Graphentheorie. Vorkurs Informatik WS 2016/2017. Dennis Aumiller

Transkript

1 Vorkurs Informatik WS 2016/2017 Dennis Aumiller

2 Über das Thema Wo alles begann Leider keine gesonderte Vorlesung dafür oft als Teilthema in anderen Vorlesungen erster Kontakt vermutlich in Algorithmen und Datenstrukturen (2. Semester) Enger Zusammenhang mit Optimierung

3 Worum es dabei geht Definition: Die ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Eigenschaften von Graphen und ihre Beziehungen zueinander untersucht. Wo und wann interessiert man sich für die Beziehungen verschiedener Knoten zueinander interessiert?

4 Worum es dabei geht Netzwerke und verteilte Systeme (z.b. Prof. Andrezjak) (Big) Data Analysis / Knowledge Discovery (z.b. Prof. Gertz)

5 Worum es dabei geht Netzwerke und verteilte Systeme (z.b. Prof. Andrezjak) (Big) Data Analysis / Knowledge Discovery (z.b. Prof. Gertz) Optimierungs- und Komplexitätstheorie (z.b. Prof. Merkle)

6 Worum es dabei geht Netzwerke und verteilte Systeme (z.b. Prof. Andrezjak) (Big) Data Analysis / Knowledge Discovery (z.b. Prof. Gertz) Optimierungs- und Komplexitätstheorie (z.b. Prof. Merkle) Bildverarbeitung (z.b. Prof. Jähne)

7 Worum es dabei geht Netzwerke und verteilte Systeme (z.b. Prof. Andrezjak) (Big) Data Analysis / Knowledge Discovery (z.b. Prof. Gertz) Optimierungs- und Komplexitätstheorie (z.b. Prof. Merkle) Bildverarbeitung (z.b. Prof. Jähne)

8 Königsberger Brückenproblem Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben.

9 Graphenräpresentation Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Graphen werden über Knoten und Kanten repräsentiert. Während Knoten üblicherweise Entitäten oder Datenpunkte repräsentieren, stellen Kanten die Beziehung (und ggf. Gewichtung und Richtung der Beziehung) dar.

10 Königsberger Brückenproblem Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Lässt sich nun ein Weg finden, der über jede Brücke führt, ohne dabei eine Brücke mehrmals zu überqueren? Leonhard Euler formulierte 1736 den Beweis, dass dies nicht möglich ist beschreibt eine spezielle Art von zyklischen Graphen Nette Seite hierzu:

11 Königsberger Brückenproblem Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Lässt sich nun ein Weg finden, der über jede Brücke führt, ohne dabei eine Brücke mehrmals zu überqueren? Leonhard Euler formulierte 1736 den Beweis, dass dies nicht möglich ist beschreibt eine spezielle Art von zyklischen Graphen sogenannter Eulerweg Nette Seite hierzu:

12 Königsberger Brückenproblem Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Lässt sich nun ein Weg finden, der über jede Brücke führt, ohne dabei eine Brücke mehrmals zu überqueren? Leonhard Euler formulierte 1736 den Beweis, dass dies nicht möglich ist beschreibt eine spezielle Art von zyklischen Graphen sogenannter Eulerweg Stichwort Eulerkreis Nette Seite hierzu:

13 Königsberger Brückenproblem Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Lässt sich nun ein Weg finden, der über jede Brücke führt, ohne dabei eine Brücke mehrmals zu überqueren? Leonhard Euler formulierte 1736 den Beweis, dass dies nicht möglich ist beschreibt eine spezielle Art von zyklischen Graphen sogenannter Eulerweg Stichwort Eulerkreis Nette Seite hierzu:

14 Definitionen Wo alles begann Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Ein Graph heißt zyklisch, falls es möglich ist,von mindestens einem Knoten zu sich zurückzukehren. Ein Graph besitzt einen Eulerpfad (oder Eulerweg) genau dann, wenn ein Weg existiert, der genau alle Kanten einmal überquert.

15 Definitionen Wo alles begann Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Ein Graph heißt zyklisch, falls es möglich ist,von mindestens einem Knoten zu sich zurückzukehren. Ein Graph besitzt einen Eulerpfad (oder Eulerweg) genau dann, wenn ein Weg existiert, der genau alle Kanten einmal überquert. Ein Eulerweg wird zusätzlich als Eulerkreis bezeichnet, falls dabei Start- und Endknoten identisch sind.

16 Definitionen Wo alles begann Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Ein Graph heißt zyklisch, falls es möglich ist,von mindestens einem Knoten zu sich zurückzukehren. Ein Graph besitzt einen Eulerpfad (oder Eulerweg) genau dann, wenn ein Weg existiert, der genau alle Kanten einmal überquert. Ein Eulerweg wird zusätzlich als Eulerkreis bezeichnet, falls dabei Start- und Endknoten identisch sind.

17 Das Haus des Nikolaus (kein Scherz) Die Königsberger Brücken... und was die mit dem Haus des Nikolaus zu tun haben. Beim Haus des Nikolaus handelt es sich um ein klassisches Graphenproblem. Hierbei gilt es, einen der möglichen Eulerkreise zu finden.

18 How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Angenommen, wir wollen von Frankfurt nach München (das Wikipedia-Beispiel, i m sorry...) Welches ist ein möglicher Weg von F nach M, wenn wir von folgenden möglichen Verbindungen ausgehen?

19 Lösungsansätze? Wo alles begann How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Intuitive Lösungsansätze? Beispielsweise

20 Lösungsansätze? Wo alles begann How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Intuitive Lösungsansätze? Beispielsweise Alle Möglichkeiten durchprobieren.

21 Lösungsansätze? Wo alles begann How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Intuitive Lösungsansätze? Beispielsweise Alle Möglichkeiten durchprobieren. Welche strukturierteren (allgemeiner anwendbaren) Methoden fallen euch sonst ein?

22 Lösungsansätze? Wo alles begann How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Intuitive Lösungsansätze? Beispielsweise Alle Möglichkeiten durchprobieren. Welche strukturierteren (allgemeiner anwendbaren) Methoden fallen euch sonst ein?

23 Gängige Methoden 1: Breitensuche How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Die Breitensuche bildet eine mögliche Lösungsvariante. Der grobe algorithmische Ablauf: 1. Markiere den Startknoten als besuchten Punkt und füge alle Nachbarn einer Liste hinzu 2. Entnimm ein Element aus der Liste Falls es sich dabei bereits um den Zielpunkt handelt, beende den Algorithmus Ansonsten hänge alle seine Nachbarn mit dem Gewicht an die Liste an. 3. Falls die Liste leer ist, war die Suche erfolglos. Ansonsten wiederhole Schritt 2

24 Gängige Methoden 2: Tiefensuche How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Die Tiefensuche ist praktisch das Gegenstück zur Breitensuche: 1. Markiere den Startknoten und füge alle Nachbarn einer Liste hinzu 2. Entnimm ein Element (üblicherweise dasjenige mit der geringsten Entfernung) Füge alle Nachbarn des Nachbarn hinzu (ggf. sortiert) und verfolge den Ansatz rekursiv Falls es sich bei dem Nachbarn um das Ziel handelt, brich ab.

25 So weit, so gut? Wo alles begann How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Wer sieht hierbei ein potenzielles Problem? Wie ließe sich dies vermeiden? Was für Laufzeiten erwartet ihr bei den Algorithmen? Welcher der beiden ist schneller?

26 Was wäre, wenn... Wo alles begann How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze man zusätzlich noch den aktuellen Zwischenstand mitbetrachtet? man zusätzliche Schätzungen/Metainformationen über den verbleibenden Weg mit einbezieht? Um es anders zu formulieren: Was wäre, wenn wir den kürzesten Weg zwischen Frankfurt und München finden wollen?

27 Dijkstra-Algorithmus Wo alles begann How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Nimmt immer den nächstgelegenen Knoten Betrachtet dabei, ob ein Nachbarknoten schon besucht wurde oder ob es sich hierbei um einen kürzeren Pfad handelt Beendet auch nicht sofort, sobald das Ziel gefunden wurde. arbeitet immer die komplette Liste ab

28 Notwendige Folgerungen: How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Der Algorithmus muss nun zusätzlich den Vorgänger zu einem gewissen Knoten speichern, um nicht den Überblick zu verlieren, woher der kürzeste Pfad stammt. Daraus lässt sich dann hinterher der endgültige Pfad rekonstruieren.

29 How, what and when and: for how long? die beiden Grundlagen Fortschrittlichere Ansätze Verwandt mit Dijkstra: Der A*-Algorithmus Man schätzt mit heuristischen Methoden die Restentfernung ab Diese Abschätzung könnte in unserem Beispiel z.b. die Luftlinie zwischen zwei Orten sein. Diese Abschätzung fließt in eine Kostenfunktion ein, die den günstigsten Punkt berechnet.

30 Real-world applications: Coole/Interessante Anwendungen von Image resizing using a graph-based ansatz Pathfinding for artificial intelligences in video games

31 Real-world applications: Coole/Interessante Anwendungen von Image resizing using a graph-based ansatz Pathfinding for artificial intelligences in video games Isolating the Man in the Middle in the Panama Paper leak

32 Real-world applications: Coole/Interessante Anwendungen von Image resizing using a graph-based ansatz Pathfinding for artificial intelligences in video games Isolating the Man in the Middle in the Panama Paper leak Hadoop/Spark: Tools zum Verteilen von riesigen Datenmengen auf scaling Hardware

33 Real-world applications: Coole/Interessante Anwendungen von Image resizing using a graph-based ansatz Pathfinding for artificial intelligences in video games Isolating the Man in the Middle in the Panama Paper leak Hadoop/Spark: Tools zum Verteilen von riesigen Datenmengen auf scaling Hardware client-based distributed ad-hoc networks

34 Real-world applications: Coole/Interessante Anwendungen von Image resizing using a graph-based ansatz Pathfinding for artificial intelligences in video games Isolating the Man in the Middle in the Panama Paper leak Hadoop/Spark: Tools zum Verteilen von riesigen Datenmengen auf scaling Hardware client-based distributed ad-hoc networks

35 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Habt ihr noch Fragen? Dinge, die euch für das Info-Studium unerlässlich erscheinen?

36 Credits Wo alles begann Inhalte der Vorlesung stellt sich aus folgenden Quellen zusammen: Vorkurs Informatik WS2015/2016, credit Lutz Büch Wikipedia bzgl. Definitionen und Graphiken Vorlesung Einführung praktische Informatik (IPI) Vorlesung Algorithmen und Datenstrukturen (IAD)