Inhaltsverzeichnis. III, Band, Stereometrie. 1. Die Ebene und Gerade int Raume 1

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1 Inhaltsverzeichnis. III, Band, Stereometrie. Punkt 1. Die Ebene und Gerade int Raume 1 2. Ebene und Ebene 3 3. Die körperliche Ecke 4 4. Der Körper 5 5. Einteilung der Körper 5 6. Die fünf regelmäßigen Körper 5 7. Das Prisma (Allgemein) 7 8. Oberflächenbestimmung des Prismas 8 1. Aufgabe: Es ist die Oberfläche o eines geraden dreiseitigen Prismas zu bestimmen, wenn eine Grundkante a=6cm und eine nkante b 8 cm gegeben sind 8 2. Ausgabe: Es ist die Oberfläche o eines regelmäßigen vierseitigen Prismas zu bestimmen, wenn die Grundkante a = 4 dm und die nkante b = 6 dm gegeben sind 9 3. Aufgabe: Es ist die Oberfläche o eines regelmäßigen sechsseitigen Prismas zu bestimmen, wenn die Grundkante a = 4 dm und die nkante b = 6 dm gegeben sind Aufgabe: Von einem Würsel sind gegeben: die Kernte a = 3 dm, die Raumdiagonale d = 16 cm und der Flächeninhalt des Diagonalschnittes f 64 cm 2. Zu bestimmen ist die Oberfläche o des Würfels Volumbestimmung des Prismas Ausgabe: In einem rechtwinkeligen Parallelepiped sind gegeben die Länge 1 = 4 cm, die Breite b = 5 cm und die Höhe h = 8 cm. Es ist das Volumen v des Prismas zu bestimmen Berechnung der Raumdiagonale eines Prismas Aufgabe: Es ist die Raumdiagonale eines Prismas zu bestimmen, wenn die Länge 1 = 4 cm, die Breite b = 3 cm und die Höhe h = 6 cm beträgt Aufgabe: Es ist die Kante a eines Würfels zu bestimmen, wenn die Raum-- diagonale d = 7*2 cm beträgt Aufgabe: Ein regelmäßiges sechsseitiges Prisma ist 8-6 cm hoch und hat ein Volumen v = 600 cm 3. Wie groß ist die Grundkante a? (Fig. 17) Aufgabe: Gegeben sind die Kante a, die Diagonale d und die Oberfläche o eines Würfels. Zu bestimmen ist das Volumen v Aufgabe: Ein Würfel aus Blei ist 10 kg schwer. Wie groß ist eine Kante des Würfels, wenn das spezifisch? Gewicht des Bleies s = beträgt? (Fig. 19) : Bibliografische Informationen digitalisiert durch DEU NATI BIBL BLIO ß il

2 XII Punkt. 11. Aufgaben über das Prisma Der Zylinder Oberflächenbestimmung des Zylinders Aufgabe: In einem geraden Zylinder sind gegeben der Radius der Grundfläche r = 3 cm und die Höhe h = 8 cm. Wie groß ist die Oberfläche? Aufgabe: Es ist die Oberfläche eines gleichseitigen Zylinders.zu berechnen, wenn der Radius r = 6cm beträgt Volumbestimmung des Zylinders Aufgabe: Es ist das Volumen eines geraden Zylinders zu berechnen, wenn der Radius der Grundfläche r = 5 cm und die Höhe h = 8 cm beträgt Aufgabe: Der Durchmesser der Grundfläche eines gleichseitigen Zylinders d = 6 cm. Wie groß ist das Volumen v? Aufgabe: Bei einem elliptischen > Zylinder find gegeben die große Achse 2 a = 8 cm, die kleine Achse 2b = 6 cm und die Höhe h = 4 cm. Wie groß ist das Volumen v? Aufgabe: In einem geraden Zylinder beträgt der Umfang der Grundfläche p = cm und der Flächeninhalt des Achsenschnittes f = 72 cm 2. Wie groß sind Oberfläche und Volumen? Aufgabe: Es ist der Bodendruck einer vertikalen zylindrischen Quecksilbersäule von 76 cm 2 Höhe und 1 cm Querschnitt zu berechnen. (Das fpezifische Gewicht des Quecksilbers ist 13-59) ' Aufgabe: Es sind Oberfläche und Volumen einer geraden zylindrischen Röhre zu berechnen, wenn die Radien des äußeren und des inneren Umfanges und die Länge der Röhre h gegeben sind. R = 24 cm, r = = 18 cm, h = 10 m Aufgaben über den Zylinder Die Pyramide Oberflächenbestimmung der Pyramide Aufgabe: Es ist die Oberfläche o einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide zu berechnen, wenn die Grundkante a = 4 cm und die Höhe h = 6 cm beträgt Aufgabe: Berechne die Oberfläche einer vierseitigen Pyramide, wenn die Grundkante a = 6 cm und die Höhe h = 8 cm beträgt Volumbestimmung der Pyramide Aufgabe: Es ist das Volumen einer regelmäßigen dreiseitigen Pyramide zu berechnen, wenn die Grundkante a = 6 cm und die nkante s = 12 cm beträgt. (Fig. 27) Aufgabe: Es ist das Volumen einer regelmäßigen vierseitigen Pyramide zu berechnen, wenn gegeben sind: die Grundkante a = 6 cm und die nkante s = 16 cm Aufgabe: Es ist die Oberfläche und das Volumen einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide zu berechnen, wenn 1. die Grundkante a 6 cm und die Höhe h = 8 cm, 2. die Grundkante" a cm und die nkante s = 8 cm, oder 2a = s ist. (Fig. 29 und 30) Der Pyramidenstumpf 30

3 XIII Punkt 20. Oberflächenbestimmung des Pyramidenstumpfes Volumbestimmung des Pyramidenstumpfes Aufgabe: Gegeben sind in einem quadratischen Pyramidenstumpf eine Grundkante a t = 4 cm und die andere Grundkante a 2 = 3 cm und die Höhe des Stumpfes h = 9 cm. Wie gross ist das Volumen v? Aufgabe: Gegeben sind die Grundfläche G und g eines Pyramidenstumpfes tmir die Höhe h der Ergänzungspyramide Es ist das Volumen v des Pyramidenstumpfes zu berechnen Aufgaben über die Pyramide und Pyramidenstumpf Das Tetraeder Aufgabe: Gegeben ist die Kante s = AB = BC = CA = CS 2C. Zu bestimmen ist das Volumen v Aufgabe: Gegeben ist die Kante a eines regulären Tetraeders. Zu bestimmen ist der Radius r der eingeschriebenen Kugel Ausgabe: Gegeben ist die Kante a eines regulären Tetraeders. Zu bestimmen ist der Radius E der umgeschriebenen Kugel Das Oktaeder Aufgabe: Es ist aus der Kante a eines regulären Oktaeders das Volumen v desselben zu bestimmen Aufgabe: Gegeben ist die Kante a eines regulären Oktaeders. Zu bestim-- men ist der Radius r der eingeschriebenen Kugel Ausgabe: Gegeben ist die Kante a eines regulären Oktaeders. Zu bestimnten ist der Radius E der umgeschriebenen Kugel Aufgaben über das Tetraeder und Oktaeder Der Kegel Kegelschnittslinien Obcrflächenbest! mmung Aufgabe: In einem geraden Kegel sind gegeben: Der Radius r = 4 cm und die nlinie a = 12 cm. Wie groß ist die Oberfläche o? Oberflächenbestimmung des gleichseitigen Kegels Aufgabe: Gegeben ist die Oberfläche eines gleichseitigen Kegels o = 10 dm 2. Es ist der Radius r zu berechnen Aufgabe: Aus der Oberfläche eines gleichseitigen Kegels o = 10 dm 2 ist die Höhe h desselben zu bestimmen.... _ Volumbestimmung Volumbestimmnng des gleichseitigen Kegels Aufgabe: Aus dem Volumen v eines gleichseitigen Kegels ist die Oberfläche desselben Körpers zu bestimmen Aufgabe: Das Gewicht eines Kegels aus Holz hat kg, der Durchmesser 2r = 15 cm und die Hähe h = 2 dm. Man bestimme das spezifische Gewicht a des Holzes Aufgabe: Das Volumen eines gleichseitigen Kegels beträgt dm 3. Wie lang ist der Radius der Basis?.., Oberflächenbestimmung des Kegelstumpfes Volumbestimmung des Kegelstumpfes.47

4 XIV Punkt 38. Aufgabe: In einem Kcgelstumpfe sei gegeben: der Radius der Grundfläche K = 9-2 dm, der Radius der Deckfläche r = 6 4 dm und die Höhe h = 16-8 dm. Wie groß ist das Volumen des Stumpfes? Aufgaben über Kegel und Kegelstumpf Aufgabe: Wie verhalten sich, a) die Mantelflächen m und m 1; b) die Oberflächen o und o, eines gleichseitigen Kegels und eines gleichseitigen Zylinders, wenn sie einander gleiches Volumen v = v haben?., Aufgabe: In einem Würfel, dem eine Kugel umgeschrieben, ist gegeben die Kante a, gefragt wird: wie groß ist das Kugelsegment, welches durch eine erweiterte Würfelfläche abgeschnitten wird Aufgabe: Wie verhalten sich die Inhalte v: v, eines gleichseitigen Kegels und eines gleichfeit. Zylinders, wenn beide dieselbe Oberfläche haben; also: o = o l ' Die Kugel und ihre Teile Kugelfläche und Gerade Aufgabe: a) Gegeben sind: Der Zentralabstand KO = z einer Kugelsehne (siehe Fig. 47) und der Kugelradius OE = r; z = 6 cm, r 10 cm. Wie groß ist die Länge der Kugelsehne EJ = s? b) Gegeben sind: Der Radius r 10, die Kugelsehne s = 16 und der Zentralabstand z =? Aufgabe: a) Gegeben ist der Radius der Kugel r = 5 cm und der Zentralabstand z = 3 cm. Wie groß ist der Radius EK = p des Kugelkreises? b) Gegeben sind: Der Kugelradius r = 5 cm und der Radius p des Kugelkreises = 4 cm. Bestimme den Zentralabstand z 52 ( 38. Kugelfläche und Ebene Sphärischer Abstand Kugelfläche und sphärische Figuren Teile der Kugel und Kugelfläche Berechnung der Kugel und Kugelteile Oberfläche einer Kugelmiitze (Kalotte) Aufgabe: Es ist die Oberfläche der Kalotte zu berechnen, wenn CE = p = 4 cm und die Höhe h = 2 cm beträgt Aufgabe: Es ist die Oberfläche der Kalotte zu berechnen, wenn die. Sehne A C = s = 6 cm beträgt Oberfläche einer Kugelzone Volumbestimmung der Kugel Volumbestimmung des Kugelsektors ' Volumbestimmung eines Kugelsegmentes Ausgabe: Es ist das Volumen eines Kugelsegmentes zu berechnen, wenn gegeben sind: Die Höhe h, der Kugelradius r und der Radius der Basisfläche des Segmentes p Aufgabe: Es ist das Volumen v des Rotationskörpers zu berechnen, welcher durch Rotation eines Kreissegmentes DL E mit der Sehne ED = s um einen außerhalb desselben liegenden Radius AO entsteht Volumbestimmung einer Kugelschichte 60

5 XV ist 48. Aufgabe: Es ist das Volumen einer Kugelschichte zu bestimmen, wenn gegeben sind: Die Höhe FG = h und die Halbmesfer der beiden Grundflächen EG = p! und BF = p 2 60 Aufgaben über die Kugel Aufgabe: Es sind Oberfläche und Volumen einer Kugel zu berechnen, wenn der Kugelradius r = 3 cm beträgt Aufgabe: Berechne den Durchmesser 2 r einer Kugel, wenn das Volumen v = cm 3 beträgt Aufgabe: Eine Kalotte hat eine Entfernung EF = 2p = 8 und eine Höhe h == 2. Wie groß ist die Oberfläche derselben (Fig. 49) Aufgabe: Das Volumen eines Kugelsektors verhält sich zu dem eines Kugelsegmentes wie 2:3. Wie verhält sich die Oberfläche der den Sektor begrenzenden Kalotte zu der Kalotte des Segmentes? Aufgabe: Eine Kugel aus Holz mit dem Radius r = 12 cm sinkt im Wasser von 4 C h = 8 cm tief ein. Wie groß ist ihr spezifisches Gewicht s? I 63 Aufgaben über die Kugel, Kugelteile und Rotationskörper Aufgabe: Ein Segment einer Kugel mit dem Kugelradius r hat ein doppelt so großes Volumen wie eine Kugel, die die Höhe h des Segmentes zum Radius hat. Wie groß ist die Höhe? Aufgabe: Einem geraden Kreiskegel, dessen Grundkreis einen Radius r = 3 dm hat und dessen Höhe h = 4 dm beträgt, wurde ein Kugel derartig eingeschrieben, daß sie die Kegelfläche und die Fläche des Grundkreises berührt; wie groß ist das Volumen dieser Kugel Aufgabe: Gegeben ist die Oberfläche einer Kugel o = 1000 cm 3 ; diese soll in einen geraden Zylinder von gleichem Volumen verwandelt werden; gefragt wird, wie groß ist dessen Grundfläche g, wenn die Mantelfläche des Zylinders m gleich der Oberfläche der Kugel ist Aufgabe: Gegeben sind in einem geraden Kegel der Radius der Grundfläche r 2cm und die Höhe h 8cm; diesem geraden Kegel wird eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche eingeschrieben; wie groß sind Oberfläche und Volumen der Pyramide. (Allgemein.) Aufgabe: Ein rechtwinkeliges Dreieck rotiert um seine größere Kathete a; wie groß sind Oberfläche und Volumen des entstehenden Körpers, wenn die kleinere Kathete b = 6 cm und der Winkel a 53 7' 50" ist Aufgabe: Es sind Oberfläche und Volumen einer geraden dreiseitigen Pyramide zu berechnen, deren Basisseite ein gleichseitiges Dreieck ist, und gegeben sind die Grundkante a = 4 cm und die nfante s = 8 cm. (Siehe Fig. 27 und 21. Aufgabe) Aufgabe: Es ist das Volumen eines Oktaeders zu berechnen, wenn seine Kante a = 3 cm beträgt. (Siehe Fig. 55) Ausgabe: Gegeben sind von einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche die Grundkante a 6 cm und die nkante s cm ; wie groß ist die Oberfläche o und das Volumen v der Pyramide?... 71

6 XVI Punlt 62. Aufgabe: Gegeben sind die drei n eines Dreieckes a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm; das Dreieck dreht sich um die c als Achse; welches Volumen v hat der durch die Rotation entstandene Doppelkegel Aufgabe: Es ist das Verhältnis der Radien r: R und der Oberflächen o : c>i der einem Oktaeder ein- und umgeschriebenen Kugel zu bestimmen Aufgabe: Eine hohle Kugel, die mit ihrer Hälfte im Wasser einsinkt, hat einen äußeren Durchmesser 2r; es ist die Wandstärke d zu berechnen; wenn das spezifische Gewicht des Materials s ist Aufgabe: Eine eiserne Kugelschicht soll in eine Kugel umgegossen werden; wie groß ist deren Radius r, wenn der Radius des unteren Begrenzungskreises der Schicht o, = 12 cm und der des oberen Begrenzungskreise? p a = 8 cm und die Höhe der Schicht h = 6 cm beträgt Aufgabe: Wie groß wird der Durchmesser 2 p einer massiven Kugel sein, welche aus einer metallenen Hohlkugel gegossen wird, deren äußerer Durchmesser 2r= 18 und deren Wanddicke d = 2cm beträgt? Aufgabe: Eine hohle Kugel hat den größeren Halbmesser r=6cm und das Volumen ihrer Schale sch = 600 cm 3 gegeben. Welche Dicke d Hat die Schale? (Siehe Fig. 56) Aufgabe: Wie groß ist das Stück der Erdoberfläche, das man von einer Höhe h 500 m übersehen kann, wenn der Erdradius r = 6378 km beträgt? (Fig. 57) Aufgabe: Ein regelmäßiger Pyramidenstuinpf, dessen Grundfläche ein Quadrat ist, hat dasselbe Volumen wie eine Kugel (also v = v,); wie groß ist der Radius r der Kugel, wenn die eine der kleineren Grundfläche des Stumpfes gleich dem Kugelradius und die der größeren Grundfläche gleich dem Kugeldurchmesser 2 4- r und die Höhe des Stumpfes h = 12 cm beträgt? Aufgabe: Um einen Würfel von der Oberfläche o hat man eine Kugel beschrieben. Wie groß ist das Volumen eines Kugelsegmentes, das durch die Erweiterung einer Würfelfläche abgeschnitten wird? 78