In diesem Skript werden folgende Begriffe anhand von einfachen Beispielen eingeführt:

Transkript

1 Färbungsprobleme Einstieg In diesem Skript werden folgende Begriffe anhand von einfachen Beispielen eingeführt: Graphentheorie Der Vier-Farben-Satz Algorithmen Komplexität von Algorithmen NP-Probleme Die Themen ausführlich zu behandeln, würde den Rahmen unseres Kurses sprengen. Die Themen eigenen sich aber sehr dazu, einige Hintergründe kennenzulernen und dabei eure Programmierkenntnisse anhand von Pseudocodes zu vertiefen. Fragestellung zum Einstieg Färbe die folgende Karte mit so wenigen Farben wie möglich. Dabei dürfen sich nie zwei identische Farben berühren. Wie viele Farben benötigst du mindestens? 1

2 Graphentheorie Die Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es beschäftigt sich mit den Eigenschaften von Graphen und ihren Beziehungen zueinander. Viele Alltagsprobleme lassen sich mit Hilfe von Graphen darstellen und untersuchen. Im Kurs Netzwerke und Internet haben wir den Dijkstra-Algorithmus kennengelernt. Auch dort haben wir das Kürzeste-Weg-Problem mit einem Graphen modelliert. Auch viele algorithmische Probleme können auf Graphen zurückgeführt werden. Aus diesen Gründen beschäftigt sich sowohl die Mathematik, als auch die Informatik mit Graphen. Ein Graph ist eine Menge von Knoten, zusammen mit einer Menge von Kanten. Eine Kante ist eine Menge von genau zwei Knoten. Dargestellt wird ein Graph durch Punkte (die Knoten). Dabei sind jeweils genau zwei Punkte mit einer Linie verbunden (den Kanten). Zusammenhang zwischen dem Einstiegsbeispiel und Graphen: Jede Landkarte kann auch als Graph dargestellt werden. Dabei sind die Knoten die Länder. Jeweils zwischen zwei Ländern, welche sich berühren, wird eine Kante gelegt. Beispiel: Erstelle einen Graphen, welcher die Kantone der Zentralschweiz darstellt. Um das Farbenproblem aus dem Einstiegsbeispiel zu lösen, reicht es nun, die Knoten des Graphen einzufärben. Allerdings hört sich das leichter an, als es ist. Für beliebige Graphen gibt es vermutlich keinen Algorithmus, welcher das Problem effizient lösen kann. 2

3 Planarer Graph Ein Graph wird planar genannt, wenn die Knoten so verschoben werden können, dass sich keine Kanten des Graphen mehr überschneiden. Beispiel Öffne die folgende Webseite. Es wird dort ein planarer Graph dargestellt. Verschiebe die Knoten so, dass sich keien Kanten mehr schneiden. Wie schnell schaffst du die Lösung dieser Aufgabe? Webseite: Dualer Graph Zu jedem planaren Graphen, kann ein sogenannter dualer Graph gezeichnet werden. Durch die Knoten und Kanten eines Graphen werden Flächen definiert. Zeichnet man nun in jede dieser Flächen ein neuer Knoten und verbindet diese rechtwinklig zu den ursprünglichen Kanten, entsteht der duale Graph. Anwendung auf unser Karten-Beispiel Variante zum Zeichnen eines Graphen zu einer Landkarte 1. Vereinfache die Landkarte so stark als möglich. (Grenzen durch möglichst wenige, gerade Linien darstellen.) 2. Zeichne in die Mitte jedes Landes einen Knoten. 3. Verbinde die Knoten. Dieses Verfahren funktioniert bei planaren Graphen (die vereinfachte Karte kann auch als Graphen angenommen werden) also bei Graphen, in welchen sich keine Kanten schneiden. 3

4 Aufgabe Zeichne mit dieser Methode noch einmal einen Graphen zu den Kantonen der Zentralschweiz. Zeichne hier den Graphen: 4

5 Der Vier-Farben-Satz Im Zusammenhang mit der Frage nach der minimalen Anzahl Farben, welche für die Färbung eines Graphen benötigt werden, kann auch folgende Behauptung interessant sein: Jede Landkarte (vorausgesetzt jedes Land besteht nur aus einer Fläche es gibt also keine Exklaven), kann mit nur vier Farben so eingefärbt werden, dass sich keine zwei gleichfarbigen Flächen berühren. Die Frage, ob das stimmt wurde von Francis Guthrie im Jahre 1852 aufgeworfen, als er die Grafschaften von England einfärbte. Erst 124 Jahre später wurde diese Vermutung dann auch bewiesen. Eine mögliche Anwendung dieses Satzes sind Funkmasten: Angenommen, zwei benachbarte Funkmasten senden auf der gleichen Frequenz. Dann könnte es in Bereichen, in welchen sich die Funkzellen überschneiden zu Interferenzen und somit zur Auslöschung des Signals kommen. Aufgabe Lässt sich der Graph der Zentralschweiz gemäss der obigen Definition mit vier Farben einfärben? Begründe deine Antwort. 5

6 Komplexität von Algorithmen Polynomielle Komplexität Bei jedem Algorithmus ist es interessant zu wissen, wie schnell dieser zu einer Lösung kommt. Viele Algorithmen benötigen zur Lösung bestimmter Probleme einen polynomiellen Zeitaufwand in Abhängikeit der Grösse des Problems (Anzahl Knoten, Kanten, ). Das bedeutet, dass die Anzahl Schritte, welche ein Algorithmus benötigt um eine Lösung für ein Problem der Grösse n zu finden, mit Hilfe eines Polynoms von der Form p(n)=a0n k +a1n k-1 +a2n k-2 + +an-1n+an angegeben werden kann. Beispiel Angenommen, wir wollen wieder einen Graphen so einfärben, dass wieder nie zwei benachbarte Knoten die gleiche Farbe haben. Eine solche Färbung können wir z.b. mit dem Greedy-Algorithmus erreichen. Dieser funktioniert so: 1. Wähle einen beliebigen Startnoten aus. Dieser ist der aktive Knoten. 2. Prüfe alle Nachbarn des aktiven Knotens: Schaue, ob diese gefärbt sind. Wenn ja, streiche für jeden gefärbten Knoten dessen Farbe aus der Liste der erlaubten Farben. Wenn nein, füge diese Knoten der Liste der ungefärbten Knoten hinzu. 3. Färbe den aktiven Knoten mit der nächsten Farbe aus der Liste der erlaubten Farben. 4. Entferne den neu gefärbten Knoten aus der Liste der ungefärbten Knoten. Ist die Liste der ungefärbten Knoten danach leer, bist du fertig. Ansonsten wählst du den nächsten Knoten aus der Liste der ungefärbten Knoten als aktiven Knoten und beginnst wieder bei Schritt 2. Dieser Algorithmus färbt die Knoten zwar korrekt, es ist aber nicht gesagt, ob es nicht noch eine andere Lösung mit weniger Farben gibt. (Dies ist für dieses Beispiel aber auch nicht relevant.) Komplexität dieses Algorithmus Im schimmsten Fall haben wir einen Graphen vor uns, in welchem jeder Knoten mit jedem anderen Knoten verbunden ist. In diesem Fall wird jeder Knoten einem der aktive Knoten. Jeden Knoten zu Betrachten sind bereits n Schritte. In jedem dieser Schritte müssen nun aber alle Nachbarknoten geprüft werden. (Entweder dieser werden auf ihre Farbe geprüft oder in die Liste der ungefärbten Knoten aufgenommen.) In unserem Graphen sind das also in jedem der n oben beschriebenen Schritte weitere n-1 Schritte. Damit müssen wir n(n-1)=n 2 -n Schritte machen. Wir haben also eine Komplexität von O(n 2 -n), was auf O(n 2 ) gekürzt werden darf. Für die Komplexität wird immer nur die Grösste n-potenz angegeben. 6

7 Aufgabe Bestimme die Komplexität des folgenden Scratchcodes. (Im schlimmsten Fall wird die "space-taste" nie gedrückt.): n 2 7

8 NP Probleme Um die NP Probleme zu verstehen, benötigen wir den Begriff des nichtdeterministischen Algorithmus. Ein solcher hat die Eigenschaft, dass er in jedem Schritt mehrere Wahlmöglichkeiten hat. (Eine solche Wahlmöglichketi könnt zum Beispiel sein, dass der Algorithmus frei wählen kann, ob er die Anweisung x=1 oder x=2 ausführt. Diese Wahl trifft er nicht aufgrund einer vorgegebenen "if-anweisung".) Eine Möglichkeit, wie ein solcher Algorithmus vorgehen kann ist, dass er Kopien von sich selbst erstellt und jede Kopie eine Wahlmöglichkeit durchrechnet, bis eine der Kopien die Lösung des Problems gefunden hat. Dieses Vorgehen ist für die Praxis aber zu aufwändig. Ein Problem hat nun nichtdeterministische Polynomielle Zeitkomplexität (ist also ein NP-Problem), wenn es einen nichtdeterministischen Algorithmus zur Lösung des Problems gibt, der polynomielle Zeitkomplexität hat. Da nichtdeterministische Algorithmen in der Praxis nicht prkatikabel sind, gelten NP- Probleme als schwer lösbare Probleme. In vielen Fällen wird bei solchen Problemen mit Optimierungsalgorithmen gearbeitet. Das heisst: Es wird eine mögliche Lösung gesucht und von dieser Lösung aus wird geschaut, ob es noch bessere Lösungen gibt. Solche Algorithmen finden aber einfach jeweils bessere Lösungen es ist aber nicht gesagt, dass es sich dabei dann um die beste Lösung handelt. Oftmals geht man auch so vor, dass man grosse Probleme in kleiner Teilprobleme zerlegt, welche dann gelöst werden. Die Lösungen der Teilprobleme werden dann wieder zu einer ganzen Lösung zusammengesetzt. Eines dieser NP-Probleme ist die Frage nach der Anzahl der Farben, welche für die Färbung einer Landkarte benötigt werden. Eine der bekanntesten, ungelösten Fragen der Informatik ist die, ob es für die Menge der NP-Probleme nicht doch Algorithmen zur Lösung gibt, welche polynomielle Komplexität haben. Man vermutet, dass dies nicht der Fall ist. 8

9 Testen von Algorithmen zum Färbungsproblem Im Folgenden wirst du, mit Hilfe eines extra dafür entwickelten Programmes, Algorithmen zum Färbungsproblem testen. Lade GraphBench runter ( -> "Informatik allgemein" oder direkt Öffne dann das.jar-file und wähle "Colorability" an: Du kannst nun einen beliebigen Graphen zeichnen, indem du zunächst die Knoten hinzufügst und diese danach mit Kanten verbindest: Knoten hinzufügen Kanten hinzufügen Einstellungen 9

10 Das Programm wird nun testen, ob der gezeichnete Graph mit einer bestimmten Anzahl Farben eingefärbt werden kann, sodass keine benachbarten Knoten die gleiche Farbe haben. Wie wir oben gesehen haben, gibt es keine Algorithmen, welche direkt die minimale Anzahl Farben bestimmt, welche für eine solche Färbung benötigt werden. Es gibt aber Algorithmen, welche testen, ob ein Graph mit einer bestimmten Anzahl Farben eingefärbt werden kann. Auf der rechten Seite kannst du nun folgende Einstellungen vornehmen: Number of Colors: Hier kannst du eingeben, mit welcher Farbenzahl du testen willst. Algorithm Information: Hier kannst du angeben, mit welchem Algorithmus du deinen Graphen testen willst: o Backtracking o Greedy Heuristic (Dieser Algorithmus wurde oben bereits beschrieben.) o Edge Optimization Pseudo-code: Hier öffnet sich ein Fenster, in welchem der Algorithmus als Pseudo-code angegeben wird. Lass das Fenster offen, während du den Algorithmus laufen lässt. So wird immer angezeigt, wo im Code du dich gerade befindet. Description: Solltest du den Pseudo-code nicht verstehen, findest du hier noch zusäztliche Erklärungen zum Algorithmus. Speed of execution: Wähle hier eine Geschwindigkeit, welcher du noch folgen kannst und dich trotzdem nicht langweilst. Control interpreter: Hier wird der angewählte Algorithmus gestartet. Aufgabe 1 a) Zeichne den Graphen der Zentralschweiz mit GraphBench. b) Teste mit verschiedenen Algorithmen, welches die minimale Anazahl Farben ist, welche man benötigt, um diesen Graphen einzufärben. c) Verändere den Graphen so, dass vier Farben genügen, um den Grapnen zu färben. Begründe kurz, warum du was verändert hast: 10

11 Aufgabe 2 Teste mit verschiedenen Graphen die drei Algorithmen. Das Ziel dieser Aufgabe ist es, dass du genau verstehst, wie die drei Algorithmen funktionieren. Beschreibe das Vorgehen der Algorithmen in eigenen Worten: Backtracking Edge Optimization 11

12 Quellen: ndex.html