Inhalt. 42 ein Geleitwort von Peter Gritzmann xi. Vorwort zur ergänzten Neuauflage

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Inhalt. 42 ein Geleitwort von Peter Gritzmann xi. Vorwort zur ergänzten Neuauflage"

Transkript

1 Inhalt 42 ein Geleitwort von Peter Gritzmann xi Vorwort Vorwort zur ergänzten Neuauflage xiii xvii 1 Brigitte Lutz-Westphal Optimal zum Ziel: Das Kürzeste-Wege-Problem 1 1 U-Bahn-Fahrten, Schulwege und die Reise von Datenpaketen.. 1 Problem1 U-Bahnfahren... 1 Problem 2 Den Schulweg oder den Weg zur Arbeit optimieren 2 Problem3 Datenpaketeverschicken DieQualderWahl:Wassolloptimiertwerden? AlleMöglichkeitenprobieren:Enumeration GraphenundGraphenisomorphie... 6 GraphenundWege... 6 DasGraphenlabor... 8 Graphenisomorphie Matrizen DieBreitensuche Erste Ideen für einen»weg-mit-minimaler-anzahl-von-kanten- Algorithmus« DieFroschperspektiveunddieLochblende FormulierungderBreitensuche Blättertausch und Rollenspiel: Überprüfen der Formulierung 24 6 DerAlgorithmusvonDijkstra GewichteteGraphen DenAlgorithmusvonDijkstranacherfinden... 28

2 vi Inhalt 7 MehrüberoptimaleWege Vertiefung:Korrektheitsbeweise KorrektheitsbeweisfürdieBreitensuche KorrektheitsbeweisfürdenAlgorithmusvonDijkstra Brigitte Lutz-Westphal Günstig verbunden: Minimale aufspannende Bäume 39 1 Leitungsnetze planen, Straßen erneuern und Computer verkabeln 39 Problem1 Leitungenerneuern Problem2 Straßenbelägekostengünstigverbessern Problem3 Telefonleitungenmieten Problem4 Computernetzwerkeverkabeln DasProblemmodellieren Bäume EindeutigkeitderWege DieAnzahlderBaumkanten Die Anzahl der aufspannenden Bäume DieTiefensuche DerAlgorithmus Korrektheitsbeweis DasDaumenkinoundnocheinmaldieLochblende Exkurs:Ariadne dieersteinformatikerin Enge Verwandte: Tiefensuche und Breitensuche DieAlgorithmenvonKruskalundPrim KostenkommeninsSpiel Zwei»gierige«Vorgehensweisen Steinerbäume Vertiefung: Korrektheitsbeweise für die Algorithmen von Kruskal undprim Brigitte Lutz-Westphal Mathematik für die Müllabfuhr: Das chinesische Postbotenproblem 69 1 Tourenplanung für Müllabfuhr, Postzustellung und Museen Problem1 Müllabfuhroptimieren Problem2 DaschinesischePostbotenproblem Problem3 EinMuseumplanen... 71

3 Inhalt vii 2 ModellierungdurchGraphen Welche Informationen werden zur Lösung der Aufgabe benötigt? WiegenausolldasModellwerden? DaschinesischePostbotenproblem EulergraphenundEulertouren Die Müllabfuhr, die Königsberger Brücken und Leonhard Euler 77 AlgorithmenfürEulertouren FigurenineinemZugzeichnen Knotengrade DieAnzahlderungeradenKnoten Ein weiterer Beweis für die Anzahl der Blätter im Baum MehrüberKnotengrade Matchings: Was die Müllabfuhr mit Partnerwahl zu tun hat DieLösungfürMüllautosundandereAnwendungen ThemamitVariationen:AnderePostbotenprobleme Martin Grötschel Schnelle Rundreisen: Das Travelling-Salesman-Problem 95 1 Problem1 Städtereisen DieModellierungalsGraph Problem2 DasBohrenvonLeiterplatten Löcherbohren:DieZielfunktion DerUrsprungdesTravelling-Salesman-Problems Lösungsmethoden ExakteAlgorithmen:Enumeration ExakteAlgorithmen:GanzzahligeProgrammierung Greedy-Algorithmen ApproximationsalgorithmenfürdasSTSP Verbesserungsverfahren Vertiefung DieNichtapproximierbarkeitdesTSP ZufallunddasTSP LösungenundLiteraturhinweise

4 viii Inhalt 5 Timo Leuders Wenn es Mathematikern zu bunt wird: Färbeprobleme Landkarten,Fische,HandysundBotschafter Problem1 Landkartenfärbung Problem2 Fischgesellschaften Problem3 Handynetze Problem4 Diplomatenkarussell Wiepasstdasalleszusammen? Ideen,BegriffeundZusammenhänge GraphenalsModelle EinkleinerAbstecheroder:»Dabistduplatt« Reichen vier Farben denn nun immer? Plättbarkeit und Färbbarkeit Wiesiehtesabernunmit4Farbenaus? WieknacktmandieFärbungsproblemepraktisch? Fingerübungen Jetztwirdeshandgreiflicher:Färbealgorithmen VonderHeuristikzumAlgorithmus »Vorwärts,undnichtvergessen!« WieauseinemBeweiseinAlgorithmuswird Stephan Hußmann Mit Mathematik spielend gewinnen: Kombinatorische Spiele MitMathematikspielendgewinnen Spiel1 Bridg-It Spiel 2 Shannon-Switching-Game Spiel3 Trianguli Spiel4 Hex SpielemitmathematischerStrategiegewinnen Bridg-It ZugängezurGraphentheorie KanndasSpieljemalsunentschiedenenden? Wie kann eine geeignete Gewinnstrategie aussehen? Werbeginnt,dergewinnt Shannon-Switching-Game Trianguli Hex

5 Inhalt ix 7 Stephan Hußmann Wer passt zu wem? Matchings Jobs und Tanzkurse immer eine Frage der richtigen Zuordnung 203 Problem1 Jobverteilung Problem2 Tanzkurs EineEntdeckungsreisedurchdieWeltderMatchings AufwelcherSeitestehstdu? ZweigeteilteGraphen StellenundBewerber Jetzteinmalgierig! Perfektmatchen GuteNachbarschaftsverhältnisse Jetztwirdgeheiratet Immerabwechselnd KnotenstattKanten EineDeckevollerKnoten EinkurzerAusblick:MatchingsaufgewichtetenGraphen Stephan Hußmann Wie viel passt noch in die Leitung? Flüsse und Netzwerke VonFlüssenundGewinnchancen Problem1 Energietransport Problem2 Handballmeisterschaft WievielWasserpasstindenFluss? VieleWegeführenzumZiel FlussundKapazität WelcheWegegibtesüberhaupt? Von verschiedenen Standorten auf das Problem schauen Alltagserfahrungennutzbarmachen Netzwerkschnitte VorwärtsoderRückwärts WielässtsicheinFlussmaximieren? KleinsterSchnitttrifftgrößtenFluss AufderSuchenacheinemAlgorithmus Werwirderster? Spiele und Mannschaften

6 x Inhalt 9 Martin Grötschel Das Problem mit der Komplexität: P D NP? Andreas Brieden und Peter Gritzmann Von Ackerbau und polytopalen Halbnormen: Diskrete Optimierung für die Landwirtschaft Problem Flurbereinigung Lösung durch computergestütze Enumeration? Modellierung DieNebenbedingungen Geometrisch/zahlentheoretische Interpretation der zulässigen Menge WahlderZielfunktion Abstandsmessung Abstandsmaximierung PolytopaleHalbnormen ZusammenfassungdesAlgorithmus UmsetzunginderPraxis Optimierungsvorschlag PostoptimierungvorOrt Fazit Ausgewählte Aufgaben 305 Lösungshinweise 325 Literatur 341 Index 345

7

ma orrsc e, I rerun er e en

ma orrsc e, I rerun er e en Stephan Hußmann (Hrsg.) o ma orrsc e, I rerun er e en In Studium und Unterricht vieweg 42 - ein Geleitwort von Peter Gritzmann Xl Vorwort Xll1 1 Optimal zum Ziel: Das Kürzeste-Wege-Problem 1 1 U-Bahn-Fahrten,

Mehr

Stephan Hußmann Brigitte Lutz-Westphal (Hrsg.) Kombinatorische Optimierung erleben

Stephan Hußmann Brigitte Lutz-Westphal (Hrsg.) Kombinatorische Optimierung erleben Stephan Hußmann Brigitte Lutz-Westphal (Hrsg.) Kombinatorische Optimierung erleben Aus dem Programm Mathematik für das Lehramt Algorithmik für Einsteiger von Armin P. Barth Zahlentheorie für Einsteiger

Mehr

Dirk Mattfeld Richard Vahrenkamp. Logistiknetzwerke. Modelle für Standortwahl. und Tourenplanung. 2., aktualisierte und überarbeitete Auflage

Dirk Mattfeld Richard Vahrenkamp. Logistiknetzwerke. Modelle für Standortwahl. und Tourenplanung. 2., aktualisierte und überarbeitete Auflage Dirk Mattfeld Richard Vahrenkamp Logistiknetzwerke Modelle für Standortwahl und Tourenplanung 2., aktualisierte und überarbeitete Auflage 4^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Vorwort zur 2. Auflage Vorwort

Mehr

Freie Universität Berlin. Diskrete Mathematik. Ralf Borndörfer, Stephan Schwartz. Freie Universität. 08. April 2013

Freie Universität Berlin. Diskrete Mathematik. Ralf Borndörfer, Stephan Schwartz. Freie Universität. 08. April 2013 Diskrete Mathematik Ralf Borndörfer, Stephan Schwartz 08. April 2013 FUB VL Diskrete Mathematik SS 2013 1 Leonhard Euler (1707-1783) e i sin cos f(x) FUB VL Diskrete Mathematik SS 2013 2 Das Königsberger

Mehr

Publikationen. Bücher. Heftherausgeberin. Dissertation

Publikationen. Bücher. Heftherausgeberin. Dissertation Publikationen Bücher 1. Stephan Hußmann und Brigitte Lutz-Westphal (Hg.): Kombinatorische Optimierung erleben. In Studium und Unterricht, Vieweg, 2007, 2. Auflage 2013 (in Vorbereitung) darin Kapitel 1.

Mehr

Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung

Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung Teilnehmer/innen: Markus Dahinten, Graf Münster Gymnasium Bayreuth Robert Fay, Herder Gymnasium Berlin Falko

Mehr

Andre Krischke. Helge Röpcke. Graphen und. Netzwerktheorie. Grundlagen - Methoden - Anwendungen. Mit 137 Bildern und zahlreichen Beispielen

Andre Krischke. Helge Röpcke. Graphen und. Netzwerktheorie. Grundlagen - Methoden - Anwendungen. Mit 137 Bildern und zahlreichen Beispielen Andre Krischke Helge Röpcke Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen - Methoden - Anwendungen Mit 137 Bildern und zahlreichen Beispielen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag Inhaltsverzeichnis I

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Grundlagen

Inhaltsverzeichnis. Grundlagen Grundlagen 1 Logik und Mengen... 1 1.1 Elementare Logik... 1 1.2 Elementare Mengenlehre... 10 1.3 Schaltalgebra... 15 1.3.1 Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen... 21 1.4 Mit dem digitalen Rechenmeister...

Mehr

Logistik: Transport. Grundlagen, lineare Transport- und Umladeprobleme. von Prof. Dr. Wolfgang Domschke. TU Darmstadt. 5.,.überarbeitete Auflage

Logistik: Transport. Grundlagen, lineare Transport- und Umladeprobleme. von Prof. Dr. Wolfgang Domschke. TU Darmstadt. 5.,.überarbeitete Auflage Logistik: Transport Grundlagen, lineare Transport- und Umladeprobleme von Prof. Dr. Wolfgang Domschke TU Darmstadt 5.,.überarbeitete Auflage R. Oldenböurg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis Vorwort

Mehr

Diskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht)

Diskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht) Diskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht) Dr. C. Löh 2. Februar 2010 0 Graphentheorie Grundlagen Definition (Graph, gerichteter Graph). Ein Graph ist ein Paar G = (V, E), wobei V eine Menge ist (die

Mehr

35 Minimale aufspannende Bäume (Wenn das Naheliegende das Beste ist... )

35 Minimale aufspannende Bäume (Wenn das Naheliegende das Beste ist... ) 35 Minimale aufspannende Bäume (Wenn das Naheliegende das Beste ist... ) Katharina Skutella und Martin Skutella Technische Universität Berlin Einst lebte in einem fernen Inselreich der Stamm der Algolaner.Die

Mehr

1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum

1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum 1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum 11+4+8 Punkte v 1 v 2 1 3 4 9 v 3 v 4 v 5 v 7 7 4 3 5 8 1 4 v 7 v 8 v 9 3 2 7 v 10 Abbildung 1: Der Graph G mit Kantengewichten (a) Bestimme mit Hilfe des Algorithmus

Mehr

I. II. I. II. III. IV. I. II. III. I. II. III. IV. I. II. III. IV. V. I. II. III. IV. V. VI. I. II. I. II. III. I. II. I. II. I. II. I. II. III. I. II. III. IV. V. VI. VII. VIII.

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 10.06.2016 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP

Mehr

entheoretische Konzepte und Algorithmen

entheoretische Konzepte und Algorithmen Sven Oliver Krumke, Hartmut Noitemeier entheoretische Konzepte und Algorithmen Teubner Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Routenplanung 1 1.2 Frequenzplanung im Mobilfunk I 1.3 Museumswärter 3 1.4 Das

Mehr

Strategisches und operatives Logistikmanagement: Distribution

Strategisches und operatives Logistikmanagement: Distribution Strategisches und operatives Logistikmanagement: Distribution Distribution Bearbeitet von Rainer Lasch 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xxii, 360 S. Paperback ISBN 978 3 8349 3011 8 Format (B x L): 16,8 x

Mehr

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? Königsberger Brückenproblem Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man

Mehr

Einführung in Operations Research

Einführung in Operations Research Wolfgang Domschke Andreas Drexl Einführung in Operations Research Achte Auflage fyj Springer Inhaltsverzeichnis Vorwort Symbolverzeichnis V XIII Kapitel 1: Einführung 1 1.1 Begriff des Operations Research

Mehr

Vorwort... V. Abbildungsverzeichnis... XV. Tabellenverzeichnis... XVII. Symbolverzeichnis... XIX. Abkürzungsverzeichnis... XXIII. 1 Grundlagen...

Vorwort... V. Abbildungsverzeichnis... XV. Tabellenverzeichnis... XVII. Symbolverzeichnis... XIX. Abkürzungsverzeichnis... XXIII. 1 Grundlagen... Vorwort... V Abbildungsverzeichnis... XV Tabellenverzeichnis... XVII Symbolverzeichnis... XIX Abkürzungsverzeichnis... XXIII 1 Grundlagen... 1 1.1 Definition der Logistik... 1 1.2 Phasenspezifische Subsysteme

Mehr

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der. Pregelbrücken. überquert?

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der. Pregelbrücken. überquert? Graphentheorie Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert? 1 Königsberger Brückenproblem Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr

9: Gewichtete Graphen

9: Gewichtete Graphen Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 06/7) 9 9: Gewichtete Graphen Beispiel: Eine Straßenkarte mit Entfernungsangaben zwischen den Orten ist ein Beispiel für einen gewichteten Graphen. (9.) DEF: Ein Graph G

Mehr

Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:...

Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:... Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 IBR - Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor P. Fekete Dr. Christiane Schmidt Stephan Friedrichs Klausur Netzwerkalgorithmen 16.07.2013 Name:.....................................

Mehr

Graphen- und Netzwerkop mierung

Graphen- und Netzwerkop mierung Graphen- und Netzwerkop mierung Chris na Büsing Graphen- und Netzwerkop mierung Autorin: Christina Büsing TU Berlin Fakultät II Mathematik und Naturwissenschaften, Institut für Mathematik Straße des 17.

Mehr

Algorithmen zur Visualisierung von Graphen

Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Einführung 1. Vorlesung Sommersemester 2014 (basierend auf Folien von Martin Nöllenburg und Robert Görke, KIT) Organisatorisches Dozent Philipp Kindermann Büro

Mehr

Aufgabensammlung uncf Klausurentrainer zur Optimierung

Aufgabensammlung uncf Klausurentrainer zur Optimierung Karl Heinz Borgwardt unter Mitarbeit von Matthias Tinkl und Thomas Wörle Aufgabensammlung uncf Klausurentrainer zur Optimierung Für die Bachelorausbildung in mathematischen Studiengängen STUDIUM 11 VIEWEG+

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen

Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Bernhard Ganter WS 2013/14 1 Eulersche Graphen Kantenzug Ein Kantenzug in einem Graphen (V, E) ist eine Folge (a 0, a 1,..., a n ) von Knoten

Mehr

Graphentheorie. Vorkurs Informatik WS 2016/2017. Dennis Aumiller

Graphentheorie. Vorkurs Informatik WS 2016/2017. Dennis Aumiller Vorkurs Informatik WS 2016/2017 Dennis Aumiller Aumiller@stud.uni-heidelberg.de 14.10.2016 Über das Thema Wo alles begann Leider keine gesonderte Vorlesung dafür oft als Teilthema in anderen Vorlesungen

Mehr

Studientag zur Algorithmischen Mathematik

Studientag zur Algorithmischen Mathematik Studientag zur Algorithmischen Mathematik Minimale aufspannende Bäume und Matchings Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline Minimale aufspannende

Mehr

Grundlegende Algorithmen mit Java

Grundlegende Algorithmen mit Java Doina Logofätu Grundlegende Algorithmen mit Java Vom Algorithmus zum fertigen Programm Lern- und Arbeitsbuch für Informatiker und Mathematiker Mit 115 Abbildungen '-^~, v :^i yr:,',v.t&i- I " vieweg Inhaltsverzeichnis

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der

Mehr

Euler und Hamiltonkreise

Euler und Hamiltonkreise Euler und Hamiltonkreise 1. Königsberger Brücken 2. Eulerwege und Kreise Definition, Algorithmus mit Tiefensuche 3. Hamiltonwege und Kreise Definition 4. Problem des Handlungsreisenden Enumeration und

Mehr

Mathematik für Informatiker

Mathematik für Informatiker examen.press Mathematik für Informatiker Band 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra von Gerald Teschl, Susanne Teschl Neuausgabe Mathematik für Informatiker Teschl / Teschl schnell und portofrei erhältlich

Mehr

Graphen für Einsteiger

Graphen für Einsteiger Manfred Nitzsche Graphen für Einsteiger Rund um das Haus vom Nikolaus 2., korrigierte Auflage vieweg 1 Erste Graphen 1 Das Haus vom Nikolaus 1 Was ist ein Graph? 2 Auch das ist bei Graphen möglich! 3 Der

Mehr

Planare Graphen, Traveling Salesman Problem, Transportnetze. Formale Methoden der Informatik WiSe 2012/2013 teil 4, folie 1 (von 61)

Planare Graphen, Traveling Salesman Problem, Transportnetze. Formale Methoden der Informatik WiSe 2012/2013 teil 4, folie 1 (von 61) Planare Graphen, Traveling Salesman Problem, Transportnetze Formale Methoden der Informatik WiSe 2012/2013 teil 4, folie 1 (von 61) Teil IV: Planare Graphen / Transportnetze 1. Planare Graphen / Traveling

Mehr

Algorithmen zur Visualisierung von Graphen

Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Einführung 1. Vorlesung Sommersemester 2013 (basierend auf Folien von Martin Nöllenburg und Robert Görke, KIT) Organisatorisches Dozent Martin Fink Büro E14 (Mathebau)

Mehr

Heuristische und exakte Lösungsansätze für das Handelsreisendenproblem. Dr. Gerold Jäger

Heuristische und exakte Lösungsansätze für das Handelsreisendenproblem. Dr. Gerold Jäger Heuristische und exakte Lösungsansätze für das Handelsreisendenproblem Dr. Gerold Jäger Arbeitsgruppe Prof. Dr. Paul Molitor Institut für Informatik Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 30. September

Mehr

Martin Aigner. Diskrete Mathematik

Martin Aigner. Diskrete Mathematik Martin Aigner Diskrete Mathematik Martin Aigner Diskrete Mathematik Mit über 500 Übungs aufgaben 3., durchgesehene Auflage Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Aigner, Martin: Diskrete Mathematik:

Mehr

Lösungen zu Kapitel 5

Lösungen zu Kapitel 5 Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe : (a) Es gibt derartige Graphen: (b) Offensichtlich besitzen 0 der Graphen einen solchen Teilgraphen. Lösung zu Aufgabe : Es sei G = (V, E) zusammenhängend und V

Mehr

Algorithmen - Eine Einführung

Algorithmen - Eine Einführung Algorithmen - Eine Einführung von Prof. Dr.Thomas H. Cormen, Prof. Dr. Charles E. Leiserson, Prof. Dr. Ronald Rivest, Prof. Dr. Clifford Stein Aus dem Englischen von Prof. Dr. rer. nat. habil. Paul Molitor,

Mehr

7: Graphentheorie. Definition 110

7: Graphentheorie. Definition 110 7: Graphentheorie Definition 110 Ein Graph besteht aus einer nichtleeren Menge V ( Vertices ) von Knoten und einer Menge E von Kanten ( Edges Verbindungen zwischen den Knoten), d.h., zwei-elementigen Mengen

Mehr

Kapitel 3. Kapitel 3 Graphentheorie

Kapitel 3. Kapitel 3 Graphentheorie Graphentheorie Inhalt 3.1 3.1 Grundlagen 3.2 3.2 Das Das Königsberger Brückenproblem 3.3 3.3 Bäume 3.4. 3.4. Planare Graphen 3.5 3.5 Färbungen Seite 2 3.1 Grundlagen Definition. Ein Ein Graph besteht aus

Mehr

Wie wird ein Graph dargestellt?

Wie wird ein Graph dargestellt? Wie wird ein Graph dargestellt? Für einen Graphen G = (V, E), ob gerichtet oder ungerichtet, verwende eine Adjazenzliste A G : A G [i] zeigt auf eine Liste aller Nachbarn von Knoten i, wenn G ungerichtet

Mehr

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 4.4.2012 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus

Mehr

Rainer Lasch. Strategisches und operatives Logistikmanagement: Distribution. Springer Gabler

Rainer Lasch. Strategisches und operatives Logistikmanagement: Distribution. Springer Gabler Rainer Lasch Strategisches und operatives Logistikmanagement: Distribution Springer Gabler Vorwort V Abbildungsverzeichnis XIII Tabellenverzeichnis XV Symbolverzeichnis XVII Abkürzungsverzeichnis XXI 1

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob

Mehr

Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 4: Suchstrategien Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. April 2017 HALBORDNUNG TOPOLOGISCHE ORDNUNG TOPOLOGISCHES

Mehr

Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie

Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie Inhalt: W.1 Grundlagen W.2 Das Königsberger Brückenproblem W.3 Bäume W.4 Planare Graphen W.5 Färbungen W.1 Grundlagen Ein Ein Graph besteht aus

Mehr

Graphen für Einsteiger

Graphen für Einsteiger Manfred Nitzsche Graphen für Einsteiger Rund um das Haus vom Nikolaus vieweg 1 Erste Graphen 1 Das Haus vom Nikolaus 1 Was ist ein Graph? 2 Auch das ist bei Graphen möglich! 3 Der Grad einer Ecke 4 Verschiedene

Mehr

Logistik: Transport. Grundlagen, lineare Transportund Umladeprobleme. Von Dr. Wolfgang Domschke. o. Professor für Betriebswirtschaftslehre

Logistik: Transport. Grundlagen, lineare Transportund Umladeprobleme. Von Dr. Wolfgang Domschke. o. Professor für Betriebswirtschaftslehre Logistik: Transport Grundlagen, lineare Transportund Umladeprobleme Von Dr. Wolfgang Domschke o. Professor für Betriebswirtschaftslehre Zweite, ergänzte Auflage TECHNISCH!: MOC cchule DARiviSTAOT j P e

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe 3. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 4. Minimal spannende Bäume 5. Kürzeste Pfade 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse

Mehr

Seminar: Einladung in die Mathematik

Seminar: Einladung in die Mathematik Seminar: Einladung in die Mathematik Marius Kling 11.11.2013 Übersicht 1. Königsberger Brückenproblem 2. Diskrete Optimierung 3. Graphentheorie in der Informatik 4. Zufällige Graphen 5. Anwendungen von

Mehr

Methoden für den Entwurf von Algorithmen

Methoden für den Entwurf von Algorithmen Methoden für den Entwurf von Algorithmen Greedy Algorithmen: - Löse ein einfaches Optimierungsproblem durch eine Folge vernünftiger Entscheidungen. - Eine getroffene Entscheidung wird nie zurückgenommen.

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Knotenfärbung. Def.: Eine Knotenfärbung eines Graphen G=(V,E) mit k Farben ist eine Abbildung c:v {1,...,k}, so dass c(u) c(v) für alle {u,v} E.

Knotenfärbung. Def.: Eine Knotenfärbung eines Graphen G=(V,E) mit k Farben ist eine Abbildung c:v {1,...,k}, so dass c(u) c(v) für alle {u,v} E. Knotenfärbung Def.: Eine Knotenfärbung eines Graphen G=(V,E) mit k Farben ist eine Abbildung c:v {1,...,k}, so dass c(u) c(v) für alle {u,v} E. Die chromatische Zahl χ(g) eines Graphen G ist die minimale

Mehr

Minimale Spannbäume. Evangelia Tsiouprou. LMU Proseminar Computer Unplugged WS 2004/05

Minimale Spannbäume. Evangelia Tsiouprou. LMU Proseminar Computer Unplugged WS 2004/05 Evangelia Tsiouprou LMU Proseminar Computer Unplugged WS 2004/05 1 MOTIVATION 3 1.1 Spannbaum 3 2 ALGORITHMEN ZUR BERECHNUNG EINES MST: 5 2.1 Der Algorithmus von Kruskal 5 2.1.1 Das Dorfbeispiel für den

Mehr

Vorwort Abbildungsverzeichnis Teil I Mathematik 1

Vorwort Abbildungsverzeichnis Teil I Mathematik 1 Inhaltsverzeichnis Vorwort Abbildungsverzeichnis V XIII Teil I Mathematik 1 1 Elementare Grundlagen 3 1.1 Grundzüge der Mengenlehre... 3 1.1.1 Darstellungsmöglichkeiten von Mengen... 4 1.1.2 Mengenverknüpfungen...

Mehr

Klausur zu Diskrete Strukturen, WS 09/10

Klausur zu Diskrete Strukturen, WS 09/10 Aufgabenblatt (Gesamtpunktzahl: 50) Klausur zu Diskrete Strukturen, WS 09/10 B.Sc-Modulprüfung / Scheinklausur Dr. Timo Hanke, Lehrstuhl D für Mathematik, RWTH Aachen 06.02.2010 (1. Termin) Name: Matrikelnummer:

Mehr

Kapitel 1: Fallstudie Bipartite Graphen Gliederung der Vorlesung

Kapitel 1: Fallstudie Bipartite Graphen Gliederung der Vorlesung Kapitel : Fallstudie Bipartite Graphen Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege 6. Traveling Salesman

Mehr

4 Färbungen Begriffe Komplexität Greedy-Algorithmus Knotenreihenfolgen Das 4-Farben-Problem...

4 Färbungen Begriffe Komplexität Greedy-Algorithmus Knotenreihenfolgen Das 4-Farben-Problem... Inhaltsverzeichnis 4 Färbungen 41 4.1 Begriffe....................... 41 4.2 Komplexität..................... 42 4.3 Greedy-Algorithmus................ 42 4.4 Knotenreihenfolgen................. 43 4.5

Mehr

Algorithmen. Von Hammurapi bis Gödel. von Jochen Ziegenbalg, Oliver Ziegenbalg, Bernd Ziegenbalg. überarbeitet

Algorithmen. Von Hammurapi bis Gödel. von Jochen Ziegenbalg, Oliver Ziegenbalg, Bernd Ziegenbalg. überarbeitet Algorithmen Von Hammurapi bis Gödel von Jochen Ziegenbalg, Oliver Ziegenbalg, Bernd Ziegenbalg überarbeitet Algorithmen Ziegenbalg / Ziegenbalg / Ziegenbalg schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de

Mehr

Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler

Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler Bearbeitet von Gert Heinrich 5., korr. Aufl. 2013. Taschenbuch. XV, 399 S. Paperback ISBN 978 3 486 75491 9 Format

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Kombinatorische Optimierung Zuweisungsprobleme 2 1 3 5 4 Kombinatorische Optimierung Rucksackpackproblem 1 10 2 4 6 3 5 8 6 Aufspannende Bäume Travelling Salesman VLSI Design C. Kanzow, M. Gerdts Kombinatorische

Mehr

5. Graphen und Algorithmen

5. Graphen und Algorithmen 36 5. Graphen und Algorithmen 5.1 Einführung Das klassische Problem der Graphentheorie ist Das Königsberger Brücken Problem Die Abbildung zeigt die Stadt Königsberg im 18. Jahrhundert. Die beiden Arme

Mehr

Optimierung Operations Research Spieltheorie

Optimierung Operations Research Spieltheorie 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Karl Heinz Borgwardt Optimierung Operations Research Spieltheorie

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

Basiswissen Mathematik, Statistik. und Operations Research für. Wirtschaftswissenschaftler. von. Prof. Dr. Gert Heinrich DHBW Villingen-Schwenningen

Basiswissen Mathematik, Statistik. und Operations Research für. Wirtschaftswissenschaftler. von. Prof. Dr. Gert Heinrich DHBW Villingen-Schwenningen Basiswissen Mathematik, Statistik und Operations Research für Wirtschaftswissenschaftler von Prof. Dr. Gert Heinrich DHBW Villingen-Schwenningen 5., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis

Mehr

Theoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme

Theoretische Informatik. Exkurs: Komplexität von Optimierungsproblemen. Optimierungsprobleme. Optimierungsprobleme. Exkurs Optimierungsprobleme Theoretische Informatik Exkurs Rainer Schrader Exkurs: Komplexität von n Institut für Informatik 13. Mai 2009 1 / 34 2 / 34 Gliederung Entscheidungs- und Approximationen und Gütegarantien zwei Greedy-Strategien

Mehr

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008 Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9

Mehr

Das Steinerbaumproblem

Das Steinerbaumproblem Das Steinerbaumproblem Natalie Richert Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik, Universität Paderborn 4. Februar 008 / 3 Überblick Problembeschreibung Vorstellung von zwei Approimationsalgorithmen

Mehr

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen

Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 Übungsblatt 4 für die Übung

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

Leitfäden der Informatik

Leitfäden der Informatik Leitfäden der Informatik Reihen-Herausgaber: Prof. Dr. Bernd Becker Prof. Dr. Friedemann Mattern Prof. Dr. Heinrich Müller Prof. Dr. Wilhelm Schäfer Prof. Dr. Dorothea Wagner Prof. Dr. Ingo Wegener Die

Mehr

3.6 Branch-and-Bound-Verfahren

3.6 Branch-and-Bound-Verfahren 36 Branch-and-Bound-Verfahren Die Branch-and-Bound -Methode beruht darauf, auf eine intelligente Weise alle zulässigen Lösungen eines kombinatorischen Optimierungsproblems aufzulisten und mit Hilfe von

Mehr

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Julian Universität Arz, des Timo LandesBingmann, Baden-Württemberg Sebastian und Schlag nationales

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin

Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin Departement Mathematik und Informatik Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin 12. April 2017 Union-Find Datenstruktur Graphen I Robert E. Tarjan Algorithmen und Datenstrukturen,

Mehr

Systems of Distinct Representatives

Systems of Distinct Representatives Systems of Distinct Representatives Seminar: Extremal Combinatorics Peter Fritz Lehr- und Forschungsgebiet Theoretische Informatik RWTH Aachen Systems of Distinct Representatives p. 1/41 Gliederung Einführung

Mehr

Graphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke

Graphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke Graphen Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke 2 Was ist ein Graph? Ein Graph ist in der Graphentheorie eine abstrakte Struktur,

Mehr

Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem

Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Andreas Moser Dietmar Ebner Christian Schauer Markus Bauer 9. Dezember 2003 1 Einführung Der in der Vorlesung gezeigte Algorithmus für das Steiner

Mehr

11. GRAPHEN 3 FLÜSSE UND SPANNBÄUME

11. GRAPHEN 3 FLÜSSE UND SPANNBÄUME Algorithmen und Datenstrukturen 11. GRAPHEN 3 FLÜSSE UND SPANNBÄUME Algorithmen und Datenstrukturen - Ma5hias Thimm (thimm@uni-koblenz.de) 1 Algorithmen und Datenstrukturen 11.1. BERECHNUNG MAXIMALER FLÜSSE

Mehr

4. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Eckengraden und der Anzahl der Kanten eines ungerichteten Graphen?

4. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Eckengraden und der Anzahl der Kanten eines ungerichteten Graphen? Kapitel 7 Graphentheorie Verständnisfragen Sachfragen 1. Was ist ein ungerichteter Graph? 2. Erläutern Sie den Begriff Adjazenz! 3. Erläutern Sie den Eckengrad in einem Graphen! 4. Welchen Zusammenhang

Mehr

Jochen Ziegenbalg Oliver Ziegenbalg Bemd Ziegenbalg. Algorithmen. von Hammurapi bis Gödel. 2., verbesserte Auflage Verlag g;> Harri Deutsch

Jochen Ziegenbalg Oliver Ziegenbalg Bemd Ziegenbalg. Algorithmen. von Hammurapi bis Gödel. 2., verbesserte Auflage Verlag g;> Harri Deutsch Jochen Ziegenbalg Oliver Ziegenbalg Bemd Ziegenbalg Algorithmen von Hammurapi bis Gödel 2., verbesserte Auflage 2007 Verlag g;> Harri Deutsch Inhalt Einleitung 1 Vorbemerkungen: Stellenwert des Themas,

Mehr

Distributed Algorithms. Image and Video Processing

Distributed Algorithms. Image and Video Processing Chapter 6 Optical Character Recognition Distributed Algorithms for Übersicht Motivation Texterkennung in Bildern und Videos 1. Erkennung von Textregionen/Textzeilen 2. Segmentierung einzelner Buchstaben

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Vorwort... V. Symbolverzeichnis... XIII

Inhaltsverzeichnis. Vorwort... V. Symbolverzeichnis... XIII Inhaltsverzeichnis Vorwort................................................................. V Symbolverzeichnis...................................................... XIII Kapitel 1: Einführung......................................................

Mehr

Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme

Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 4. Januar 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung

Mehr

Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme

Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Approximationsalgorithmen für NP-harte Optimierungsprobleme Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 1 / 18 Was tun mit NP-harten Problemen? Viele praxisrelevante

Mehr

Helmut Schauer Educational Engineering Lab Department for Information Technology University of Zurich. Graphen (2)

Helmut Schauer Educational Engineering Lab Department for Information Technology University of Zurich. Graphen (2) Graphen (2) 1 Topologisches Sortieren (1) Die Kanten eines gerichteten zyklenfreien Graphen bilden eine Halbordnung (die Ordnungsrelation ist nur für solche Knoten definiert die am gleichen Pfad liegen).

Mehr

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann

Bäume und Wälder. Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Bäume und Wälder Seminar: Graphentheorie Sommersemester 2015 Dozent: Dr. Thomas Timmermann Ida Feldmann 2-Fach Bachelor Mathematik und Biologie 6. Fachsemester Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1. Bäume

Mehr

Klausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik

Klausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik Klausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik 11.2.2014 Aufgabe 1 [10 Punkte] Sei G ein ungerichteter Graph, k N und x, y, z V (G). Zeigen Sie: Gibt es k paarweise kantendisjunkte x-y-wege und

Mehr

Diskrete und kombinatorische Optimierung

Diskrete und kombinatorische Optimierung Prof. Dr. Gerhard Reinelt Institut für Informatik Mathematikon 1.329 Im Neuenheimer Feld 205 Studieninformation zum Gebiet Diskrete und kombinatorische Optimierung 1. Beschreibung des Gebiets Diskrete

Mehr

Drei Vorlesungen über Bäume

Drei Vorlesungen über Bäume Bäume. Einleitung Drei Vorlesungen über Bäume Jens Vygen Nehmen wir einmal an, für einen neuen Zug wollen wir ein komplett neues Schienennetz bauen, das einige Städte miteinander verbindet. Oder ein neues

Mehr

Isomorphie von Bäumen

Isomorphie von Bäumen Isomorphie von Bäumen Alexandra Weinberger 23. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Grundlagen und Definitionen 2 1.1 Bäume................................. 3 1.2 Isomorphie..............................

Mehr

Hausarbeit aus. Graphentheorie Formale Grundlagen Professor Franz Binder. zum Thema. Herbert Huber k Seite 1 von 21

Hausarbeit aus. Graphentheorie Formale Grundlagen Professor Franz Binder. zum Thema. Herbert Huber k Seite 1 von 21 Hausarbeit aus 368.712 Formale Grundlagen Professor Franz Binder zum Thema Graphentheorie Herbert Huber k0455780 Seite 1 von 21 Inhaltsverzeichnis Graphen Grundlagen und Begriffsdefinitionen...3 Graphenstrukturen...6

Mehr

Graphalgorithmen 2. Dominik Paulus Dominik Paulus Graphalgorithmen / 47

Graphalgorithmen 2. Dominik Paulus Dominik Paulus Graphalgorithmen / 47 Graphalgorithmen Dominik Paulus.0.01 Dominik Paulus Graphalgorithmen.0.01 1 / 7 1 Spannbäume Kruskal Prim Edmonds/Chu-Liu Datenstrukturen Fibonacci-Heap Union/Find Kürzeste Pfade Dijkstra Bellman-Ford

Mehr

8. Hessische Schülerakademie Oberstufe 29. Juli 10. August 2012 Schulpraktikum / Lehrerfortbildung. Dokumentation

8. Hessische Schülerakademie Oberstufe 29. Juli 10. August 2012 Schulpraktikum / Lehrerfortbildung. Dokumentation 8. Hessische Schülerakademie Oberstufe 29. Juli 10. August 2012 Schulpraktikum / Lehrerfortbildung Dokumentation Herausgegeben von: Cynthia Hog-Angeloni, Wolfgang Metzler und Birthe Anne Wiegand Eine Veröffentlichung

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen Der Tragödie IV. Theyl Peter F. Stadler & Konstantin Klemm Bioinformatics Group, Dept. of Computer Science & Interdisciplinary Center for Bioinformatics, University

Mehr

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1

Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung 1 gegebenen Graphen den. Abbildung 1: Graph für Flussproblem in Übungsaufgabe 1 Lösungen zu den Übungsaufgaben im Kapitel 4 des Lehrbuches Operations Research Deterministische Modelle und Methoden von Stephan Dempe und Heiner Schreier Aufgabe 1: Berechnen Sie für den in Abbildung

Mehr

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

Kapitel 5: Minimale spannende Bäume Gliederung der Vorlesung Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe 2. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege. Minimale spannende Bäume. Färbungen und Cliquen. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken

Mehr