Algorithmen. Von Labyrinthen zu. Gerald Futschek

Transkript

1 Von Labyrinthen zu Algorithmen Gerald Futschek

2 Wie kommt man aus einem Labyrinth (griechisch: Haus der Doppelaxt, wahrscheinlich Knossos auf Kreta) Labyrinth heraus? Labrys Grundriss des Palastes von Knossos

3 Fragestellungen zu Labyrinthen Finde einen Weg durch das Labyrinth Finde einen Weg hinaus Finde einen Weg zu einem bestimmten Punkt im Labyrinth Gibt es vielleicht mehrere Wege? Welcher Weg ist der kürzeste? Wie findet man solche Wege?

4 Präzisierung der Aufgabenstellung Gesucht ist ein Weg von Position A nach B Form, Größe und Struktur des Labyrinths ist zunächst nicht bekannt

5 Sichtweise in einem Labyrinth

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8 Suche nach einem Weg Ohne zunächst alle Details des Labyrinths zu kennen, soll ein bestimmtes Ziel gefunden werden. Gesucht ist ein Verfahren, das für alle denkbaren Layrinthe das Ziel findet

9 Suche nach einem Weg An jeder Kreuzung: Welchen Gang soll man gehen? einen zufälligen? einen bestimmten Gang? alle Gänge der Reihe nach? (wie geht das genau?) Strategie gesucht!

10 Eine Idee für eine Strategie Gehe immer der linken Wand entlang! Diese Strategie funktioniert in der Ebene jedenfalls sicher von einem Eingang zu einem Ausgang (Spiegelkabinett)

11 Eine Lösungsstrategie Immer die linke Wand entlang gehen 0 0 Gesucht: Nicht die Lösung für ein bestimmtes Labyrinth, sondern ein Verfahren, wie man zur Lösung bei beliebigen Labyrinthen kommt! (ein Algorithmus löst ein allgemeines Problem)

12 Abstraktion Labyrinth besteht aus Kreuzungen und Gängen zwischen Kreuzungen Länge und Form der Gänge nicht wichtig Modellierung als Graph: start goal Knoten und Kanten Kreuzungen werden zu Knoten Gänge werden zu Kanten

13 Labyrinth - Graph start goal Was entspricht der linken Wand in einem Graphen?

14 Der Graph und der 1.Gang von links In jedem Knoten müssen wir den 1. Gang von links kennen. Welche Kante ist der 1. Gang von links? start goal Der 1. Gang von links hängt von dem Gang ab, der zur Kreuzung führt!

15 Modellierung der Reihenfolge der Gänge Ein Graph beschreibt nur Knoten und welche Knoten durch Kanten verbunden sind. In einem Graph gibt es keine Reihenfolge der Kanten Für jeden Knoten müssen wir eine Reihenfolge der Kanten zusätzlich modellieren. Da alle Kanten gleichberechtigt sind, definieren wir gleich eine zyklische Ordnung: Zu jeder Kante e eines Knoten gibt es eine Nachfolgerkante succ(e) succ(e) ist der 1.Gang von links!

16 Modellierung als Embedded Graph Ein Embedded Graph (in die Ebene eingebettet) hat die Kanten jedes Knoten zyklisch geordnet dh. man kann, wenn man über eine Kante e zu einem Knoten kommt, mit succ(e) den 1. Gang von links bestimmen Mit der zyklischen Ordnung hat man auch eine Reihenfolge, um alle Gänge einer Kreuzung systematisch zu durchlaufen!

17 Grundoperationen für Labyrinthe Die folgenden Grundoperationen dürfen in einem Labyrinth-Algorithmus verwendet werden: Man kommt stets von einem Gang an eine Kreuzung: Abfrage: Anzahl weiterer Gänge bei dieser Kreuzung? (Null bedeutet Sackgasse) Aktion: Wähle den i-ten Gang von links und gehe in diesem Gang bis zur nächsten Kreuzung Aktion: Drehe dich um und gehe den Gang, den du gekommen bist, bis zur letzten Kreuzung zurück Abfrage: Ziel erreicht? Ja/Nein Kann man mit diesen Grundoperationen einen Weg von A nach B im Labyrinth finden? Wie?

18 Linke Wand entlang Wie formuliert man den Algorithmus mit den Grundoperationen? Es gibt ja in der Abstraktion (Graph) keine Wände, sondern nur mehr Kanten! Algorithmus mit den 4 Grundoperationen: solange Ziel nicht erreicht falls Sackgasse drehe dich um und gehe Gang zurück sonst gehe 1. Gang von links

19 ja Flussdiagramm ja Ziel erreicht? nein Sackgasse? nein Welche Anfangsbedingungen müssen erfüllt sein, damit dieser Algorithmus terminiert? drehe dich um und gehe Gang zurück gehe 1. Gang von links

20 Precondition eines Algorithmus Precondition (Vorbedingung, Anfangsbedingung) muss vor dem Algorithmus erfüllt sein, damit er terminiert und die gewünschten Ergebnisse liefert Precondition Algorithmus Precondition für Linke Wand Algorithmus: solange Ziel nicht erreicht falls Sackgasse drehe dich um und gehe Gang zurück sonst gehe 1. Gang von links

21 Postcondition eines Algorithmus Postcondition (Nachbedingung, Endbedingung) beschreibt den gewünschten Endzustand des Algorithmus Algorithmus Postcondition Postcondition des Linke Wand Algorithmus: solange Ziel nicht erreicht falls Sackgasse drehe dich um und gehe Gang zurück sonst gehe 1. Gang von links

22 Bedeutung der Precondition Precondition ist erfüllt: Algorithmus terminiert sicher und nachher ist die Postcondition erfüllt Precondition ist nicht erfüllt: Precondition Algorithmus Postcondition Es ist nicht garantiert, dass der Algorithmus terminiert oder nachher die Postcondition erfüllt ist. In diesem Fall soll der Algorithmus gar nicht ausgeführt werden!

23 Grundoperationen für Labyrinthe Minimale Anzahl an Operationen: Man kommt stets von einem Gang an eine Kreuzung: Abfrage: Anzahl weiterer Gänge bei dieser Kreuzung? (Null bedeutet Sackgasse) 2 Aktion: Wähle den i-ten Gang von links und gehe in diesem Gang bis zur nächsten Kreuzung Aktion: Drehe dich um und gehe den Gang, den du gekommen bist, bis zur letzten Kreuzung zurück Abfrage: Knoten x erreicht? Ja/Nein Kann man mit diesen Grundoperationen einen Weg von A nach B im Labyrinth finden? Wie?

24 Vereinfachung des Linke Wand statt Algorithmus solange Ziel nicht erreicht falls Sackgasse drehe dich um und gehe Gang zurück sonst gehe 1. Gang von links in einer Sackgasse ist der erste Gang von links der Weg zurück: solange Ziel nicht erreicht gehe 1. Gang von links

25 Problem der Zyklen Die Strategie Linke Wand entlang funktioniert leider nicht bei allen Labyrinthen, wenn man von A nach B will! Möglicherweise gibt es Zyklen, sodass es auch unendlich lange Pfade gibt (das Verfahren terminiert nicht!) Gibt es trotzdem Strategien, zum Ziel zu kommen?

26 Ariadne, die erste Theseus ist wild entschlossen, Minotaurus in seinem Labyrinth umzubringen Ariadne hilft ihm dabei mit einer genialen Idee, den Minotaurus zu finden und das Labyrinth auf schnellem Weg zu verlassen Informatikerin

27 Der Ariadne-Faden Theseus durchsucht systematisch das gesamte Labyrinth: Er spult dabei einen Faden ab, geht an Kreuzungen immer den Gang ganz links. Bei Sackgassen und an Kreuzungen, bei denen der Ariadnefaden quert (Zyklus!) muss er umkehren (back tracking) und den Faden zurückverfolgen und aufwickeln, um dann den nächsten Gang bei einer bereits besuchten Kreuzung einzuschlagen. Mit dieser Technik sucht Theseus systematisch die Gänge und Kreuzungen ab. Um schließlich zum Eingang zurückzukehren, muss er zuletzt nur den Faden zurückverfolgen

28 Fragen zum Ariadne-Faden Welchen Vorteil bringt der Ariadne-Faden? Warum wickelt man den Faden beim Zurückgehen wieder auf? Wie lang muss der Faden sein? Theseus tötet den Minotaurus (schwarzfigurige Amphore)

29 Ariadne-Algorithmus im Detail

30 Ariadne-Faden Algorithmus Modifizierte Grundoperationen: Aktionen: Beim Gehen in Gängen zusätzlich Faden abspulen bzw. aufwickeln zusätzliche Abfrage: Quert ein Faden die Kreuzung? Ariadne Algorithmus mit den Grundoperationen: solange Ziel nicht erreicht falls Sackgasse oder Ariadnefaden quert Kreuzung drehe dich um und gehe Gang zurück (und wickle auf) sonst gehe 1. Gang von links (falls Ariadnefaden im Gang, dann aufwickeln sonst abspulen) Es wird ein Baum von allen möglichen Wegen durchsucht, dabei stets versucht zuerst möglichst tief zu kommen: Tiefensuche!

31 Fragen zum Ariadne-Algorithmus Wie erkennt Theseus, dass sich Minotaurus nicht im Labyrinth aufhält? Geht Theseus den kürzesten Weg aus dem Labyrinth hinaus? Kann es vorkommen, dass der Algorithmus ewig dauert? Welche Pre- und Postonditions gelten?

32 Aufwand des Ariadne- Algorithmus Wie groß ist der Aufwand des Algorithmus? Wie misst man den Aufwand? Anzahl Einzelschritte = Anzahl besuchter Kreuzungen? = Anzahl durchwanderter Gänge? Aufwand entspricht der Anzahl verschiedener Wege von A nach B Abhängig von Problemgröße n n = Anzahl der Kreuzungen (Knoten) Wenn maximal 3 weitere Gänge weggehen: Aufwand maximal 3 n (verschiedene Wege) (exponentiell!) Wie kann man den Ariadne Algorithmus beschleunigen?

33 Beschleunigung des Ariadne- Zusätzliche Grundoperationen: Algorithmus Aktionen: Alle Stellen im Labyrinth, die schon besucht wurden, werden markiert. zusätzliche Abfrage: War ich schon einmal an der Stelle, die ich gerade betreten möchte? Beschleunigter Ariadne Algorithmus: solange Ziel nicht erreicht falls Sackgasse oder Ariadnefaden quert Kreuzung oder Stelle im Labyrinth schon besucht drehe dich um und gehe Gang zurück (und wickle auf) sonst gehe 1. Gang von links (falls Ariadnefaden im Gang, dann aufwickeln sonst abspulen)