Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität

Transkript

1 Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1

2 Klausur Wichtige Hinweise: , Beginn 9 Uhr Bitte spätestens 8:4 Uhr vor Ort sein Sporthalle + Audimax Informationen zur Aufteilung werden auf der Homepage der Vorlesung bekannt gegeben Zeit bis ca. 12:0 Uhr 2

3 Klausur Lernziele: Verständnis grundlegender Algorithmen Laufzeitanalyse Korrektheitsbeweise Algorithmische Entwurfsmethoden verstehen und anwenden: - Divide & Conquer - gierige Algorithmen - dynamische Programmierung Entwurf von Datenstrukturen

4 Klausur Vorbereitung: Algorithmen aus der Vorlesung verstehen und anwenden können Korrektheitsbeweise verstehen (hier können die beiden Lehrbücher besonders helfen, weil sie unterschiedlich an die Probleme herangehen) Algorithmische Techniken anwenden (Probeklausure, alte Klausuren, Übungsaufgaben, Aufgaben in Lehrbüchern, ) 4

5 Wiederholung

6 Algorithmenentwurf Anforderungen: Korrektheit Effizienz (Laufzeit, Speicherplatz) Entwurf: 1. Beschreibung des Algorithmus/der Datenstruktur 2. Korrektheitsbeweis. Analyse von Laufzeit und Speicherplatz 6

7 Laufzeit Maschinenmodell: Eine Pseudocode-Instruktion braucht einen Zeitschritt Wird eine Instruktion r-mal aufgerufen, werden r Zeitschritte benötigt Formales Modell: Random Access Machines (RAM Modell) Idee: Ignoriere rechnerabhängige Konstanten Sei T(n) Laufzeit für Eingabegröße n Betrachte Wachstum von T(n) für n Asymptotische Analyse 7

8 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen 8

9 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren):

10 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt 1: Aufteilen der Eingabe

11 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt 2: Rekursiv das Problem lösen

12 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

13 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): 4 Schritt : Zusammenfügen

14 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): 4 Schritt : Zusammenfügen

15 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): 4 6 Schritt : Zusammenfügen

16 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): 4 6 Schritt : Zusammenfügen

17 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

18 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

19 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

20 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

21 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

22 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

23 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

24 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

25 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

26 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Beispiel (Sortieren): Schritt : Zusammenfügen

27 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche (Divide & Conquer): Teile Eingabe in mehrere Teile auf Löse das Problem rekursiv auf den Teilen Füge die Teillösungen zu einer Gesamtlösung zusammen Wichtig: Benötigen Rekursionsabbruch! Sortieren: Folgen der Länge 1 sind sortiert 27

28 Das Teile & Herrsche-Prinzip Teile & Herrsche Algorithmen: MergeSort Binäre Suche Integer Multiplikation Matrix Multiplikation Nächste Paare Unterschiede: Anzahl der Unterprobleme Größe der Unterprobleme Zeit für Zusammenfügen der Unterprobleme 28

29 Stand der Dinge Laufzeiten der Form: T(n) = a T(n/b) + f(n) Anzahl Unterprobleme Aufwand für Aufteilen und Zusammenfügen Größe der Unterprobleme (bestimmt Höhe des Rekursionsbaums) 29

30 Master Theorem Analyse: Setze a f(n/b) = c f(n) Fall 1: c<1 n f(n) n/b n/b n/b a f(n/b) h h a Θ(1) Höhe des Baums: h = log n b Θ(f(n)) 0

31 Master Theorem Analyse: Setze a f(n/b) = c f(n) Fall 1: c=1 n f(n) n/b n/b n/b a f(n/b) h h a Θ(1) Höhe des Baums: h = log n b Θ(f(n) log n) 1

32 Master Theorem Analyse: Setze a f(n/b) = c f(n) Fall 1: c>1 n f(n) n/b n/b n/b a f(n/b) h h a Θ(1) Höhe des Baums: h = log n b Θ(a log bn ) 2

33 Master Theorem Analyse: Setze a f(n/b) = c f(n) Formale Analyse mit Iterationsoder Substitutionsmethode n f(n) n/b n/b n/b a f(n/b) h h a Θ(1) Höhe des Baums: h = log n b Θ(a log bn )

34 Gierige Algorithmen Prinzip: Konstruiere Lösung Schritt für Schritt In jedem Schritt: Optimiere ein einfaches, lokales Kriterium Beobachtung: Man kann viele unterschiedliche gierige Algorithmen für ein Problem entwickeln Nicht jeder dieser Algorithmen löst das Problem korrekt 4

35 Gierige Algorithmen Interval Scheduling: Ressource (Hörsaal, Parallelrechner, Elektronenmikroskop,..) Anfragen: Kann ich die Ressource für den Zeitraum (t 1,t 2) nutzen? Ziel: Möglichst viele Anfragen erfüllen

36 Gierige Algorithmen Worauf muss man achten? Resource muss möglichst früh wieder frei werden! Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frühesten fertig ist. 6

37 Gierige Algorithmen Worauf muss man achten? Resource muss möglichst früh wieder frei werden! Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frühesten fertig ist. 7

38 Gierige Algorithmen Worauf muss man achten? Resource muss möglichst früh wieder frei werden! Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frühesten fertig ist. 8

39 Gierige Algorithmen Worauf muss man achten? Resource muss möglichst früh wieder frei werden! Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frühesten fertig ist. 9

40 Gierige Algorithmen Worauf muss man achten? Resource muss möglichst früh wieder frei werden! Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frühesten fertig ist. 40

41 Gierige Algorithmen Worauf muss man achten? Resource muss möglichst früh wieder frei werden! Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frühesten fertig ist. 41

42 Gierige Algorithmen Worauf muss man achten? Resource muss möglichst früh wieder frei werden! Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frühesten fertig ist. 42

43 Gierige Algorithmen Worauf muss man achten? Resource muss möglichst früh wieder frei werden! Neue Strategie: Nimm die Anfrage, die am frühesten fertig ist. 4

44 Gierige Algorithmen Gierige Algorithmen: Interval Scheduling Probleme Huffman Codes Dijkstras kürzeste Wege Algorithmus Minimale Spannbäume (Kruskal und Prim) 44

45 Dynamische Programmierung Rekursiver Ansatz: Lösen eines Problems durch Lösen mehrerer kleinerer Teilprobleme, aus denen sich die Lösung für das Ausgangsproblem zusammensetzt Phänomen: Mehrfachberechnungen von Lösungen Methode: Lösungen zu Teilproblemen werden iterativ beginnend mit den Lösungen der kleinsten Teilprobleme berechnet (bottom-up). Speichern einmal berechneter Lösungen in einer Tabelle 4

46 Dynamische Programmierung Subset Sum (Entscheidungsvariante): Eingabe: Menge X mit n pos. Integers und ein Zielwert W Ausgabe: true, wenn es Menge S X mit Σ x = W gibt x S false, sonst 46

47 Dynamische Programmierung IterativeSubsetSum(X,W) 1. n length[a] 2. A[0] true. for i 1 to W do 4. A[i] false. for j 1 to n do 6. for i W downto 0 do 7. if A[i]=true then A[i+X[j]] true 8. return A[W] 47

48 Dynamische Programmierung Algorithmen: Längste gemeinsame Teilfolge Subset Sum Rucksackproblem Bellman-Ford (SSSP) Floyd-Warshall (APSP) Wichtigster Schritt: Rekursion aufstellen 48

49 Datenstrukturen Problem: Gegeben sind n Objekte O 1,.., O nmit zugehörigen Schlüsseln s(o ) Operationen: i Suche(x); Ausgabe O mit Schlüssel s(o) =x; nil, falls kein Objekt mit Schlüssel x in Datenbank Einfügen(O); Einfügen von Objekt O in Datenbank Löschen(O); Löschen von Objekt O mit aus der Datenbank 49

50 Datenstrukturen AVL-Bäume Ein Baum heißt AVL-Baum, wenn für jeden Knoten gilt: Die Höhe seines linken und rechten Teilbaums unterscheidet sich höchstens um 1. 0

51 Datenstrukturen Rotationen: y x x Rechtsrotation(T,y) y C Linksrotation(T,x) A A B B C 1

52 Datenstrukturen Datenstrukturen: Felder, Listen, Schlangen, Suchbäume AVL-Bäume Hash Tabellen Halden Union-Find Algorithmen mit Datenstrukturen: Heapsort Graphenalgorithmen 2

53 Graphalgorithmen Definition Ein Graph G ist ein Paar (V,E). V heißt Knotenmenge und E V V Kantenmenge des Graphen. Darstellung von Graphen Adjazenzlisten (dünne Graphen, E << V ²) Adjazenzmatrix (dichte Graphen, E nah an V ²) Arten von Graphen Ungerichtet, gerichtet Ungewichtet, gewichtet

54 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

55 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

56 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

57 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

58 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

59 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

60 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

61 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

62 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

63 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

64 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

65 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

66 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

67 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

68 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

69 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

70 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

71 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

72 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

73 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

74 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

75 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

76 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

77 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

78 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

79 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

80 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

81 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

82 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

83 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

84 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

85 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

86 Graphalgorithmen Kruskal(G) 1. A 2. Sortiere Kanten nach Gewicht. for each (u,v) E geordnet nach aufsteigendem Gewicht do 4. if u und v sind nicht in der selben Zusammenhangskomponente in Graph H=(V,A) then. A A {(u,v)} 6. return A

87 Graphalgorithmen Algorithmen: Breitensuche Tiefensuche Dijkstras kürzeste Wege Bellman-Ford kürzeste Wege Floyd-Warshall (all pairs kürzeste Wege) Minimale Spannbäume (Kruskal) Minimale Spannbäume (Prim) Transitive Hülle 87

88 Viel Erfolg bei der Klausur und schöne Semeserferien! 88