Mathe & Informatik II

Transkript

1 Mathe & Informatik II Sommersemester 2015 Christoph Minnameier (Work in Progress)

2 Vorlesungsinhalte Graphentheorie Algorithmen & Datenstrukturen Komplexität & Laufzeit

3 Mathe & Informatik I (Jakob) Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Zinsrechnung (Folgen+Reihen) Wdh. Ableitungen Wdh. Grenzwerte Matrizen & Vektoren (Operatoren anwenden) Trigonometrie Binärdarstellung Logik

4 Informatik vs Mathematik Anschauliche Fragestellungen. Umgangssprachlich formuliert. Algorithmen (Dynamik) statt Gleichungen (Statik). Trotzdem präzise Notation erforderlich, z.b. G = (V, E), V Ø, E { (u,v) u,v V, u v }

5 Computer-Netz Gegeben sei ein Computer-Netz. (Ex1) Entferne möglichst viel Kabel (Gesamtlänge), ohne den Zusammenhang zu zerstören. Die Zahlen neben den Kabeln geben deren jeweilige Länge an

6 Computer-Netz Lösung Wie viele (Anzahl!) Kabel werden benutzt? Ist das Zufall? Gib einen Algorithmus an, der das Problem allgemein löst!

7 Computer-Netz Algorithmus von Prim: Markiere zunächst alle Verbindungen als unbenutzt. Wähle immer die billigste, unbenutzte Verbindung, die einen neuen Computer erschließt. - Verständlich, aber nicht sehr präzise formuliert (Graphnotation!) - Geht schnell, auch für große Graphen - Greedy Algorithmus - Beweis, dass man so eine optimale Lösung erhält? - Greedy Ansatz funktioniert nicht für alle Graphenprobleme - Problem heißt Minimum Spanning Tree

8 Nikolaus Kann man das Haus vom Nikolaus am Stück zeichnen? Gib eine möglichst allgemeine Vorschrift dafür an.

9 Königsberger Brückenproblem - Math. Fragestellung des 18. Jh., illustriert am Beispiel der Stadt Königsberg - Existiert eine Spazierroute durch die Stadt, die jede der Brücken genau einmal überquert?

10 Königsberger Brückenproblem - Lösung suchen / Algorithmus suchen - Leider gibt es keine Lösung - Analogie zum Haus vom Nikolaus? - Die gesuchte Route ist ein Eulerweg. - Gegeben sei ein zusammenhängender Graph. Er enthält genau dann einen Eulerweg wenn - er maximal zwei Knoten mit ungeradem Grad enthält. - Test einfacher/schwerer als MinSpanTree? - Beweis der Behauptung? - Abwandlung: Eulerkreis

11 Kürzester Weg Gegeben sei eine Landkarte (Ex2) mit Städten und Verbindungen. Die Zahlen an den Verbindungen geben deren Kosten (Zeit, Benzin, Geld,...) an. Finde einen kürzesten Weg von a nach z. a z b c d e f g h i j k l m n o p q r s t

12 Kürzester Weg Lösung: - Allgemeiner Algorithmus? - Was ist der längste Weg von a nach z? a z b c d e f g h i j k l m n o p q r s t

13 Hamiltonkreis Gegeben sei eine Landkarte mit Städten und Verbindungen. Existiert ein Rundweg, der jede Stadt genau einmal besucht? Lösung: Aber: Es ist kein Algorithmus bekannt, der dieses Problem effizient löst!

14 Unterschiede zw. Problemen Lösungsart: Finde einen Minimum Spanning Tree (L: Kantenmenge) Besitzt der Graph einen Eulerweg (L: Ja/Nein) Schwierigkeit: Triviale Lösungen (Eulerkreis: Knotengrade anschauen) Einfache Lösungen (MinSpanTree: greedy ) Schwerere Lösungen (Kürzester Pfad: nicht-linear) Sehr schwere Lösungen (Hamiltonkreis: exponentiell)

15 Vorbemerkungen Man kann Graphen-Probleme umgangssprachlich formulieren und lösen. Für wissenschaftliche Texte reicht das aber nicht aus. Wir brauchen also eine formale Darstellung für Graphen. Für die Speicherung im Computer sind Texte ungeeignet. Wir brauchen also Datenstruturen, die zur (effizienten) Speicherung von Graphen geeignet sind.

16 Notation Gerichteter Graph Ein Graph besteht aus Knoten (Vertices) und Kanten (Edges): G = (V, E) Name des Graphen Name der Knotenmenge E = { (München, Berlin), (München, Köln), (Düsseldorf, Hamburg) } Name der Kantenmenge Runde Klammern (keine Mengenklammern) weil die Reihenfolge relevant ist. V = { München, Berlin, Hamburg, Köln, Düsseldorf } Mengenklammern (keine runden Klammern) weil die Reihenfolge irrelevant ist. Mengenklammern: Reihenfolge der Kantennennung irrelevant Runde Klammern: Reihenfolge der Städte relevant

17 Übung - Zeichne den auf der letzten Folie gegebenen Graphen. - Notiere die Definition für den Graphen in Exercise 3 (unter

18 Notation ungerichteter Graph Im gerichteten Graphen: es gibt eine Kante von a nach b Schreibweise: (a,b) E, bzw. E = {, (a,b),...} Im ungerichteten Graphen: es gibt eine Kante zwischen a und b Schreibweise: {a,b} E, bzw. E = {, {a,b},...} Beachte: (a,b) (b,a) aber {a,b} = {b,a}

19 Übung Zeichne einen ungerichteten Graphen mit 5 Knoten und 8 Kanten. Leite aus dem Bild die formal korrekte Notation ab.

20 Wiederholung Mengen Eine Menge ist eine Sammlung von Elementen, deren Reihenfolge irrelevant ist. Beispiel: Wer ist im Zimmer? Mark, Peter und Tine. Personen = { Mark, Peter, Tine } Reihenfolge ist irrelvant: { Mark, Peter, Tine } = { Peter, Tine, Mark } Mehrfachnennungen sind nicht möglich: { Mark, Mark, Peter } = { Mark, Peter } Ø ist das Symbol für die leere Menge.

21 Tupel Ein Tupel ist eine Anordnung von Elementen aus einer Menge M. Beispiel mit M = { Tine, Peter, Mark }: In welcher Reihenfolge haben sie sich heute gemeldet? Antwort: (Tine, Peter, Mark). Reihenfolge ist relevant: (Tine, Peter, Mark) (Mark, Peter, Tine) Mehrfachnennungen sind möglich: (Tine, Tine, Peter) (Tine, Peter) Ein Tupel mit n Elementen nennt man n-tupel. Ein 2-Tupel nennt man Paar.

22 Notation gerichtet vs ungerichtet Gerichter Graph: G = (V, E), V Ø, E { (u,v) u,v V, u v } Wir verbieten Graphen ohne Knoten. Ungerichteter Graph: E ist eine Teilmenge von u und v sind aus V, aber u ist nicht gleich v Der Menge aller Paare (u,v) für die gilt.. G = (V, E), V Ø, E { {u,v} u,v V, u v }

23 Übung Was würde passieren, wenn man die letzte Bedingung in der Definition von gerichteten Graphen, nämlich, u v } weglassen würde? Definiere einen Graphen der dieser Bedingung widerspricht und zeichne ihn. Für V = {1,2,3} schreibe folgende Mengen aus: i. { (u,v) u,v V, u v } ii. { {u,v} u,v V, u v } iii. { (u,v) u,v V } iv. { {u,v} u,v V }

24 Übung Gegeben sei ein gerichteter Graph G mit n Knoten. Wie viele Kanten hat G maximal? (Achtung: Eine Kante, die in unseren Schaubildern Pfeile in beide Richtungen hatte, entspricht 2 Kanten!) Gegeben sei ein ungerichteter Graph G mit n Knoten. Wie viele Kanten hat G maximal? Kommt dir die Formel aus der vorigen Aufgabe bekannt vor? Zeichne einen ungerichteten Graphen in dem e f genau 1 Knoten ungeraden Grad hat. (Beweis?) Finde anhand des folgenden Graphen eine Vorschrift für die Konstruktion eines Eulerwegs. a b c d

25 Beweis Behauptung: Es existiert kein ungerichteter Graph, in dem genau ein Knoten einen ungeraden Grad hat. Wir beweisen stattdessen die Aussage: Die Summe der Grade in einem ungerichteten Graphen ist stets gerade. Jede Kante e E hat erhöht den Grad ihrer zwei Endknoten um 1. Damit erhöht jede Kante die Summe der Grade aller Knoten um 2. Die Summe der Grade aller Knoten ist also 2 Anzahl der Kanten (2 E ) und damit gerade. In einem ungerichteten Graphen, in dem genau ein Knoten ungeraden Grad hat, wäre die Summe der Grad aber ungerade. Ein solcher Graph existiert also nicht.

26 Wiederholung Mengen M, genannt Betrag oder Mächtigkeit einer Menge M, bezeichnet die Anzahl der Elemente in M. M N (lies: M vereinigt mit N) ist definiert als M N = { x x M x N } M N (lies: M ist Teilmenge von N) gilt, gdw. x M x N P(M) (lies: Potenzmenge von M) ist definiert als P(M) = { N N M }

27 Übungen Beweise oder widerlege: M + N = M N Sei M = {1,2,3,4}. Notiere P(M). Gegeben sei M mit M = k. Bestimme P(M). Gegeben sei eine Knotenmenge V. Wie viele gerichtete Graphen gibt es auf V? Wie viele ungerichtete Graphen gibt es auf V?

28 Def. Kantengewichteter Graph Ein kantengewichteter Graph G ist ein Triple G = (V, E, w) mit V, E wie bisher und einer Abbildung w: E R +. Der Graph wird also ergänzt um eine Funktion w (weight), die jeder Kante e eine positive reelle Zahl zuordnet, nämlich ihr Gewicht w(e).

29 Dijkstra Schlage den Dijkstra-Algorithmus auf Wikipedia nach: Pseudocode lesen Beispiel verstehen Vollziehe den Algorithmus an Ex 2 (Shortest Paths) nach. Erstelle Distanzen und Vorgänger Gib den kürzesten Weg zum Knoten m an.

30 Dijkstra umgangssprachlich 1. Speichere für jeden Knoten 3 Werte Distanz und Vorgänger und besucht. Initialisiere die Distanz im Startknoten mit 0 und in allen anderen Knoten mit. 2. Solange es noch unbesuchte Knoten gibt, wähle darunter denjenigen mit minimaler Distanz aus und a. markiere diesen aktuellen Knoten als besucht b. für jeden seiner unbesuchten Nachbarknoten i. berechne die Summe aus dem Kantengewicht und der Distanz des aktuellen Knotens. ii. falls diese Summe kleiner ist als die dort gespeicherte Distanz, aktualisiere sie und setze den aktuellen Knoten als Vorgänger. Falls die Distanz zu einem gewissen Knoten gesucht ist, brich ab, sobald dieser der aktuelle (bei 2.) ist.

31 Graphen durchlaufen Gegeben sei G = (V,E), ungerichtet (aber nicht zwingend zusammenhängend) und zwei Knoten s, t V. a b c i j s d e k l t f g h m n Wir wollen wissen, ob ein Weg von s nach t (bzw. zwischen s und t) existiert.

32 Graphen durchlaufen Idee: Wir beginnen mit dem Knoten s. Wenn s = t ist, sind wir fertig. Wenn nicht, schauen wir uns alle Nachbarn von s an. (Falls einer davon t ist, sind wir fertig.) Wenn nicht, speichern wir uns die Nachbarn ab *. Als nächstes machen wir das oben stehende für die abgespeicherten Knoten. Teste den Algorithmus am Graphen der letzten Folie ohne gestrichelte Knoten und Kanten. Welches Problem tritt auf?

33 Graphen durchlaufen Korrektur: Wir beginnen mit dem Knoten s und markieren s als besucht. Wenn s = t ist, sind wir fertig. Wenn nicht, schauen wir uns alle Nachbarn von s an. (Falls einer davon t ist, sind wir fertig.) Wenn nicht, speichern wir uns die unbesuchten Nachbarn ab *. Als nächstes machen wir das oben stehende für die abgespeicherten Knoten. * Wie verarbeitest du die unbesuchten Nachbarn? First-in-first-out? Oder Last-in-first-out? Versuche verbal auszudrücken, wie sich die Entscheidung auswirkt.

34 LIFO vs FIFO Wenn wir die Knoten nach dem Prinzip last-in-first-out abarbeiten (wie bei einem Stapel ), dann suchen wir in die Tiefe. Wir nennen diese Art der Suche daher Tiefensuche. Wenn wir die Knoten nach dem Prinzip first-in-first-out abarbeiten (wie bei einer Warteschlange ), dann suchebn wir in die Breite. Wir nennen diese Art der Suche daher Breitensuche.

35 Minimale Kantendistanz Wir wollen nun nicht nur wissen, ob ein Weg zwischen s und t existiert, sondern auch, wie viele Kanten ein kürzester Weg benutzt. Das Einfügen eines kleinen Zwischenschritts in unseren bisherigen Algorithmus reicht aus, um diese Distanz zu ermitteln. (Sofern wir die richtige Wahl bei der Verwaltung der unbesuchten Knoten: FIFO vs LIFO treffen). Überlege, wie der Zwischenschritt aussehen könnte und welches Prinzip (FIFO vs LIFO) benutzt werden muss.

36 Minimale Kantendistanz Lösung: Wir tragen in s Distanz 0 und in alle anderen Knoten ein. Wenn s = t ist, sind wir fertig. Wenn nicht, schauen wir uns alle Nachbarn von s an. Wir ignorieren alle Nachbarn die bereits eine Distanz < haben. In alle anderen tragen wir Distanz von s + 1 ein und fügen sie hinten an die Warteschlange an. Solange die Warteschlange nicht leer ist, nimm den ersten Knoten weg und verfahre mit ihm wie mit s. Brich ab, wenn t gefunden wurde, die Distanz in t ist dann minimal.

37 Minimale Kantendistanz Bereinigt: Wir tragen in s Distanz 0 und in alle anderen Knoten ein. Wir erstellen eine Warteschlange queue und fügen s hinzu. Solange queue nicht leer ist: Entferne den ersten Knoten v aus queue Falls v = t, brich ab. Für alle Nachbarn n von v Falls Distanz(n) <, ignoriere n. Ansonsten trage Distanz(v)+1 für n ein und füge n zu queue hinzu. Wie kann man anhand der Distanzen einen kürzesten Weg ermitteln?

38 Breitensuche Schlage den Breitensuche-Algorithmus auf Wikipedia nach: Pseudocode lesen Beispiel verstehen Vollziehe den Algorithmus an Ex? () nach. Erstelle Distanzen und Vorgänger Gib den kürzesten Weg zum Knoten? an.

39 Breitensuche vs Dijkstra Dijkstra unterscheidet sich von Breitensuche in zwei Punkten: a. Wir machen uns nicht die Mühe, den Knoten mit der geringsten Distanz auszuwählen, sondern nehmen den ersten aus der Warteschlange. b. In der Breitensuche verzichten wir darauf, neue Distanzen zu vergleichen. Nur wenn die bisherige Distanz = ist, tragen wir die neue Distanz (und betrachten sie danach nie wieder). Begründe diese Unterschiede schriftlich, jeweils mit 1-2 Sätzen (und ohne Rücksprache mit Sitznachbarn).

40 Komplexität / Laufzeitanalyse Szenario: Gegeben sei ein Spiel mit Grid. (Schwarze Felder sind nicht begehbar). Ein KI-Agent sucht den Weg zum Spieler. (z.b. für einen Nahkampfangriff.) Wie lange darf der Algorithmus höchstens laufen (in Sekunden)? Was passiert, wenn wir das Board vergrößern (z.b statt Felder)? Wie reagiert ein Algorithmus auf diese (100 mal so große) Eingabe?

41 Komplexität / Laufzeitanalyse Gegeben sei ein Algorithmus, der eine Eingabe der Größe n (zum Beispiel einen Graphen mit V = n) erhält: void AnalyseMe(...) { for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) print(i*j); // << platzhalter für sinnvollen code } Wie oft wird print(...) aufgerufen?

42 Übung Gib die Anzahl der print-aufrufe (abhängig von n) für folgende Codefragemente an: a) for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < 30; j++) print ( a ); c) for (int i = 0; i < 50; i++) for (int j = 0; j < 50; j++) print ( c ); b) for (int i = 0; i <= n; i++) for (int j = 0; j <= n; j++) for (int k = 0; k <= n; k++) print ( d ): d) for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = i+1; j < n; j++) print ( b ): Vergleiche alle diese Laufzeiten (und die Laufzeit n 2 der letzten Folie), einmal für n = 10 und einmal für n = 5000.

43 Fazit Für kleine Eingaben sind (fast) alle Algorithmen unproblematisch. Für große Eingaben verlieren Konstanten (selbst als Faktor) zunehmend an Bedeutung. Deshalb sprechen wir von linearen, quadratischen, etc. Laufzeiten, ohne dabei konstante Faktoren oder Summanden geringeren Grades zu erwähnen. Wir führen die O-Notation (eine der Landau-Notationen) ein, um diese Beobachtung formal eindeutig festzuhalten.

44 O-Notation Für eine Funktion f(n) definieren wir: O(f(n)) = { g(n) n 0 Ν, c R: n > n 0 g(n) c f(n) } O(f(n)) ist also eine Menge von Funktionen. Eine Funktion g(n) gehört zu dieser Menge gdw. es einen konstanten Faktor c gibt, und eine Zahl n 0, so dass für alle Werte ab n 0 der Wert von g(n) kleiner gleich c mal f(n) ist.

45 O-Notation Beispiel: Sei f(n) = 2n 2 und g(n) = n. Dann gilt sowieso grundsätzlich: g(n) f(n). Oder formaler: n Ν g(n) = n 2n 2 = f(n) Wir brauchen hier weder n 0 noch c. Es gilt aber insbesondere mit n 0 = 0 und c = 1: n > n 0 gilt g(n) c f(n). Damit gilt also g(n) O(f(n))

46 O-Notation Beispiel: Sei f(n) = 2n 2 und g(n) = 5n. Dann gilt nicht grundsätzlich: g(n) f(n): Zum Beispiel gilt für n = 2: g(n) = 10 8 = f(n). Allerdings gilt bereits für alle n > 2: g(n) f(n). Für n = 3,4,5,etc. ergibt sich 15 18, 20 32, 25 50, etc.. Den Beweis verschieben wir auf später, aber wir halten fest: Es gilt (mit n 0 = 2 und c = 1): n > n 0 g(n) c f(n), also g(n) O(f(n)).

47 O-Notation Beispiel: Sei f(n) = n 2 und g(n) = 2n 2. Dann gilt nicht grundsätzlich: g(n) f(n): Es gilt sogar niemals (außer für n = 0). Wenn wir aber c = 2 (oder größer) wählen, gilt: g(n) c f(n) und das unabhängig von n. Also für n 0 = 0 und c = 2: n > n 0 g(n) c f(n), also g(n) O(f(n)).

48 O-Notation Die O-Notation zielt darauf ab, z.b. alle quadratischen Polynome (2n 2 + 3n + 5) in die gleiche Komplexitätsklasse, nämlich O(n 2 ) fallen zu lassen.

49 O-Notation Beispiel: Sei g(n) = 2n 2 + n + 5 und f(n) = n 2. Wir wollen zeigen: g(n) O(n 2 ). Beweis: g(n) = 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 + n 2 4 n 2 c f(n) für c = 4 für n > 2 Die Ungleichungskette beweist die Behauptung mit n 0 = 2 und c = 4.

50 O-Notation Überlege ob n 3 O(n 2 ) gilt. Existiert ein n 0 N und ein c R, so dass n > n 0 gilt: n 3 c n 2 Nein, denn die Terme unterscheiden sich nur in c und n wie folgt: n n 2 c n 2 Ganz egal, wie groß wir c auch wählen und egal wie wir n 0 wählen, wir finden ein (großes) n, das die Ungleichhung ungültig macht: Nämlich zum Beispiel n = max(n 0 +1, c+1). Es gilt also n 3 O(n 2 ).

51 O-Notation Die O-Notation zielt darauf ab, z.b. alle quadratischen Polynome (2n 2 + 3n + 5) in die gleiche Komplexitätsklasse, nämlich O(n 2 ) fallen zu lassen, Polynome höheren Grades jedoch nicht!

52 Übung Schreibe eine Funktion void Test(int n) die genau 2n 2 + n + 5 mal print( hallo ) aufruft. (Ohne Multiplikation oder Addition zu benutzen!) Beweise: 2n+8 O(n) Beweise: 2n+8 O(n 2 ) Beweise: 5n 3 +3n 2 +8n+3 O(n 4 ) Beweise: n 2 O(n) Gib die Laufzeit der Algorithmen aus der letzten Übung in O- Notation an.

53 Übung: Suchen im Array Gegeben: integer-array der Länge n (z.b. [8, 15, 3, 6, 9]) Gesucht: Algorithmus, der für einen Eingabewert w feststellt, an welcher Stelle im Array (Index) w steht. 1. Formuliere einen (einfachen) Algorithmus in Pseudocode. 2. Implementiere und teste ihn in Processing. 3. Ermittle die Laufzeit deines Algorithmus in O-Notation.

54 Übung: Suchen im Array int[] zahlen = { 18,5,23,3,40,9,19,65 }; void setup() { println(getindexof(zahlen, 9)); } int GetIndexOf(int[] _zahlenarray, int _eintrag) { for (int index = 0; index < _zahlenarray.length; index++) if (_zahlenarray[index] == _eintrag) return index; return -1; } Explizite Laufzeit ~ 3n. Asymptotische Laufzeit: O(n)

55 Übung: Array sortieren Gegeben: integer-array der Länge n (z.b. [8, 15, 3, 6, 9]) Gesucht: Algorithmus, der das Array aufsteigend sortiert. 1. Formuliere einen (einfachen) Algorithmus in Pseudocode. 2. Implementiere und teste ihn in Processing. 3. Ermittle die Laufzeit deines Algorithmus zuerst explizit und dann vereinfacht in O-Notation.

56 Übung: Array sortieren void sort(int[] _zahlen) { for (int links = 0; links< _zahlen.length; links++) for (int rechts = links+1; rechts < _zahlen.length; rechts++) if (_zahlen[links] > _zahlen[rechts]) { int temp = _zahlen[links]; _zahlen[links] = _zahlen[rechts]; _zahlen[rechts] = temp; } } Bubblesort! Laufzeit explizit ~4(n(n+1)/2), asymptotisch O(n²).

57 Übung: Suchen im sort. Array Wie suchst du im Telefonbuch nach dem Namen Wright? Eine einfachere Variante dieser interpolierten Suche ist die binäre Suche : Gegeben sei ein sortieres Feld der Länge n, gesucht der Index eines Wertes w. Berechne den mittleren Index i des verbleibenden Suchfelds. (Zu Beginn ist i = n/2, evtl. gerundet.) Vergleiche den Eintrag A[i] mit w. Falls A[i] == w, gib i zurück. Falls A[i] > w wähle A[0..i-1] als verbleibendes Suchfeld. Falls A[i] < w wähle A[i+1..n] als verbleibendes Suchfeld. Binäre Suche! Asymptotische Laufzeit O(log(n)). Keine einfache Analyse!

58 Binäre Suche int GetIndexOf(int[] _zahlenarray, int _eintrag) { int links = 0; int rechts = _zahlenarray.length; while (links <= rechts) { int mitte = (int)((links+rechts)/2); if (_zahlenarray[mitte] == _eintrag) return mitte; else { if (_zahlenarray[mitte] > _eintrag) rechts = mitte-1; else links = mitte+1; } } } return -1;

59 Übung Ermittle die Laufzeit von Breitensuche explizit und in O-Notation. (Als variable Eingabegröße kann V herangezogen werden.) Ermittle die Laufzeit des Algorithmus, der prüft, ob ein Graph einen Eulerweg enthält, explizit und in O-Notation.

60 Hinweise Tatsächlich ist auch praktisch die asymptotische Komplexität relevant. Allerdings gibt es andere praktisch relevante Aspekte (ohne Anspruch auf Vollständigkeit): Werden Objekte by value übergeben oder by reference? Werden bei Rückgabewerten von Funktionen temporäre Objekte erzeugt? Werden zusammenhängende Speicherbereiche (Arrays) oder unzusammenhängende (Listen) benutzt? (Relevant wegen Caching ) Werden viele virtuelle Methoden aufgerufen? Nutze inline -Funktionen

61 Datenstrukturen für Graphen Wie können wir einen kantengewichteten, gerichteten Graphen G = (V, E, w) im Computer darstellen? Die Namen der Knoten werden als { 1,2,3,, n} angenommen, also als aufsteigende Reihe natürlicher Zahlen. Eine einfache und naheliegende Möglichkeit, die Kanten zu speichern ist ein 2-d int Array A A[i, j] gibt dabei weight(i,j) an Für (i, j) E, trage A[i, j] = -1 ein. A heißt Adjazenzmatrix

62 Adjazenmatrix Warum ist es legitim, als Knotenmenge { 1,2,3,...,n } anzunehmen? Wie würde man eine Landkarte wie im Dijkstra- Beispiel handhaben? Welche Datenstruktur verwenden wir für Graphen ohne Kantengewichte? Wie handhaben wir ungerichtete Graphen?

63 Datenstrukturen für Graphen Die gleiche Datenstruktur lässt sich auch für ungerichtete Graphen verwenden. Es ist sinnvoll, dann nur eine Hälfte der Matrix zu benutzen Für Graphen ohne Kantengewichte verwenden wir statt eines int-arrays ein 3 2 bool-array. 4

64 Speicherbedarf Eine Adjazenzmatrix, im Computer gespeichert als 2D- Array, benötigt V 2 Speichereinträge. Für Graphen mit vielen Knoten und vergleichsweise wenig Kanten (sog. lichte Graphen) ist das inperformant! Für solche Fälle wären andere Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen vorzuziehen.

65 Zeitkomplexität Gegeben sei ein ungerichteter Graph mit V = { 1,, n }. Die Kantenmenge E sei im Computer durch eine redundante * Adjazenzmatrix A repräsentiert. Formuliere eine Funktion bool EulerwegTest (Matrix A) und analysiere ihre Laufzeit explizit und in O-Notation. Implementiere die Funktion in Processing und teste sie an einem Beispiel. Zähle die Rechenschritte im Code mit und vergleiche die Anzahl mit deiner expliziten Formel. Formuliere eine Funktion int Breitensuche(Matrix A, int startindex, int endindex) und analysiere ihre Laufzeit explizit und in O-Notation.