Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin

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1 Departement Mathematik und Informatik Algorithmen und Datenstrukturen, FS17 Prof Dr Christian Tschudin 12. April 2017 Union-Find Datenstruktur Graphen I Robert E. Tarjan Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Uebersicht Union-Find Datenstruktur (als Vorbereitung Graphen-Algorithmen) Graphen I: Definitionen Tiefen- und Breitensuche

2 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find Datenstruktur (1/13) In einem Graph: Miteinander verbunden sein ist eine Aequivalenzrelation. Definition a) Reflexiv: p ist mit p verbunden. b) Symmetrisch: Falls p mit q verbunden ist, dann ist auch q mit p verbunden. c) Transitiv: Falls p mit q verbunden ist und q mit r, dann ist p mit r verbunden. Eine Aequivalenzrelation partitioniert eine Objektmenge in Aequivalenzklassen: hier Graphen-Komponenten. Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find Datenstruktur (2a/13) Wie viele Partitionen/Komponenten hat dieser Graph?

3 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find Datenstruktur (2b/13) Wie viele Partitionen/Komponenten hat dieser Graph? Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (3/13) Aufgabestellung: Datenstruktur bereitstellen, mit der effizient festgestellt werden kann, ob zwei Punkte miteinander verbunden sind Formulierung als Filter: Jedes neue Punkte-Paar nur dann ausgeben, wenn sie nicht miteinander verbunden sind.

4 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (4/13) Anwendungen Bestimmung der Graphen-Komponenten in der Informatik: Netzwerke: soziale NW: sind zwei Personen verbunden? elektrisch: Leitung zwischen zwei Punkten? Internet: können zwei Knoten kommunizieren? Programmiersprachen, wo Aequivalenz von zwei Variablennamen deklariert werden kann: Nach einer Abfolgen von mehreren Deklarationen, sind zwei gegebene Namen äquivalenz? Mathematische Mengen Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (5/13) Abstrakter Datentyp (ADT) für Union-Find Datenstruktur: 1 public class UF { 2 UF(int N) // initialisiere für N Objekte 3 // mit "Namen" 0 bis N-1 4 void union(int p, int q) // füge Verbindung von p zu q hinzu 5 int find(int p) // in welcher Komponente ist p? 6 boolean connected(int p, int q) // "wahr" falls p und q in 7 // der gleichen Komponente sind 8 int count() // Anzahl gefundener Komponenten 9 } Wir bauen UF dynamisch auf: Anfänglich N Komponenten Punktepaare werden inkrementell dazugegeben, gegebenfalls zwei Komponenten vereint union() Jede Komponente hat einen Namen find()

5 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (6/13) Kern der (ersten) Implementierung(en) ist int id[]: in welche Komponente fällt ein Punkt mit Namen i? Initialisierung mit id[i] = i; (anfänglich N Komponenten) union() muss dieses Feld nachführen Vier immer besser werdende union() Versionen: quick-find quick-union (Wald von Bäumen) weighted quick-union weighted quick-union mit Pfad-Kompression Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (7/13): Quick-Find 1 public int find(int p) { 2 return id[p]; 3 } 4 5 public void union(int p, int q) { 6 // versorgt p und q in selbe Komponente 7 int pid = find(p); 8 int qid = find(q); 9 // nichts zu tun fall schon in selber Komponente 10 if (pid == qid) 11 return; 12 // Die Komponente von p wird mit derjenigen von q vereint: 13 for (int i = 0; i < id.length; i++) 14 if (id[i] == pid) 15 id[i] = qid; 16 count--; // nun eine Komponente weniger 17 }

6 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (8/13): Quick-Find Laufzeit von Quick-Find union() braucht zwischen N + 3 und 2N + 1 Zugriffe auf id[] falls vereint wird. Wird der UF ADT dynamisch aufgebaut (ein Punktepaar nach dem anderen einbauen), führt dies zu O(n 2 ). Wäre in der Praxis unbrauchbar für grössere N. Ziel: lineare Laufzeit d.h. konstante Zeit für union()! Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (9/13): Quick-Union Neuinterpretation von id[]: Eintrag zeigt auf anderen Komponentenname, oder sich selbst. 1 private int find(int p) { 2 // finde Komponenten-Name 3 while (p!= id[p]) 4 p = id[p]; 5 return p; 6 } 7 8 public void union(int p, int q) { 9 // "setze" p und q auf die gleiche Wurzel 10 int proot = find(p); 11 int qroot = find(q); 12 if (proot == qroot) 13 return; 14 id[proot] = qroot; 15 count--; // nun eine Komponente weniger 16 }

7 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (10/13): Quick-Union Laufzeit von Quick-Union Wald von Bäumen Jeder Baum eine Komponente Wurzel ist Name der Komponente Mehr Aufwand in find(): Den Elternknoten folgen bis Wurzel gefunden ist Weniger Aufwand für union(): blosses Umhängen einer der Wurzeln statt Nachtragen von jedem Element der Komp. Komplexität von find(): hängt von der Baumhöhe ab! schlimmstenfalls O(n), union() bleibt quadratisch :-( Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 UF (11/13): Weighted Quick-Union Idee: Den leichteren Baum umhängen um Gesamtbaumhöhe möglichst klein zu halten. Braucht neu Gewicht eines Baumes (nur im Wurzelknoten nachgeführt), in sz[] 1 // während Initialisierung: 2 sz = new int[n]; 3 for (int i = 0; i < N; i++) 4 sz[i] = 1; 5 6 public void union(int p, int q) { 7 // "setze" p und q auf die gleiche Wurzel 8 int i = find(p); 9 int j = find(q); 10 if (i == j) return; 11 // hänge leichteren Baum an den schweren: 12 if (sz[i] < sz[j]) { 13 id[i] = j; 14 sz[j] += sz[i]; 15 } else { 16 id[j] = i; 17 sz[i] += sz[j]; 18 } 19 count--; // nun eine Komponente weniger 20 }

8 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 UF (12/13): Weitghed Quick-Union Laufzeit von Weighted Quick-Union Baumhöhe wächst mit log n Damit Komplexität für dynamischen Aufbauen der Union-Find Datenstruktur: O(n log n) Geht es noch besser? Idee: Pfadkompression (gewisse) Knoten zeigen direkt auf Wurzel Implementierung in find(): zweite Schleife: Jeden besuchten Knoten nachführen (zeigt direkt auf Wurzel), allerdings wird der Baum etwas entstellt In der Praxis kaum messbarer Gewinn theoretisches Resultat, dass dies optimal ist. Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Union-Find (13/13): Zusammenfassung Union-Find wird uns beim Graphen-Algorithmus von Kruskal wieder begegnen.

9 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Robert E. Tarjan (1948 ) Bachelor in Mathematics (California Inst. of Techn. 1969) Masters in Computer Science (Stanford 1971) Ph.D. in Computer Science (Stanford 1972) Algorithmen (und Datenstrukturen): Bestimmung aller starken Zusammenhangskompon. Median von Medianen-Selektion in linearer Zeit Planarität-Test Fibonacci-Heap, Splay-Bäume Laufzeit-Analysen (u.a. von Union-Find) Nevanlinna-Preis für herausragende Beiträge zu mathematischen Aspekten der Informationswissensch. (1982) Turing-Awards 1986 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Einführung in Graphen Uebersicht Beispiel-Fragestellung Definitionen Tiefensuche Breitensuche...

10 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Das Königsberger Brückenproblem Gibt es einen geschlossenen Pfad, der jede Brücke nur einmal besucht? (heute Eulerscher Weg genannt) Euler beweist 1736, dass dies unmöglich ist. Findet auch Bedingung, damit dies möglich wäre. Beginn der Graphentheorie. Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Definitionen I

11 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Definitionen II Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Definitionen III

12 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Definitionen (visuell) Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Definitionen IV Bipartiter Graph: Graph, dessen Knoten in zwei disjunkte Mengen aufgeteilt werden können, so dass alle Kanten ausgehend von einem Knoten in der einen Menge nur zu Knoten in der anderen Menge führen.

13 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Traversierung Wie jeden Knoten eines Graphen (genau einmal) besuchen? Tiefensuche (depth-first) Breitensuche (breadth-first) Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Tiefensuche (1/3) Rekursive Formulierung: 1 Algorithmus Tiefensuche(v): 2 3 for "jede Kante e inzident zu v" do 4 if "e ist noch nicht durchlaufen" then 5 w = anderer Endpunkt von e 6 if "Knoten w ist noch nicht erreicht" then 7 Markiere e als besucht 8 Tiefensuche(w) 9 else 10 Markiere e als Rückkante Wir vermeiden noch, die genauen Datenstrukturen zu benennen.

14 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Tiefensuche (2/3) Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Tiefensuche (3/3)

15 Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Breitensuche (1/x) Iterative Formulierung: 1 Algorithmus Breitensuche(v): 2 i = 0 3 Menge L[i] = {v} 4 5 while "L[i] ist nicht leer" do 6 Menge L[i+1] = {} 7 for v L[i] do 8 for "jede Kante e inzident zu v" do 9 w = anderer Endpunkt von e 10 if "Knoten w ist noch nicht erreicht" then 11 Markiere e als besucht 12 w in L[i+1] einfügen 13 else 14 Markiere e als Querkante 15 i = i+1 Eine andere Art der Wellenfortpflanzung als bei Tiefensuche. Algorithmen und Datenstrukturen, FS April / 30 Graphen Breitensuche (2/x)