulässige Lösung: Zerlegung der Aufträge in Touren.
134 MODELLIERUNG EIN TOURBASIERTES ILP x(,t) ADAC y(,s) ADAC 2 x(2,t ) Vereinfachung: keine Partner 2 min c T x s.t. a vt x T = v V(D) (Partitionierung Aufträge) T T x T = u U (Partitionierung Fahrzeuge) T T u x T {0, } T T (Binärvariablen)
135 MODELLIERUNG EIN TOURBASIERTES ILP x(,t) ADAC y(,s) ADAC 2 x(2,t ) Vereinfachung: keine Partner 2 min c T x s.t. a vt x T = v V(D) (Partitionierung Aufträge) T T x T = u U (Partitionierung Fahrzeuge) T T u x T {0, } T T (Binärvariablen) Problem: In der Praxis Variablen.
136 ALGORITHMUS DYNAMISCHE SPALTENGENERIERUNG
137 ALGORITHMUS DYNAMISCHE SPALTENGENERIERUNG Pricing-Prinzip: Starte mit wenigen Touren, konstruiere nach und nach neue chancenreiche Touren durch Zuweisung von Schattenpreisen zu Aufträgen bis Optimalitätskriterium erfüllt
138 ERGEBNIS ECHTZEIT-OPTIMIERUNG MÖGLICH!
139 ERGEBNIS ECHTZEIT-OPTIMIERUNG MÖGLICH! Zurück in der Praxis: Einsatzplanung mit 200 Aufträgen und 00 Fahrzeugen i. d. R. bewiesen optimal gelöst in s. ILP wird durch Branch&Bound i. d. R. mit % Optimalitätslücke gelöst. Qualitätsgarantie durch Optimalwert der LP-Relaxierung.
140 ERGEBNIS ECHTZEIT-OPTIMIERUNG MÖGLICH! Zurück in der Praxis: Einsatzplanung mit 200 Aufträgen und 00 Fahrzeugen i. d. R. bewiesen optimal gelöst in s. ILP wird durch Branch&Bound i. d. R. mit % Optimalitätslücke gelöst. Qualitätsgarantie durch Optimalwert der LP-Relaxierung. Kommerzielle Nachimplementierung im Betrieb beim ADAC
141 ERGEBNIS ECHTZEIT-OPTIMIERUNG MÖGLICH! Zurück in der Praxis: Einsatzplanung mit 200 Aufträgen und 00 Fahrzeugen i. d. R. bewiesen optimal gelöst in s. ILP wird durch Branch&Bound i. d. R. mit % Optimalitätslücke gelöst. Qualitätsgarantie durch Optimalwert der LP-Relaxierung. Kommerzielle Nachimplementierung im Betrieb beim ADAC Fortlaufende Modellanpassungen steigern Praxistauglichkeit
142 ERGEBNIS FAZIT
143 ERGEBNIS FAZIT Galilei hatte Recht: ADAC-Projekt-Erfolg nur durch mathematische Modellierung möglich!
144 ERGEBNIS FAZIT Galilei hatte Recht: ADAC-Projekt-Erfolg nur durch mathematische Modellierung möglich! Das alles kann man auch an der UBT lernen: Studium der (Wirtschafts-)Mathematik an der UBT
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