Graphentheorie 2. im Wintersemester 2015/16 - Dr. Oliver Schaudt - Universität zu Köln. Mathematisches Institut

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1 Graphentheorie 2 im Wintersemester 2015/16 - Dr. Oliver Schaudt - Universität zu Köln Mathematisches Institut

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 0 Grundlegende Definitionen 2 1 Gerichtete Graphen Wege in gerichteten Graphen Kreise in gerichteten Graphen Anwendungsbeispiele Flüsse und Zirkulationen Gruppenwertige Flüsse Flüsse & Färbungen Flussvermutungen Graphenfärbungen Kritische Graphen Die Vermutung von Hadwiger Färbungen von Graphen auf Flächen Listenfärbungen Färbungen von Hypergraphen Abbildungsverzeichnis 34 Mitschrift der Vorlesung von Dario Antweiler. Keine Garantie auf Richtigkeit oder Vollständigkeit. Lob, Kritik, Kommentare an dario.antweiler@gmail.com. Lizensiert unter (CC BY-SA 4.0). Stand 14. März 2016.

3 0 Grundlegende Definitionen Definition. Ein Graph ist ein geordnetes Paar G = (V, E) von Knoten und Kanten. Dabei ist V eine endliche Menge und E eine Menge von 2-elementigen Teilmengen von V. Die beiden Elemente x, y einer solchen Teilmenge heißen adjazent, benachbart oder verbunden VL01 Definition. Bei einem Multigraphen sind einelementige Kanten und mehrfache Kopien von Kanten erlaubt, dass sind sogenannte Schlingen bzw. Multikanten. Definition. Sind die Kanten eines (Multi-)Graphen geordnete Paare, dann heißt er gerichtet. Definition. Durch Vergessen dieser Orientierung der Kanten eines gerichteten Graphen erhält man den zugrundeliegenden (Multi-)Graphen. Ist G ein gerichteter Graph mit zugrundeliegendem (Multi-)Graphen G, dann heißt G Orientierung von G. Definition. Eine stabile (oder unabhängige) Menge X in einem Graphen G = (V, E) ist eine Teilmenge der Knoten, sodass für alle x, y X gilt {x, y} / E. Definition. Der Graph G heißt k-partit, wenn eine Partition der Knoten V mit k Klassen existiert, sodass jede Klasse eine stabile Menge ist. Jeder Graph ist V -partit, wenn V die Menge der Knoten ist. Ein k-partiter Graph heißt auch k-färbbar. Dann heißen die Klassen der Partition Farbklassen. 2-partite Graphen heißen bipartit. Definition. Die chromatische Zahl χ (G) eines Graphen G ist das kleinste k für das G k-färbbar ist. Definition. Ein Pfad in einem Graphen G = (V, E) ist eine Folge von Knoten und Kanten (v 1, e 1, v 2, e 2,..., e k 1, v k ) bei der {v i, v i+1 } = e i für alle 1 i k 1. Sind die Knoten des Pfades paarweise verschieden, dann sprechen wir von einem Weg. Sind die Knoten in {v 1,..., v k 1 } paarweise verschieden und v 1 = v k, dann sprechen wir von einem Kreis. Die Länge eines Pfades (Wegs, Kreises) ist die Anzahl der vorkommenden Kanten. Definition. Ein Graph G heißt zusammenhängend, wenn für je zwei Knoten x, y ein Weg von x nach y existiert. Andernfalls heißt der Graph unzusammenhängend.

4 1 GERICHTETE GRAPHEN 3 Satz 0.1. Ein Graph ist bipartit genau dann, wenn jeder Kreis gerade Länge hat. Beweis. " ": Starte in einem Knoten. Jede Kante in einem Kreis wechselt die Partition, daher hat er gerade Länge. " ": Markiere die Knoten in einer Breitensuche jeweils abwechselnd schwarz und weiß. Kein Knoten wird zweifarbig markiert, sonst gäbe es einen ungeraden Kreis. So ergibt sich eine Bipartition. 1 Gerichtete Graphen Definition. Ein gerichteter Pfad in einem gerichteten Graphen G = (V, E) ist eine Folge (v 1, e 1, v 2,..., e k 1, v k ) mit {v 1,..., v k } V, {e 1,..., e k 1 } E und e i = (v i, v i+1 ) für alle 1 i k 1. Sind die Knoten paarweise verschieden, dann spricht man von einem gerichteten Weg. Sind die Knoten v i paarweise verschieden für i = 1,..., k 1, und v 1 = v k, so spricht man von einem gerichteten Kreis VL02 Definition. Ein Knoten u V ist von v aus erreichbar, wenn es einen gerichteten Weg von v nach u gibt. Gegenseitige Erreichbarkeit definiert eine Äquivalenzrelation auf V. Deren Klassen nennt man starke Zusammenhangskomponenten (ZHK). Hat G nur eine starke ZHK, so heißt G stark zusammenhängend. 1.1 Wege in gerichteten Graphen Definition. Sei G ein gerichteter Graph und G der zugrundeliegende (Multi-)Graph. Die Länge eines gerichteten Weges/Kreises ist die Anzahl seiner Kanten. Bemerkung. Gerichtete Wege in G ergeben ungerichtete Wege in G. Andersherum gilt das nicht! Satz 1.1. Sei G schlingenfrei und G der zugrundeliegende Graph von G. Dann hat G einen gerichteten Weg der Länge χ (G ) 1. Beweis. Sei F eine minimale Menge an Kanten, sodass H = (V, E \ F ) keinen gerichteten Kreis enthält. Sei k die Länge des längsten gerichteten Weges in H. Jedem Knoten v V ordnen wir die Farbe c (v) = i zu, wobei i {1,..., k + 1} und i 1 ist die Länge des längsten Weges welcher in v startet. Wir zeigen jetzt, dass benachbarte Knoten nie diesselbe Farbe erhalten. Sei P = (u,..., v) ein gerichteter Weg in H mit u v. Dann gilt c (u) c (v) + Länge (P ) > c (v) Sei e = (u, v) eine beliebige Kante von G. Ist e E \ F, dann gilt c (u) c (v) Ist e F, dann enthält der Graph (V, (E \ F ) e) einen gerichteten Kreis C, der e enthält. Also gibt es einen gerichteten Weg C \e in H, also gilt c (u) c (v). Damit ist c eine Färbung von G mit k + 1 Farben und k + 1 χ (G ). Bemerkung. Der Satz ist bestmöglich: Jeder schlingenfreie Multigraph G besitzt eine Orientierung, dessen längster Weg die Länge χ (G ) 1 hat VL03

5 1 GERICHTETE GRAPHEN Abbildung 1: Ein Turnier T Definition. Ein Turnier ist eine Orientierung eines vollständigen Graphen. Korollar 1.2. Jedes Turnier hat einen gerichteten Weg, der alle Knoten des Turniers beinhaltet. Beweis. Sei T ein Turnier auf n Knoten. Dann ist der zugrundeliegende Graph von T gleich K n. Aus χ (K n ) = n und Satz 1.1 folgt die Behauptung. Definition. Solch ein Weg nennt man Hamiltonweg. Definition. Sei G ein gerichteter Graph und u V. Wir setzen und N G N + G als die Vorgänger bzw. Nachfolger von u. (u) = {v V (G) (v, u) E (G)} (u) = {v V (G) (u, v) E (G)} Satz 1.3. Sei G ein schlingenfreier, gerichteter Graph mit zugrundeliegendem Graphen G. Dann hat G eine stabile Menge X, sodass jeder Knoten aus G über einen gerichteten Weg mit höchstens zwei Knoten von X aus erreicht werden kann. Beweis. Per Induktion über n. Für n = 1 gilt die Aussage offenbar. Sei nun v V beliebig und H = G \ ({v} {N + (v)}). Sei Y eine stabile Menge in H mit der gewünschten Eigenschaft. Dann ist Y ebenfalls stabil in G. Ist v N + (u) für ein u Y, dann ist X = Y und wir sind fertig. Ist v / N + (u) für alle u Y, so ist X = Y {v} stabil und hat die gewünschte Eigenschaft. Korollar 1.4. Jedes Turnier enthält einen Knoten, von dem aus jeder andere Knoten in zwei Schritten erreichbar ist. Beweis. Stabile Mengen in vollständigen Graphen haben Größe 1.

6 1 GERICHTETE GRAPHEN Kreise in gerichteten Graphen Bemerkung. Korollar 1.2 kann verstärkt werden, wenn starker Zusammenhang gilt. Satz 1.5. Sei T ein stark zusammenhängendes Turnier. Dann liegt jeder Knoten von T auf einem gerichteten Kreis der Länge k für 3 k n. Beweis. Beweis per Induktion über k. Sei u V beliebig. Sei L = N + T (u) und R = N T (u). Es gilt L R =, L R {u} = V und L, R da T stark zusammenhängend ist. Zudem existieren l L, r R, sodass (l, r) E (T ). Also liegt u auf dem gerichteten Kreis (u, l, r, u). Angenommen u liegt auf einem Kreis der Länge k < n. Sagen wir C = (u = v 1, v 2,..., v k, v 1 ). Seien L = ( v V (C) N + T (v) ) \ V (C) und R = ( v V (C) N T (v) ) \ V (C). Falls L R, dann wähle x L R. Dann existieren i, j {1,..., k} mit (v i, x), (x, v j ) E (T ). OBdA ist i < j. Wähle r {i + 1,..., j} kleinstmöglich, sodass (x, v r ) E. Das ist wohldefiniert, da (x, v j ) E (T ). Dann ist ein gerichteter Kreis der Länge k + 1. C = (u = v 1, v 2,..., v r 1, x, v r,..., v k, v 1 ) Falls L R = gilt L, R und es existiert eine Kante (l, r), l L, r R. Dann ist ein gerichteter Kreis der Länge k + 1. C = (v 1, l, r, v 3,..., v k, v 1 ) Definition. Man sagt dann: T ist knoten-panzyklisch. Korollar 1.6. Jedes stark zusammenhängende Turnier hat einen Hamiltonkreis VL04 Satz 1.7. Das Problem, zu entscheiden, ob ein gerichteter Graph einen Hamiltonkreis hat, ist NP-vollständig. Beweis. Reduktion auf das 3SAT-Problem. unvollst. Korollar 1.8. Das Problem, zu entscheiden, ob ein gerichteter Graph einen Hamiltonweg hat, ist NP-vollständig. Beweis. Analog zum Beweis des Satzes, aber keine Identifikation von s 1 und t N. Satz 1.9. Sei G ein schlingenfreier, gerichteter Graph und n die Anzahl seiner Knoten. Hat jeder Knoten mindestens n 2 viele Vorgänger und mindestens n 2 viele Nachfolger, dann hat G einen Hamiltonkreis.

7 1 GERICHTETE GRAPHEN 6 Beweis. Angenommen G hat keinen Hamiltonkreis. Sei C ein gerichteter Kreis maximaler Länge mit C = (v 1,..., v l, v 1 ). Nach Übung gilt l > n 2. Sei P ein längster Weg in G \ V (C) mit P = (u 1, u 2,..., u m+1 ). Sei S = {i (v i 1, u 1 ) E} und T = {i (u m+1, v i ) E}. Es gilt S T =, da sonst C nicht maximal war. Es gilt N G (u 1) V (P ) V (C), sonst wäre P nicht maximal. Also gilt N G (u 1) m + S Nach Voraussetzung ist also bzw. n 2 N G (u 1) m + S S n 2 m und analog T n 2 m Es gilt n l + m + 1 und l > n 2 also m < n 2. Somit ist S 1 und T 1. Außerdem S T n 2m l m + 1. Sei OBdA 2 S und i + 1 T. Dann ist OBdA j / T für alle j {2,..., i} und j / S für alle j {3,..., i + 1}. Da S T l m + 1 gilt i m. Dies liegt daran, dass v 2,..., v i weder u 1 als Nachfolger, noch u m+1 als Vorgänger haben. Also ist S T l (i 1). Sei C = (v 1, u 1, u 2,..., u m+1, v i+1,..., v l, v 1 ). C ist ein gerichteter Kreis in G mit Länge l + m (i 1) = l + m + 1 i und mit i m gilt l + m + 1 i l + 1. Dies ist ein Widerspruch zur Maximalität von C. Bemerkung. Satz 1.9 verallgemeinert den Satz von Dirac über ungerichtete Graphen. (Korollar 6.13 im Skript von Prof. Schrader) 1.3 Anwendungsbeispiele Job sequencing Gegeben N viele Jobs J 1,..., J N und eine Maschine. Zusätzlich ist eine Adjustmentmatrix T = (t ij ) 1 i,j N gegeben mit t ij R 0. Wird Job J j direkt nach J i erledigt, kostet dies t ij viele Zeiteinheiten. In welcher Reihenfolge sollen die Jobs erledigt werden? Das Problem ist NP-schwer. Folgende Heuristik liefert eine Approximation, die aber beliebig schlecht im Vergleich zur Optimallösung sein kann: ( ) Definiere den Graphen G = {J i } i=1,...,n, E mit E = {(J i, J j ) t ij t ji, i j} VL05 Suche einen Hamiltonweg in G Sortiere die Jobs entsprechend ihrem Vorkommmen im Hamiltonweg G hat einen Hamiltonweg, da G ein Turnier enthält Einbahnstraßensysteme Gegeben ein ungerichteter Graph G. Gesucht ist eine Orientierung G von G, sodass G stark zusammenhängend ist. Notwendige Bedingungen sind sicherlich: VL06 G ist zusammenhängend G besitzt keine Schnittkante, d.h. keine Kante e, mit G \ e ist unzusammenhängend. Definition. Erfüllt ein Graph G die beiden obigen Eigenschaften, so heißt der Graph G 2-kantenzusammenhängend. Satz Ein Graph hat genau dann eine stark zusammenhängende Orientierung, wenn er 2-kanten-zusammenhängend ist.

8 1 GERICHTETE GRAPHEN 7 Beweis. " ": Entfernen wir in G die Kante e = (u, v), ist u weiterhin von v aus erreichbar und G \ e bleibt zusammenhängend. " ": Sei G = (V, E) 2-kanten-zusammenhängend und e = {x, y} E. Dann ist G \ e zusammenhängend und es gibt einen Weg P von x nach y in G \ e. Sei C der Kreis P + e. Setze G 0 = C und iterativ: Ist V (G i ) V, dann wähle eine Kante e = (u, v), sodass u V (G i ), v / V (G i ) u i+1 = u, v i+1 = v Es gibt in G \ e einen Weg Q von v nach V (G i ) Erweitere G i um die Knoten und Kanten von Q Sei k so, dass V (G k ) = V (G) Orientiere G 0,..., G k beliebig, aber konsistent für jedes G i Sei G der enstandene gerichtete Graph G ist stark zusammenhängend nach Konstruktion, alle Kanten außerhalb können beliebig orientiert werden, der so enstehende Graph G erfüllt die benötigten Eigenschaften Q v C u Abbildung 2: Situation im Beweis von Satz 1.10 Definition. Ein Graph G heißt k-kanten-zusammenhängend, wenn die Entfernung von beliebigen k 1 Kanten den Graphen nicht unzusammenhängend macht. Definition. Ein Graph G heißt k-kanten-stark-zusammenhängend, wenn er nach Entfernung von beliebigen k 1 Kanten immer noch stark zusammenhängend ist. Satz 1.11 (Nash-Williams, 1940). Ein k-kanten-zusammenhängender Graph hat eine k-kanten-stark-zusammenhängende Orientierung. (ohne Beweis) Rangfolgen in Turnieren VL07 Definition. Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph mit Knoten {v 1,..., v n }. Die Adjazenzmatrix A = (a ij ) 1 i,j n von G ist gegeben durch

9 1 GERICHTETE GRAPHEN 8 a ij = { 1 falls (v i, v j ) E 0 sonst Definition. Der Abstand dist G (u, v) von u nach v ist die kleinste Länge eines gerichteten Weges von u nach v in G, sonst. Definition. Der Durchmesser diam (G) von G ist gleich max u,v V dist G (u, v). Satz Sei T ein Turnier auf n 5 Knoten, welches stark zusammenhängend ist. Dann gilt A diam(t )+3 > 0. Beweis. Der (i, j)-te Eintrag von A k ist genau die Anzahl der Pfade von v i nach v j der Länge k. Sei V = {v 1,..., v n }. Also ist zu zeigen, dass es zwischen v i und v j für alle i, j {1,..., n} einen gerichteten Pfad der Länge genau diam (T ) + 3 gibt. Wegen 0 dist T (v i, v j ) diam (T ) n 1 gilt 3 diam (T ) dist T (v i, v j ) + 3 n + 2 Sei diam (T ) dist T (v i, v j ) + 3 n. Nach Satz 1.5 existiert ein Kreis C der Länge diam (T ) dist T (v i, v j ) + 3 durch v j. Zusammen mit dem kürzesten Weg von v i nach v j ergibt sich ein Pfad der Länge diam (T ) + 3. Sei diam (T ) dist T (v i, v j ) + 3 = n + 1 bzw. n + 2. Wähle einen Kreis C durch v j der Länge diam (T ) dist T (v i, v j ). Der Kreis existiert, da diam (T ) dist T (v i, v j ) n 2 3. Gehe nun entlang eines kürzesten gerichteten Weges von v i nach v j, dann entlang C, dann entlang eines Kreises der Länge 3 durch v j. Dieser Pfad hat insgesamt Länge diam (T ) + 3. v i v i v j C v j C Abbildung 3: Situation im Beweis von Satz 1.12 Definition. Eine reelle, quadratische Matrix M heißt primitiv, falls es ein k N gibt mit M k > 0 für alle k k.

10 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 9 Korollar Die Adjazenzmatrix eines Turniers T auf n Knoten ist primitiv genau dann, wenn T stark zusammenhängend ist und n 4. Beweis. " ": Ist T nicht stark zusammenhängend, existieren v i, v j V, sodass es keine Pfad von v i nach v j gibt. Also ist ( A k) = 0 für alle k N. Ist n 3, dann ist A nicht primitiv. ij " ": Für n 5 gilt Satz 1.12, für n = 4 ist nur das folgendes Turnier stark zusammenhängend mit A 9 > 0: Abbildung 4: Das einzige stark zsh. Turnier T auf 4 Knoten Satz von Perron-Frobenius. Ist M eine primitive Matrix, dann existiert ein eindeutiges Paar aus Eigenwert r > 0 und Eigenvektor s, sodass gilt VL08 lim k ( ) k M 1 = s r (ohne Beweis) Verfahren zur Rangfolgenerstellung Ist ein stark zusammenhängendes Turnier auf 3 Knoten gegeben, dann bewerte alle Spieler gleich Gilt n 4, bewerte gemäß des Perron-Frobenius-Vektor s Bewerte Spieler aus verschiedenen starken Zusammenhangskomponenten entsprechend der Kantenrichtung zwischen den starken Zusammenhangskomponenten Computational Social Choice Abbildung 5: Bewertung der ZHK 2 Flüsse und Zirkulationen Definition. Sei G = (V, E) ein gerichteter Multigraph. Ein Fluss in G ist eine Abbildung f : E R mit der Eigenschaft, dass für alle x V gilt

11 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 10 δ f (x) = e=(y,x) E f (e) e=(x,y) E f (e) δ f (x) nennen wir Bilanz oder Nettofluss in x bzgl. f. Schlingen heben sich in der Rechnung weg Abbildung 6: Ein Z-Fluss 2.1 Gruppenwertige Flüsse Definition. Sei H eine abelsche Gruppe. Ein H-wertiger Fluss ist eine Abbildung f : E H, für welche die Flusserhaltung gilt. Ein H-Fluss ist ein H-wertiger Fluss, der keiner Kante das neutrale Element zuweißt. Bemerkung. Es ergeben sich folgende Fragen: Welche Graphen haben H-Flüsse? Wieviele verschiedene H-Flüsse existieren? Reicht es aus, sich auf bekannte Gruppen zu beschränken? Satz 2.1 (Tutte, 1954). Zu jedem gerichteten Multigraphen G = (V, E) existiert ein Polynom P mit der Eigenschaft: Für jede endliche Gruppe H gibt es genau P ( H 1) viele H-Flüsse. P heißt Flusspolynom. Beweis. Induktion über die Anzahl der Kanten, die keine Schlingen sind. Sind alle Kanten von G Schlingen, ist jede Abbildung f : E H \ {e} ein H-Fluss. Es gibt ( H 1) m viele H-Flüsse, also ist P (k) = k m das gesuchte Polynom. Sei nun e 0 = (x, y) E mit x y. Betrachte G 1 = G \ e 0 und G 2 = G/e 0. Nach Induktion existieren Flusspolynome P 1 und P 2 von G 1 und G 2. Sei H eine beliebige endliche, abelsche Gruppe und k = H 1. Wir zeigen, dass die Anzahl der H-Flüsse auf G gleich P 2 (k) P 1 (k) ist. Die Anzahl der H-Flüsse auf G 1 (bzw. P 1 (k)) ist gleich der Anzahl der H-wertigen Flüsse f in G mit f (e 0 ) = 0 und f (e) 0 für alle e E \ {e 0 }. Die Menge dieser H-wertigen Flüsse auf G 1 sei F 1. Also ist F 1 = P 1 (k) Die Anzahl der H-Flüsse f in G 2 ist die Anzahl der H-wertigen Flüsse f in G mit f (e) 0 für alle e E \ {e 0 }. Diese H-wertigen Flüsse auf G seien in der Menge F 2 versammelt. Dann gilt F 2 = P 2 (k).

12 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 11 Es gilt, dass die H-Flüsse auf G genau in F 2 \ F 1 sind. Also F = F 2 F 1 = P 2 (k) P 1 (k) =: P (k) Sei f ein H-Fluss in G 2. Wir definieren den H-wertigen Fluss g in G mit g (e) = f (e) für alle e E \ {e 0 } und setzen g (e 0 ) = g (e) g (e) e=(x,x) E e=(x,x ) E\{e 0} Wir zeigen jetzt, dass die Flusserhaltung in x und y erfüllt ist. δ g (x) = g (e) g (e) = e=(x,x) E g (e) e=(x,x ) E e=(x,x) E e=(x,x ) E\{e 0} = 0 Genauso δ g (y) = g (e) g (e) = e=(y,y) E g (e) e=(y,y ) E g (e) + g (e) g (e 0 ) g (e) g (e) e=(y,y) E e=(y,y ) E e=(x,x) E e=(x,x ) E = δ f (x = y) + g (y, x) + g (x, y) g (y, x) g (x, y) = 0 Korollar 2.2. Die Existenz eines H-Flusses hängt nur von H ab VL09 Definition. Ein k-fluss ist ein Z-wertiger Fluss f mit f (e) {±1,..., ± (k 1)} für alle Kanten e E Abbildung 7: Ein 4-Fluss Definition. Die Flusszahl ϕ (G) ist die kleinste Zahl k, für die G einen k-fluss besitzt oder, wenn es keinen k-fluss gibt. Bemerkung. Es ergeben sich folgende Fragen:

13 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 12 Welche Verbindung haben H-Flüsse mit k-flüssen? Für welche Graphen G ist ϕ (G) <? Wieso ist ϕ überhaupt interessant? Lemma 2.3. Hat G einen k-fluss, dann hat G einen Z k -Fluss, wobei ({ } ) Z k = 0, 1,..., (k 1), + die Gruppe der Restklassen ist. Beweis. Sei f ein k-fluss auf G. Sei g : E Z k definiert durch g (e) = f (e) für alle e E. Es gilt g (e) = f (e) 0 für alle e E. Auch die Flusserhaltung gilt, da die Abbildung Z Z k mit i i ein Gruppenhomomorphismus ist Abbildung 8: Ein Z 4 -Fluss Satz 2.4. Ein gerichteter Multigraph G hat einen k-fluss genau dann, wenn er einen Z k -Fluss hat. Beweis. " ": Gilt nach Lemma 2.3. " ": Wir wählen aus der nichtleeren (!) Menge F der Abbildungen f : E {±1,..., ± (k 1)} mit f (e) = g (e) für alle e E eine Abbildung f 0, die minimal bzgl. v V δ f 0 (v) > 0 ist und zeigen, dass wir immer daraus einen Abbildung konstruieren können, welche die Minimalität verletzt. Drehe geeignete Kanten so um, dass f 0 (e) 0 für alle e E. Wähle einen Knoten x mit δ f0 (x) < 0 und sei X die Menge der von x aus durch gerichtete Wege erreichbare Knoten. Dann gibt es in X einen Knoten y mit δ f0 (x) > 0 und einen Weg in X von x nach y. Reduziere den Fluss auf diesen Kanten und es entsteht ein Fluss f 0 mit δf (v) 0 < δ f0 (v) v V Dies ist ein Widerspruch zur Minimalität von f 0. Daher gibt es in F immer einen k-fluss f mit v V δ f (v) = 0. gekürzt. v V

14 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 13 G X x Abbildung 9: Situation im Beweis von Satz 2.4 Bemerkung. Damit gilt G hat einen k-fluss G hat einen Z k -Fluss G hat einen H-Fluss für jede abelsche Gruppe H mit Ordnung k Bemerkung. Die Existenz von k-flüssen und H-Flüssen ist unabhängig von der Richtung der Kanten. Somit hängt die Existenz von k- und H-Flüssen nur vom zugrundeliegenden Graphen ab VL10 Definition. Wir sagen, dass ein ungerichteter Multigraph G einen k- bzw. H-Fluss besitzt, wenn eine (und damit jede) Orientierung des Graphen einen k- bzw. H-Fluss hat. Dann definieren wir ϕ (G) dementsprechend. Satz G hat einen 2-Fluss genau dann, wenn jeder Knoten geraden Grad hat 2. Ein kubischer Graph (= 3-regulär) hat einen 3-Fluss genau dann, wenn er bipartit ist 3. Ein Graph hat einen 4-Fluss genau dann, wenn er die Vereinigung zweier Graphen ist, in denen jeder Knoten geraden Grad hat 4. Jeder 4-kantenzusammenhängende Graph hat einen 4-Fluss 5. Ein kubischer Graph hat genau dann einen 4-Fluss, wenn er 3-kantenfärbbar ist Beweis. 1. Nach Satz 2.4 existiert ein 2-Fluss genau dann, wenn ein Z 2 -Fluss existiert. Sei G eine beliebige Orientierung eines Graphen G. : Ist f ein Z 2 -Fluss, dann ist δ f (v) = 0 für alle v V, d.h. d (v) = N (v) 0 mod 2. : Setze g (e) = 1 für alle e E. g ist ein Z 2 -Fluss, da δ g (v) = d (v) = Übung. Idee: " ": Auf jedem Kreis müssen abwechselnd die Flusswerte 1 und 2 sein. Daher kann kein Kreis ungerade Länge haben. " ": Orientiere konsistent in eine Richtung mit f Sei G ein Graph und D = (V, E) eine Orientierung von G. " ": Angenommen D hat einen 4-Fluss. Dann hat D auch einen Z 2 Z 2 -Fluss f. Sei G i = (V, E i ) mit E i E für i = 1, 2. Dabei ist E i = { e E f (e) i 0 }. Jede Kante e E kommt in mindestens einer der beiden Mengen vor, da f (e) (0, 0) für alle e E, also E = 2 i=1 E i und 2 i=1 G i = G. Zudem haben G 1, G 2 jeweils einen Z 2 - Fluss, d.h. nach a) haben die zugrundelegenden Graphen G 1 und G 2 die Eigenschaft, dass jeder Knoten geraden Grad hat VL11

15 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 14 " ": Sei G = G 1 G 2 ein Graph mit der Eigenschaft, dass jeder Knoten geraden Grad hat. Sei D eine Orientierung von G und seien D 1 und D 2 die Einschränkung dieser Orientierung auf G 1 bzw. G 2. Nach a) existiert ein Z 2 -Fluss f i auf G i, i = 1, 2. Sei f folgender Fluss definiert für jede e E: f (e) = ({ f 1 (e) = 1 falls e E (G 1 ), 0 sonst { f 2 (e) = 1 falls e E (G 2 ) 0 sonst ) Es gilt δ f (v) = ( 0, 0 ) für alle v V, da dies für f 1, f 2 bereits gilt. Da E E 1 E 2 gilt f (e) ( 0, 0 ) für alle e E. Folglich hat G einen Z 2 Z 2 -Fluss und somit einen 4-Fluss. 4. Wir brauchen folgenden Satz: Ein 4-kanten-zsh. Graph hat zwei kantendisjnkte Spannbäume. Sei G = (V, E) ein 4-kantenzsh. Graph. Sei D eine Orientierung von G. Seien T 1, T 2 die beiden kantendisjunkten Spannbäume. Für jede Kante e E \ T i existiert genau ein Fundamentalkreis C e,i in T i + e. Sei F e,i der Z 4 -wertige Fluss in D, der auf allen Kanten gleich 0 ist, welche nicht auf C e,i liegen und gleich i oder i sonst. Sei f 1 = e/ E(T f 1) e,1. Es gilt f 1 (e) { 1, 3 } für alle e / E (T 1 ). Zudem ist δ f1 0. Sei E 0 = {e E f 1 (e) = 0} und f 2 (e) = e E 0 f e,2. Sei f = f 1 + f 2. Es gilt f (e) = f 2 (e) = 2 für alle e E 0. Für alle e E \ E 0 gilt f (e) { 1, 3 } { } { }, weil 1, 3 + n 2 = 1, 3. Damit ist f ein Z4 -Fluss. 5. Sei G = (V, E) ein kubischer Graph und D = (V, E) eine Orientierung von G. " ": Sei f ein Z 2 Z 2 -Fluss auf D. Sei π : Z 2 Z 2 \ (0, 0) {1, 2, 3} eine Bijektion. Für e E sei e die entsprechende Kante in D. Für alle e E setze c (e) = π (f ( e )). Seien e, e E zwei verschiedene Kanten mit einem gemeinsamen Knoten v. Angenommen c (e) = c (e ), so gilt f ( ( e ) e ) = f. Unabhängig von der Orientierung ( von e, e hebt sich deren Flusswert in der Bilanz von v weg. Somit ist e ) f = ( 0, 0 ), wobei e die dritte Kante ist, die an v anliegt. Dies ist ein Widerspruch, da f ein Fluss ist. Also ist c eine 3-Kantenfärbung. " ": Sei c : E {1, 2, 3} eine 3-Kantenfärbung von G. Für jedes e E sei f ( e ) = π 1 (c (e)). Es gilt (0, 0) / Imf. Außerdem gilt δ f (v) = Damit ist f ein Z 2 Z 2 -Fluss. (u,v) E f (u, v) = π 1 (c (u, v)) (u,v) (v,u) E = (1, 0) + (0, 1) + (1, 1) = (0, 0) f (v, u) Definition. Sei T ein aufspannender Baum in G = (V, E). Für jede Kante e E\E (T ) existiert genau ein Kreis C e in T + e. Dann heißt C e Fundamentalkreis. 2.2 Flüsse & Färbungen VL12

16 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 15 Definition. Ein Multigraph heißt planar, wenn er in die Ebene gezeichnet werden kann, sodass sich keine zwei Kanten kreuzen. Definition. Jeder planare Multigraph G hat einen dualen Graphen G. Der duale Graph ist eindeutig für eine feste planare Einbettung. Abbildung 10: Ein Graph G und sein dualer Graph G. Bemerkung. Es gilt (G ) = G. Satz 2.6. Sei G ein planarer Multigraph ohne Schlingen. Dann gilt χ (G) = ϕ (G ). Beweis. Sei G ein schlingenfreier Multigraph und T ein normaler Spannbaum in G mit Wurzel r. Sei D = (V, E) eine Orientierung von G. Dabei sollen alle Kanten in T von der Wurzel wegorientiert, also {u, v} E (T ) mit u T v zu (u, v) orientiert. Kanten in E (G) \ E (T ) sind entgegen der Baumordnung orientiert. r u v Abbildung 11: Ein normaler Spannbaum mit Wurzel r " ": Da G schlingenfrei ist, ist χ (G), ϕ (G ) N. Sei D eine Orientierung von G und f ein Z k -Fluss auf D. Dabei ist k = ϕ (G ). Ohne Beweis: Es gibt eine Abbildung g : E (D) { 1,..., k 1 } wie folgt: sind e E (D) und e E (D ) duale Kanten, dann ist g (e) = ±f (e )

17 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 16 ist C = (v 1, e 1,..., v r, e r, v 1 ) ein Kreis in G, dann gilt g (e i ) g (e j ) = 0 e i=(v i,v i+1) e j=(v j+1,v j) Dabei sei v k+1 = v 1. Drehen wir die Kanten auf dem Kreis C um, welche entgegen der Kreisrichtung orientiert sind und invertieren deren g-werte, dann summieren sich die g-werte der Kreiskanten zu 0. Der Beweis benötigt die Dualität von Kreisen und Schnitten bei planaren Graphen und die Orientierbarkeit der Ebene. Für alle u V (G) setze c (u) = g (e) Z k e E(P ) wobei P der eindeutige Weg von r nach u in T ist. Die Abbildung c ist eine k-färbung, d.h. Im (c) k und c (u) c (v) für alle {u, v} E (G). Seien {u, v} E (G) mit obda e = (u, v). Ist e E (T ), dann ist c (v) c (u) = g (e) 0. Ist e = {u, v} E (G) \ E (T ), dann ist c (u) c (v) = e P uv g (e) wobei P uv ein Weg von v nach u in T ist und obda e = (u, v). Da P uv e ein gerichteter Kreis ist, gilt e P uv g (e) = g (e) Daher ist e P uv g (e) 0 und somit c (u) c (v) 0. Also ist c eine k-färbung von G Abbildung 12: Die Dualität von Kreisen und Schnitten in planaren Graphen " ": Es sei c eine k-färbung von G mit χ (G) = k. Setze g ( e ) = c (u) c (v) für alle e = (u, v) auf T. Setze g fort auf die übrigen Kanten e E ( T ), sodass sich die g-werte auf den gerichteten Fundamentalkreisen zu 0 aufaddieren. Über das Dualisierungsargument erhalten wir einen Z k -Fluss f auf D und damit auf G. Bemerkung. Der Satz gilt selbst für Graphen mit Schlingen, dann sind beide Seiten =.

18 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 17 Definition. Sei T ein Baum mit Wurzel r und u, v V (t). Ist u auf dem Weg von r nach v, so schreiben wir u T v. Diese Halbordnung heißt Baumordnung von (T, r). Definition. Einen Spannbaum T mit Wurzel r eines Multigraphen G nennen wir normal, falls für alle e = (u, v) E (G) \ E (T ) gilt u < T v oder v < T u. Lemma 2.7. Jeder zusammenhängende Multigraph hat einen normalen Spannbaum. Dessen Wurzel ist beliebig wählbar aus allen Knoten des Multigraphen. Beweis. Durchmustere den Graphen mit DFS. Dieser Suchbaum ist normal. ( Übung) 2.3 Flussvermutungen Bemerkung. Ein Multigraph mit Schnittkante hat keinen k-fluss VL13 Satz 2.8. Jeder Multigraph ohne Schnittkante hat einen k-fluss für ein k N. Beweis. Übung. Idee: Keine Schnittkante 2-zsh. stark zsh. Orientierung. Jede Kante (u, v) liegt auf einem gerichteten Kreis C uv. Setze f uv 1 auf C uv und addiere alle f uv zu f auf. Dies ist ein m-fluss auf G. Vermutung 2.9 (Tutte, 1954). Jeder Multigraph ohne Schnittkante hat einen 5-Fluss. Bemerkung. Sei P der Petersen-Graph. P ist kubisch, aber nicht 3-kantenfärbbar. Somit hat P keinen 4-Fluss. Es gilt ϕ (P ) = Abbildung 13: Der Petersen-Graph Vermutung 2.10 (Tutte, 1966). Jeder Multigraph ohne Schnittkante, der den Petersen- Graphen nicht als Minor enthält, besitzt einen 4-Fluss. Definition. Wir nennen den Graphen H Minor vom Graphen G, wenn H aus G durch Knoten- oder Kantenlöschungen bzw. Kantenkontraktionen hervorgeht.

19 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 18 Definition. Einen kubischen Graphen ohne 4-Fluss bzw. ohne 3-Kanten-Färbung nennt man einen Snark. Bemerkung. Vermutung 2.10 besagt: Jeder Snark hat den Petersen-Graphen als Minor. Ein Beweis wurde 1999 von Robertson, Seymour angekündigt, aber ist noch nicht vollständig publiziert. Dieser sogenannte Snark-Satz impliziert den 4-Farben-Satz. Beweis. Sei G planar mit einer Einbettung im R 2. Dann können wir G triangulieren, d.h. jedes Gebiet von G ist ein Dreieck. Damit ist G kubisch und ebenfalls planar. Wegen der Planarität enthält G den Petersen-Graphen nicht als Minor. Damit ist G kein Snark. Also ist G kubisch und 3-kanten-färbbar, hat also einen 4-Fluss. Mit Satz 2.6 gilt dann und G ist 4-färbbar. χ (G) = ϕ (G ) 4 Vermutung 2.11 (Tutte, 1972). Sei G ein Multigraph ohne einen Schnitt bestehend aus genau einer oder genau drei Kanten. Dann existiert ein 3-Fluss auf G. Bemerkung. Vermutung 2.11 ist wesentlich stärker als unser Satz 2.5.4, nach dem jeder 4-kanten-zusammenhängende Graph einen 4-Fluss besitzt. Bemerkung. Alle 3 Vermutungen gelten für planare Graphen. Vermutung 2.11 folgt für planare Graphen aus dem Satz 2.6 und dem folgenden Satz. Satz von Grötzsch Jeder planare Graph ohne Dreieck ist 3-färbbar. (ohne Beweis) Satz 2.13 (Seymour, 1981). Jeder Graph ohne Schnittkante hat einen 6-Fluss VL14 Beweis. Idee: Zerlege den Graphen in disjunkte Teilgraphen H j, wobei H j durch genau eine oder zwei Kanten mit j 1 i=1 H i verbunden ist und jeder Knoten in H j geraden Grad hat. H 0 H 1 H 2 H 3 H 4 Abbildung 14: Aufteilung des Graphen G in Teilgraphen H i Sei G = (V, E) ein Graph ohne Schnittkante. OBdA ist G zusammenhängend. Damit ist G 2-kantenzusammenhängend. Wir konstruieren eine Folge H 0,..., H k von disjunkten Teilgraphen von G. Jedes H i hat die Eigenschaft, dass alle Knoten geraden Grad haben und

20 2 FLÜSSE UND ZIRKULATIONEN 19 es gilt k i=0 V (H i) = V. Zudem konstruiere Kantenmengen F 1,..., F k E mit 1 F i 2, i = 1,..., k, wobei F i von H i nach i 1 j=0 H j geht. Wir schreiben H i = (H 0 H i ) + (F 1 F i ) für alle i = 0,..., k. H i ist zusammenhängend, i = 0,..., k per Induktion. Als H 0 wählen wir einen einzelnen Knoten aus G. Sagen wir, H 0,..., H i 1 und F 1..., F i 1 seien schon wie gewünscht definiert. OBdA gilt V ( H i 1) V. Wir wählen X i V \ V ( H i 1) mit X i und X i ist minimal gewählt so, dass es höchstens eine Kante zwischen X i und ( V \ V ( H i 1 )) \ X i gibt. ( V nv ( H i 1 )) nx i V ( H i 1 ) F i Xi Abbildung 15: Situation im Beweis von Satz 2.13 ( Grafikfehler ) Die Wahl von X i ist wohldefiniert, da V \ V ( H i 1) alle gewünschten Eigenschaften (außer der Minimalität) hat. Da G 2-kantenzusammenhängend ist, existieren Kanten zwischen X i und V ( H i 1). Wähle F i als zwei (falls möglich) oder eine solche Kante. Wegen der Minimalität ist der von X i induzierte Teilgraph G [X i ] 2-kantenzusamenhängend. (Satz von Menger: Zwischen je zwei Knoten aus G [X i ] existiert ein Paar von kantendisjunkten Wegen) Haben die Kanten F i zwei verschiedene Endpunkte in X i, dann wähle H i als die Vereinigung von zwei kantendisjunkten Wegen in G [X i ] zwischen diesen Endknoten. Wegen der Kantendisjunktheit hat jeder Knoten in H i geraden Grad. x y Abbildung 16: Zwei kantendisjunkte Wege enthalten nur Knoten mit geraden Grad Haben die Kanten aus F i nur einen Endknoten in X i, dann wähle H i gleich diesem Knoten. Wir setzen H = H k, wenn V ( H k) = V. Sei E = E\E (H). Sei D eine Orientierung von G. Wir definieren Z 3 -wertige Flüsse f k,..., f 0 auf D. Für jedes e E existiert ein Kreis C e durch e in H + e, da H zusammenhängend ist. Sei f e ein Z 3 -wertiger Fluss in D, welcher genau auf dem Kreis C e ungleich 0 ist. Sei f k = e E f e. Es gilt f k (e) 0 für alle e E, denn jede Kante e wird genau ein Mal mit einem Flusswert belegt. Induktiv seien f k,..., f i konstruiert, so dass f i (e) 0 für alle e E k j=i+1 F j. OBdA sei i > 0. Wir wollen f i 1 so konstruieren, dass f i 1 (e) 0 zusätzlich für alle e F i. Ist F i = 1, sagen wir F i = {e}, dann setzen wir

21 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 20 f i 1 = f i. Wir müssen f i 1 (e) 0 zeigen. Wegen F i = 1 existiert in G nur eine Kante zwischen H i 1 und X i. Wegen der Wahl von X i existiert höchstens eine Kante zwischen X i und ( V \ V ( H i 1)) X i. Da G 2-kantenzusammenhängend ist, existiert eine solche Kante e tatsächlich. Es gilt e E k j=i+1 F j. Also ist f i (e ) 0. Da {e, e } ein Schnitt ist, gilt f i (e ) = ±f i (e). Also f i 1 (e) = f i (e) 0. Sei nun F i = 2, sagen wir F i = {e 1, e 2 }. Ist f i (e 1 ) 0 und f i (e 2 ) 0, setze f i 1 = f i. Sei nun also f i (e 1 ) = 0 und obda f i (e 2 ) { 0, 1 }. Sei C ein Kreis in ( ) H i 1 F i H i = H i durch e 1 und e 2. Sei g ein Z 3 -wertiger Fluss auf D, welcher nur auf C von 0 verschieden ist und g (e 2 ) = 1 erfüllt Damit gilt g (e 1 ) 0. Da C H i gilt g (e) = 0 für alle e E j>i F j. Also ist f i+1 := f i +g der gesuchte Fluss. Schließlich ist f 0 ein Z 3 -wertiger Fluss auf D mit f 0 (e) 0 für alle e E k i=1 F i. Sei σ : Z 3 Z 6 eine Abbildung mit i 2i. Dann ist f := σ f o ein Z 6 -wertiger Fluss, weiterhin mit der gewünschten Eigenschaft. Sei g i ein 2-Fluss auf H i für alle i = 0,..., k. Sei g i der entsprechende Z 6 -Fluss auf D, für alle i = 0..., k, also g i (e) { 1, 1 = 5 }. Dann ist f + k i=0 g i ein Z 6 -Fluss auf D. Nach Satz 2.4 gilt die Behauptung. 3 Graphenfärbungen 3.1 Kritische Graphen Bemerkung. Ist k 3, dann ist das Entscheidungsproblem Ist ein gegebener Graph G k-färbbar? NP-vollständig. Demnach können wir nicht auf eine gutartige Charakterisierung der k-färbbaren Graphen (wie Satz 0.1) hoffen, sobald k VL15 Definition. Einen Graphen G = (V, E) nennen wir kritisch, wenn gilt χ (H) < χ (G) für alle echten Teilgraphen H von G. Ist χ (G) = k, so heißt G k-kritisch. Bemerkung. Nach Satz 0.1 sind die 3-kritischen Graphen genau die Kreise mit ungerader Länge. Bemerkung. Der Grötzsch-Graph ist 4-kritisch. Abbildung 17: Der Grötzsch-Graph Satz 3.1. Ist G k-kritisch, dann gilt δ (G) k 1, wobei δ (G) der Minimalgrad von G ist.

22 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 21 Beweis. Angenommen δ (G) < k 1. Sei v V mit d (v) = δ (G). Da G k-kritisch ist, gilt χ (G v) = k 1. Sei V \ {v} = k 1 i=1 V i eine (k 1)-Färbung von G v. Da v k 2 oder weniger Nachbarn in V (G v) hat, ist obda N (v) V k 1 =. Somit ist V = k 2 i=1 V i (V k 1 {v}) eine (k 1)-Färbung von G. Wiederspruch zu χ (G) = k. Korollar 3.2. In jedem k-chromatischen Graphen gibt es mindestens k Knoten vom Grad mindestens k 1. Beweis. In jedem k-chromatische Graph gibt es einen k-kritischen Teilgraphen H. Jeder Knoten in H hat Grad mindestens k 1, nach Satz 3.1. Satz 3.3. Jeder k-kritische Graph ist (k 1)-kantenzusammenhängend. Beweis. Wir zeigen zuerst folgende Aussage: Sei H = (V, E) ein Graph mit V = X Y und X Y =. Seien H [X] und H [Y ] r-färbbar und {{x, y} E x X und y Y } r 1. Dann ist H r-färbbar. (i) und Y i = c 1 y (i) Seien c x bzw. c y r-färbungen von H [X] bzw. H [Y ]. Seien X i = c 1 x für alle i = 1,..., r. Definiere den bipartiten Graphen B auf 2r Kanten. Dabei sei und V (B) = {X i, Y i i = 1,..., r} E (B) = {{X i, Y i } x X i, y Y i, (x, y) E (H)} Suche ein Matching in B, welches alle Knoten aus X überdeckt. Das Matching ist dann perfekt. Ist {X i, Y j } eine Matchingkante, dann ist X i Y j stabil und eine Farbklasse einer r-färbung von H. Nach dem Satz von Hall hat B ein perfektes Matching genau dann, wenn für alle Teilmengen Z {X 1,..., X r } gilt N (Z) = N (z) Z z Z Sei Z also beliebig gewählt, sagen wir Z = {X 1,..., X s }. Angenommen N (Z) < s, obda N (Z) {Y 1,..., Y s 1 }. Es gibt mindestens s (r s + 1) viele Nichtkanten in B. Es gilt s (r s + 1) r = r (s 1) s (s 1) 0. Somit gibt es r viele Nichtkanten in B. Damit ist v {{x, y} x X, y Y } {{X i, Y i } x X i, y Y i, {x, y} E} = # Nichtkanten in B r Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. Somit hat B ein perfektes Matching und daher ist H r-färbbar. Also gilt die Behauptung. Sei nun G ein k-kritischer Graph und V (G) = X Y mit X, Y. Angenommen es existieren höchstens (k 2) viele Kanten zwischen X und Y. Nach der Definition von k- kritisch, sind G [X] und G [Y ] (k 1)-färbbar. Wegen der geraden gezeigten Behauptung für r = k 1 ist G dann (k 1)-färbbar. Dies ist ein Widerspruch zu G k-kritisch. Definition. Eine (Knoten-)Schnittmenge ist eine Menge von Knoten X V (G) eines Graphen G mit der Eigenschaft, dass G X mehr ZHK als G hat VL16

23 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 22 X 1 X 2 Y 1 Y 2 Z N (Z).. Z N (Z) X r Y r Abbildung 18: Bipartiter Graph B aus dem Beweis von Satz 3.3 Satz 3.4. In einem kritischen Graphen gibt es keine Schnittmenge, die eine Clique ist. Beweis. Spezialfall von Übungsaufgabe. Idee: Sei S eine Schnittmenge. Angenommen S ist eine Clique und C i seien die ZHK von G\S. Dann hat C i S eine (k 1)-Färbung c i. OBdA ist c i S = c j S für alle i, j. Dann lassen sich die Färbungen c i zu einer (k 1)-Färbung c von G zusammenfügen. Dies ist ein Widerspruch zu G k-kritisch. Bemerkung. Insbesondere haben kritische Graphen keine Schnittknoten. Angenommen G kritisch hat eine Schnittmenge {u, v}. Dann gibt es keine Kante {u, v} nach Satz 3.4. Definition. Seien V 1,..., V r die Knotenmengen der Zusammenhangskomponenten von G \ {u, v}. Wir setzen G i = [V i {u, v}] und nennen G i eine {u, v}-komponente. Eine {u, v}-komponente G i nennen wir vom Typ 1, falls c (u) = c (v) für jede (k 1)-Färbung von G i ist Typ 2, falls c (u) c (v) für jede (k 1)-Färbung von G i ist Satz 3.5. Sei G k-kritisch mit Schnittmenge {u, v}. Dann gilt 1. G hat genau zwei {u, v}-komponenten G 1, G 2 ; G 1 hat Typ 1 und G 2 hat Typ 2 2. Die beiden Graphen G 1 + {u, v} und G 2 / {u, v} sind k-kritisch, wobei G 2 / {u, v} die Verschmelzung von u, v meint Beweis. 1. Wegen χ (G) = k ist jede {u, v}-komponente (k 1)-färbbar. Ist keine {u, v}-komponente vom Typ 1, dann hat jede {u, v}-komponente G i eine (k 1)-Färbung c i mit c i (u) c i (v). OBdA ist c i (u) = 1 und c i (v) = 2 für alle i. Damit ist die Zusammenführung der c i eine (k 1)-Färbung von G. Dies ist ein Widerspruch zu G k-kritisch. Analog folgt die Existenz einer {u, v}-komponente vom Typ 2. Seien diese beiden Komponenten G 1 und G 2. Da G 1 vom Typ 1 und G 2 vom Typ 2 ist, gibt es keine (k 1)-Färbung von G 1 G 2. Also ist χ (G 1 G 2 ) k und daher ist G = G 1 G Sei H 1 = G 1 + {u, v}. Da G 1 vom Typ 1 ist, gilt χ (H 1 ) k. Offensichtlich ist auch χ (H 1 ) k, d.h. χ (H 1 ) = k. Wir zeigen: H 1 ist k-kritisch, da H 1 e (k 1)-färbbar ist, für jede Kante e E (H 1 ). Der Fall e = {u, v} ist klar, da χ (H 1 e) = χ (G 1 ) k 1. Sei also e E (H 1 ) \ {u, v}. Betrachte G \ e. Sei c eine (k 1)-Färbung von

24 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 23 G \ e. Da e E (G 1 ) ist c eingeschränkt auf V (G 2 ) eine (k 1)-Färbung von G 2. Da G 2 vom Typ 2 ist, gilt c (u) c (v). Somit ist c auch eine (k 1)-Färbung von (G \ e) + {u, v} H 1 \ e. Also χ (H 1 \ e) k 1. Analog ist G 2 / {u, v} k-kritisch. G 1 G 2 Abbildung 19: Situation im Beweis von Satz 3.5 Korollar 3.6. Sei G ein k-kritischer Graph mit Schnittmenge {u, v}. Dann gilt VL17 d (u) + d (v) 3k 5 Beweis. Seien G 1, G 2 die {u, v}-komponenten nach Satz 3.5. Seien H 1 = G 1 + {u, v} und H 2 = G 2 / {u, v}. Wir wissen: H 1, H 2 sind k-kritisch, d.h. δ (H 1 ), δ (H 2 ) k 1. Somit ist d H1 (u) + d H1 (v) 2k 2 und d H2 (u = v) k 1. Also d G1 (u) + d G1 (v) 2k 4 und d G2 (u) + d G2 (v) k 1. Zusammen also d G (u) + d G (v) 3k Die Vermutung von Hadwiger Vermutung 3.7 (Hadwiger, 1943). Sei G ein Graph mit χ (G) = k. Dann enthält G einen vollständigen K k als Minor. Bemerkung. Der Fall k = 5 impliziert den Vier-Farben-Satz. Beweis. Sei G planar. Dann enthält G keinen K 5 als Minor. Damit ist aber χ (G) 4 nach der Vermutung. Bemerkung. Die Fälle mit k 6 sind gelöst, für k = 5, 6 von Robertson/Seymour/Thomas (1993). Der Beweis benutzt den Vier-Farben-Satz. Ab k = 7 ist die Vermutung offen. Satz 3.8. Sei k {1, 2, 3, 4}. Jeder Graph mit χ (G) = k enthält einen K k als Minor. Beweis. Fallunterscheidung: k 2 ist trivial. Sei k = 3. Dann enthält G einen ungeraden Kreis und damit einen K 3 als Minor. Sei k = 4. Wir zeigen folgende stärkere Eigenschaft: G enthält K 4 als topologischen Minor, d.h. K 4 geht aus G duch Löschen von Knoten oder Kanten und dem Unterdrücken von Knoten vom Grad 2 hervor. OBdA ist G 4-kritisch. Damit ist δ (G) 3 und G ist zusammenhängend; es gibt sogar keinen Schnittknoten in G. Induktion über n 4: Existiert eine Schnittmenge der Größe 2, sagen {u, v}, dann betrachte die beiden {u, v}-komponenten G 1 und G 2. Nach Induktion hat G 1 + {u, v} einen K 4 als topologischen Minor. Sei H der Teilgraph von G 1 + {u, v} der sich zu K 4 kontrahieren lässt.

25 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 24 Abbildung 20: Situation im Beweis von Satz 3.8, Fall 1 Ist H G, so sind wir fertig. Andernfalls lässt sich die Kante {u, v} durch einen Weg in G 2 von u nach v ersetzen. Andernfalls ist G 3-zusammenhängend. Wegen δ (G) 3 hat G einen Kreis C der Länge mindestens 4. Wir wählen u, v C, sodass der Abstand zwischen u und v auf C mindestens 2 ist. Da G 3-zusammenhängend ist, gibt es einen Weg P, der weder u noch v enthält und die beiden Teilstücke von C \ {u, v} verbindet OBdA ist V (P ) V (C) = {x, y}). Es gilt {u, v} {x, y} = und x, y haben Abstand 2 auf C. Wir wählen einen Weg Q, der weder x noch y enthält und die beiden Teilstücke von C \ {x, y} verbindet. OBdA V (Q) V (C) = {u, v}). Ist P Q = lässt sich C + P + Q zu einem K 4 kontrahieren. Sei also P Q. Dann sei P das kürzeste Anfangsstück von P (von x aus gesehen) mit Endknoten in Q. Dann lässt sich C + P + Q zu einem K 4 kontrahieren. u u Q Q x P y x P 0 y v v Abbildung 21: Situation im Beweis von Satz 3.8, Fall 2 Ex-Vermutung von Hajós 3.9. Ein Graph G mit χ (G) = r hat K r als topologischen Minor VL18 Bemerkung. Die Vermutung gilt für r 4, ist falsch für r 7 und offen für r = 5, 6. Bemerkung. Vermutung 3.7 sagt, dass die eindeutige, größte Klasse von H-Minor-freien Graphen, für die χ r gilt, die Klasse der K r+1 -freien Graphen ist. (d.h. es reicht aus den K r+1 als Minor zu verbieten, um χ = r zu erreichen) 3.3 Färbungen von Graphen auf Flächen Bemerkung. Planare Graphen sind die Graphen, die kreuzungsfrei in den R 2 eingebettet werden können. Frage: Was ist mit anderen Flächen, z.b. einem Torus?

26 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 25 Definition. Eine Fläche ist ein topologischer Raum, lokal homöomorph zum R 2. Ist die Fläche kompakt, dann ist sie eine geschlossene Fläche. Geschlossene Flächen sind (bis auf Homöomorphie) klassifiert. Definition. Bei der zusammenhängenden Summe von zwei Flächen schneiden wir von beiden Flächen ein kleines Stück heraus und verbinden die Löcher durch einen Schlauch. Abbildung 22: Verbundene Summe zweier Tori Satz 3.10 (Klassifikation geschlossener Flächen). Ist F eine geschlossene Fläche, dann ist F homöomorph zu genau einer dieser Flächen: S 2 die zusammenhängende Summe von Tori T 2 die zusammenhängende Summe von projektiven Ebenen RP 2 (ohne Beweis) Definition. Eine Triangulierung einer Fläche ist ein eingebetteter Graph ohne Kreuzungen, sodass jedes Gebiet ein Dreieck ist. Definition. Die Euler-Charakteristik χ einer Fläche F ist definiert durch χ = n m + f, wobei n die Anzahl der Knoten, m die Anzahl der Kanten und f die Anzahl der Gebiete einer (jeder) Triangulation ist. Satz von Euler-Poincaré. Ist G = (V, E) ein Graph, eingebettet auf F, dann gilt E 3 V 3 χ. Bemerkung. Es gilt VL19 χ ( S 2) = 2

27 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 26 χ ( T 2 T 2) = 2 (1 k), wobei k die Anzahl der Tori T 2 ist χ ( RP 2 RP 2) = 2 k, wobei k die Anzahl der projektiven Ebenen RP 2 ist Satz Sei F eine Fläche mit χ 0. Die chromatische Zahl eines auf F eingebetteten Graphen G ist höchstens 1 ( h (χ) = 7 + ) 49 24χ 2 ( χ ) bzw. O. Beweis. Sei G k-chromatisch. OBdA ist G k-kritisch. Also ist δ (G) k 1. Angenommen k h + 1. Es gilt n h + 1. Zudem ist m 3n 3χ, also Daher ist d.h. δ (G) 2m h 6 6χ h 6 6χ h + 1 h δ (G) 6 6χ h + 1 h 2 5h + 6 (χ 1) 0 Nach pq-formel gilt h < 1 ( 7 + ) 49 24χ 2 Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Definition. Die chromatische Zahl einer Fläche F ist die größte chromatische Zahl eines auf F eingebetteten Graphen. Satz Sei F eine Fläche mit χ 0 und χ (F ) / { 1, 2, 7}. Wenn es einen h-kritischen Graphen auf F gibt, so ist dieser gleich K h. Beweis. unvollst. Bemerkung. Der Satz gilt auch für χ (F ) { 1, 2, 7}. Satz Die chromatische Zahl von T 2 ist 7 und die von RP 2 RP 2 ist VL20 Beweis. Es gilt und h (0) = 1 ( ) = 7 2 E (K 7 ) = 21 = = 3 n 3 χ Somit würde K 7, sofern einbettbar, die Fläche T 2 bzw. RP 2 RP 2 triangulieren. Wir zeigen: Die einzige durch K 7 triangulierbare Fläche ist T 2. Sei F eine durch K 7 triangulierte Fläche. Die Trinagulierung liegt bis auf auf Permutation der Knoten schon fest. Dann ist F homöomorph zu T 2. Also ist die chromatische Zahl von T 2 gleich 7. Die chromatische Zahl von RP 2 RP 2 ist nach Satz 3.11 höchstens 6. Damit ist sie tatsächlich 6, denn der K 6 ist auf RP 2 RP 2 einbettbar.

28 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 27 Bemerkung. Mit Ausnahme der Kleinschen Flasche ist die chromatische Zahl jeder Fläche mit χ 0 gleich h (χ). Bemerkung. Die chromatische Zahl von RP 2 ist 6. Die chromatische Zahl von S 2 ist 4 und entspricht dem Vierfarbensatz. 3.4 Listenfärbungen Bemerkung. Gegeben N Ereignisse 1,..., N, jeweils mit einer Liste L (i) mit möglichen Terminen. Manche Ereignisse stehen in Konflikt miteinander (teilen sich Ressourcen) und dürfen nicht am selben Termin stattfinden. Wir definieren den Graphen G = (V, E) mit V = {1,..., N} und E = {{i, j} i steht im Konflikt zu j}. Wir suchen eine Färbung c : V Termine mit c (i) L (i) für alle i V und c (i) c (j) für alle {i, j} E. Angenommen es stehen für jedes Ereignis zwei Termine zur Auswahl. Der Fall L (1) = = L (N) ist nicht der schlimmstmögliche! Definition. G ist k-listenfärbbar, wenn für jedes Listensystem L : V P (N) mit L (v) k für alle v V eine Färbung existiert. Die Listenchromatische Zahl χ L (G) ist das kleinste k, für das G k-listenfärbbar ist VL21 Bemerkung. Es gilt χ L (G) χ (G). Beobachtung Für jedes k N existiert ein bipartiter Graph mit χ L (G) > k. Satz Sei G ein Graph und s N mit ( s 4 d (G) > 4 s ) log ( 2 ( )) s 4 s VL22 Dann gilt χ L (G) > s. Beweis. Beweis mit der probalistischen Methode. Sei d = d (G) und s wie im Satz gewählt. Im ersten Schritt konstruieren wir einen bipartiten Teilgraphen von G mit Minimalgrad mindetens d 4. Sei v V (G). Angenommen d G (v) < d 2. Dann ist d (G \ v) > d (G) = d. Iteratives Löschen von Knoten mit Grad weniger als d/2 liefert einen Teilgraphen G von G mit δ (G ) d(g ) 2 d(g) 2. Wir gehen zu einer unfreundlichen Partition von G über und alle Kanten welche innerhalb der Partitionsklassen verlaufen.? Der entstandene Graph B ist bipartit und hat Minimalgrad mindestens d 4. Seien U, V die Partitionsklassen von B mit OBdA U V. Sei S = { 1,..., s 4} die Menge von verfügbaren Farben. Wir weisen jedem Knoten v von B zufällig (unabhängig, gleichverteilt) eine s-elementige Teilmenge von S zu, sei dies L (v). Dann zeigen wir, dass dieses Listensystem nicht eine gültige Färbung besitzt, d.h. χ L (G) X L (B) > s. Einen Knoten u U nennen wir gut, wenn für alle X S mit X = s gilt, dass es einen Nachbarn v von u gibt mit L (v) = X. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte s-elementige Teilmenge X S nicht als Liste eines Nachbarn von u vorkommt, ist ( ( ) s 4 1 ) NB (u) 1 s

29 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 28 Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass u nicht gut ist ( ) ( ( ) s 4 s 4 1 ) NB (u) P (u nicht gut) 1 s s ( ) ( ( ) s 4 s 4 1 ) d 4 1 s s = = 1 2 ( s 4 s ( s 4 s ( s 4 s ) ) ) ( ( ) s 4 1 ) ( s 4 s ) log 1 s (e (s4s ) 1) ( s 4 s ) log ( 2 ( s 4 s )) 1 (2( s4s ) ) (2( s4s ) ) d.h. E (# gute Knoten) U 2. Also existiert eine Auswahl von Listen {L (v) v V } so, dass mindestens n 2 viele gute Knoten existieren. Diese Listen halten wir fest. Wir wählen nun Listen L (v) für alle u U zufällig. Wir zeigen: mit Wahrscheinlichkeit echt größer 0 gibt es keine Färbung für das System. Sei c : V v V L (v) mit c (v) L (v) beliebig. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit mit der sich c zu einer Listenfärbung vin B fortsetzen lässt. Sei u U gut. Dann kommt jede s-elementige Teilmenge von S als Liste eines Nachbarn von u vor. Also ist S \ {c (v) v N B (u)} s 1 Warum? Dann gilt {c (v) v N B (u)} s 4 s + 1 OBdA ist { s, s + 1,..., s 4} {c (v) v N B (u)}. Die Färbung c lässt sich auf u fortsetzen nur, wenn L (u) {1,..., s 1}. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist höchstens s s 1 s 4 < 1 s 2 Die L (v), u U sind unabhängig gewählt, d.h. für die guten Knoten ist das Ereignis, dass c fortgesetzt werden kann unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass c auf alle guten Knoten fortgesetzt werden kann ist höchstens ( ) 1 U 2 s 2 = 1 s 1 Warum? Es gilt doch U V U s V 1 Sie ist sogar echt kleiner als. Es gibt aber nur höchstens s V viele Funktionen c. s V Warum? Die Wahrscheinlichkeit, dass zu zufällig gewählten Listen {L (u) u U} eine Funktion c existiert, welche sich zu einer Listenfärbung von B fortsetzen lässt, ist kleiner als s V 1 = 1. Also existieren Listen, sodass sich keine solche Funktion c zu einer s V Listenfärbung von B fortsetzen lässt. Bemerkung. Die 5-Färbbarkeit von planaren Graphen überträgt sich auf die Listenfärbbarkeit VL23 Satz Jeder planare Graph ist 5-Listenfärbbar. Beweis. Wir zeigen eine stärkere Aussage. OBdA ist G fast-trianguliert. Dann ist G nach Lemma 3.17 mit jedem Listensystem bestehend aus mindestens 5 Farben pro Liste färbbar.

30 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 29 Definition. Ein planarer Graph G mit geeigneter Einbettung heißt fast-trianguliert, wenn die Außenregion durch einen Kreis beschränkt ist und jede Innenregion ein Dreieck ist. Abbildung 23: Ein fast-triangulierter Graph Lemma Sei G ein planarer, fast-triangulierter Graph mit Außenkreis C = (x 1, x 2,..., x k, x 1 ) Für jedes v V sei eine Liste L (v) von zulässigen Farben gegeben. Es gelte L (x 1 ) = {1}, L (x 2 ) = {2} L (x i ) 3 für alle i = 3,..., k L (v) 5 für alle inneren Knoten aus V \ C Dann besitzt G eine Listenfärbung. Beweis. Beweis durch Induktion über n. Ist n = 3, dann ist G = K 3. Wähle für x 3 eine Farbe aus L (x 3 ) \ {1, 2}. Sei also n > 3. Angenommen es gibt eine Kante {x k, x j } in G mit j k 1, d.h. j {2,..., k 2}. Wir wenden Induktion auf den Teilgraphen von G an, der aus dem Kreis C = (x 1,..., x j, x k, x 1 ) und seinem Inneren besteht. OBdA ist x j mit Farbe 1 und x k mit Farbe 2 gefärbt. Demnach können wir Induktion anwenden um den Rest zu färben. Insgesamt haben wir ganz G gefärbt. x 1 x 2 x k x 1 x k x k 1 C x j x k 1 C Abbildung 24: Situation im Beweis von Lemma 3.17 Gibt es dagegen keine solche Kante, d.h. alle Nachbarn von x k (außer x 1, x k 1 ) liegen im Inneren von C. Daher ist die Nachbarschaft von x k ein Weg von der Form (x k 1, y 1, y 2,..., y l, x 1 ) Der Graph G \ {x k } ist immer noch fast-trianguliert mit Außenkreis (x 1,..., x k 1, y 1,..., y l, x 1 )

31 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 30 Seien a, b zwei verschiedene Farben aus L (x k ) \ {1}. Setze L (v) = L (v) für alle Knoten v V (G)\{x k, y 1,..., y l } und L (y i ) = L (y i )\{a, b} für alle i {1,..., l}. Nach Induktionsvoraussetzung hat G \ {x k } eine Listenfärbung c bzgl. L. Wähle c (x k ) {a, b} \ {c (x k 1 )}. Damit ist ganz G mit c gefärbt. Bemerkung. Es gibt planare Graphen mit χ (G) = 3 und χ L (G) = 5. Somit ist Satz 3.16 bestmöglich. Bemerkung. Die listenchromatische Zahl von S 2 ist 5. Die listenchromatische Zahl jeder anderen geschlossenen Fläche ist gleich deren chromatischer Zahl. Definition. Ist jeder Kante eines Graphen eine Liste zugeordnet, können wir eine Listen-Kanten-Färbung definieren. Dabei soll jeder Kante eine Farbe aus ihrer Liste zugeordnet werden und keine zwei inzidenten Kanten dürfen die gleiche Farbe erhalten. Die der listenchromatischen Zahl entsprechende Zahl für Kantenfärbungen ist χ L, der listenchromatische Index (engl. choice index ). Vermutung Es gilt χ L (G) = χ (G) für jeden Graphen G. Bemerkung. Ein Anwendungsbeispiel ist die Turnierplanung. Gegeben seien N Mannschaften und jede Paarung soll gespielt werden. Wieviele Spieltage braucht man? Man braucht χ (K N ) viele. Angenommen die Partien können nicht zu jedem verfügbaren Termin ausgespielt werden. Für jede Partie haben wir eine Liste von möglichen Terminen vorgegeben. Wir sichen also Listenfärbungen von K N. Dann sagt die Vermutung: Sofern χ (K N ) viele Terminvorschläge für jede Partie vorhanden sind, gibt es eine zulässige Paarung. Vermutung 3.18 gilt für K n, n ungerade. Für n gerade gilt χ (K n ) = n VL24 Definition. Sei D = (V, E) ein gerichteter Graph und U V. U heißt Kern von D, wenn gilt U ist eine stabile Menge und für alle Knoten v V \ U existiert ein Knoten u U mit (v, u) E Definition. Hat jeder induzierte Teilgraph von D einen Kern, dann heißt D kernperfekt. Definition. Wir nennen H den Kantengraph (engl. line graph) von G mit V (H) = E (G) und E (H) = {{e, f} e f, e f und e, f E (G)} Satz Für bipartite Graphen gilt χ L = χ.

32 3 GRAPHENFÄRBUNGEN 31 Abbildung 25: Ein Graph G und sein Kantengraph L (G) Beweis. Seien X, Y die Partitionsklassen von G. Es sei χ (G) = k und c : E {1,..., k} eine Kantenfärbung. Wir wollen χ L (G) k. Es sei H der Kantengraph von G. Jede Kantenfärbung von G ist eine Knotenfärbung von H (und umgekehrt). Wir zeigen χ L (H) k. Nach Lemma 3.20 reicht es eine kern-perfekte Orientierung D von H zu bauen mit d + D (v) < k für alle v V (H). Dann lässt sich jedes Listensystem mit k Einträgen pro Knoten von H färben. Seien e, f zwei verschiedene Kanten in G, die an einem Knoten inzidieren, also {e, f} E (H). OBdA c (e) < c (f). Ist e f X orientiere {e, f} zu (f, e), ansonsten zu (e, f). Wir müssen noch zeigen: d + D (v) < k für alle v V (H) D ist kern-perfekt Sei e E (H) und c (e) = i. Zudem sei f N + D (v). Ist e f X, dann gilt c (f) < c (e), also c (f) {1,..., i 1}. Ist e f Y, dann gilt c (e) < c (f), also c (f) {i + 1,..., k}. Da c eine Kantenfärbung ist, gilt N + D (v) = {f e f X und c (f) {1,..., i 1}} + {f e f Y und c (f) {i + 1,..., k}} i 1 + k i = k 1 Also d + D (v) < k. Ein Kern U in D hat folgende Eigenschaften: U ist eine stabile Menge in H, also ein Matching in G Für jeden Knoten e V (G) \ U existiert ein f U mit (e, f) E (D) d.h. für jede Nicht-Matchingkante e von G existiert eine Matchingkante f mit e f und (e, f) E (D). Wir sagen ein Knoten x V präferiert eine Kante f gegenüber e, falls x e f und (e, f) E (D). Damit hat jeder Knoten eine Präferenzliste, also eine lineare Ordnung auf den angrenzenden Kanten. Ein Kern in D ist also ein stabiles Matching in G mit der Eigenschaft, dass jede Nicht-Matchingkante eine anliegende Matchingkante hat, welche gegenüber ihr präferiert wird. Somit hat D und alle induzierten Teilgraphen einen Kern. Also ist D kern-perfekt und d + D (v) < k für alle v V (D). Nach Lemma 3.20 gilt: Für jedes Listensystem {L (v) v H} und L (v) k für alle v V (H) existiert eine Färbung. Also ist χ L (H) = χ L (G) k. Lemma Es sei G = (V, E) ein Graph mit Farblisten L (v) für v V. Angenommen G hat eine Orientierung D, sodass D kern-perfekt ist und es gilt d + D (v) < L (v) für alle v V. Dann existiert eine Färbung von G bzgl. L.