Graphentheorie: Das Hamiltonische-Kreis-Problem: Definitionen, Resultate und Anwendungen

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1 Graphentheorie: Das Hamiltonische-Kreis-Problem: Definitionen, Resultate und Anwendungen Dr. Gerold Jäger Habilitationsvorlesung Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Institut für Informatik 21. April 2010

2 Ablauf 1. Wiederholung der letzten Vorlesung 2. Definition: Hamiltonisches-Kreis-Problem 3. Satz von Dirac mit Beweis 4. Anwendung 1: Springerproblem 5. Anwendung 2: Problem von Mr. No 6. Ausblick auf nächste Vorlesungen

3 Elementare Definitionen aus letzter Vorlesung Sei G = (V, E) Graph mit n := V, m := E. u, v V benachbart, falls {u, v} E. Grad von v V : Anzahl der Nachbarn von v. Notation: grad(v). d c f a b e g h i

4 Minimal-Grad von G: minimaler Grad über alle Knoten von G. Notation: δ(g). v 1, v 2,..., v k V, k n, v i paarweise verschieden. P := (v 1, v 2,..., v k ): Pfad. (Notation: Aufeinanderfolgende Knoten seien durch eine Kante verbunden.) v 1, v 2,..., v k V, k n, v i paarweise verschieden. K := (v 1, v 2,..., v k, v 1 ): Kreis. v 1, v 2,..., v k V, Z := (v 1, v 2,..., v k, v 1 ): Zyklus.

5 d c f a b e g h i Pfad (c,e,g,h) d c f a b e g h i Kreis (a,b,c,d,a) d c f a b e g h i Zyklus (a,b,c,e,g,f,c,d,a)

6 G zusammenhängend, falls es in G für je zwei verschiedene Knoten v, w V immer einen Pfad von v nach w gibt. Bemerkung: Jeder Graph zerfällt in k disjunkte Zusammenhangskomponenten V 1, V 2,..., V k V mit V = V 1 V 2 V k. Es gibt für zwei Knoten genau dann einen verbindenden Pfad, wenn sie in derselben Zusammenhangskomponente liegen. Im Fall k = 1 ist der Graph zusammenhängend. d c f j k a b e g h i 2 Zusammenhangskomponenten

7 Euler-Kreis-Problem (EKP) Euler-Kreis: Zyklus, der alle Kanten durchläuft. Euler-Kreis-Problem: Geg.: Zusammenhängender Graph G = (V, E). Frage: Existiert in G ein Euler-Kreis? Theorem: Sei G = (V, E) ein Graph. G enthält einen Euler-Kreis. G ist zusammenhängend und jeder Knoten hat geraden Grad. Theorem: Sei G = (V, E) ein Graph. Dann kann man in Laufzeit O(m) einen Euler-Kreis finden, sofern er existiert.

8 Hamiltonisches-Kreis-Problem (HKP) Definition 1: Sei G = (V, E) ein Graph. Ein Hamiltonischer Kreis ist ein Kreis mit n Knoten, d.h. ein Kreis, der alle Knoten besucht. Hamiltonisches-Kreis-Problem: Geg.: Graph G = (V, E). Frage: Existiert in G ein Hamiltonischer Kreis? Vergleich: EKP: Zyklus, der alle Kanten durchläuft.

9 Beispiel 1: Das-Haus-vom-Nikolaus e b c a Hamiltonischer Kreis (a, b, e, c, d, a) Kein Euler-Kreis d Beispiel 2 b e a c f d g Kein Hamiltonischer Kreis Euler-Kreis (a, b, c, e, f, g, c, d, a)

10 Sir William Rowan Hamilton (1857): n m r s t a l b k o f e c j d g h i q Dodekaeder p

11 n m r s t a l b k o f e c j d g h i q p Hamiltonischer Kreis auf dem Dodekaeder

12 Satz 1 (Dirac, 1952): Sei G = (V, E) ein Graph mit Minimalgrad δ(g). Falls δ(g) n/2, dann hat G einen Hamiltonischen Kreis. Beweis-Plan: a) Zeige: G ist zusammenhängend. b) Nimm einen Pfad P 1 in G. c) Konstruiere aus P 1 einen Kreis K. d) Zeige: K ist Hamiltonisch.

13 Anwendung 1: Springerproblem Mögliche Züge eines Springers beim Schachspiel

14 Frage: Gibt es eine Springer-Tour, so dass der Springer an einem Feld des Schachbretts startet, jedes weitere Feld genau einmal besucht und schließlich auf sein Ausgangsfeld zurückkehrt.

15 Modellgraph des Springerproblems

16 Formale Modellierung als HKP: Definiere G 1 = (V, E 1 ) mit V = 64 V = {v i,j 1 i, j 8} und E 1 = { {v i,j, v i,j } 1 i, j, i, j 8 ( i i = 2, j j = 1 i i = 1, j j = 2 )}

17 Es gilt: Es existiert eine Springer-Tour. G 1 enthält einen Hamiltonischen Kreis. Existenz einer Springer-Tour? Anwendung des Satzes von Dirac nicht möglich: δ(g 1 ) = 2 < 32. Antwort: Ja.

18 Springer-Tour

19 Anwendung 2: Problem von Mr. No Mr. No und Mr. Go sind zwei mystische japanische Detektive. Mr. No wohnt in dem rechten unteren Eckfeld eines Schachbretts und Mr. Go in dem linken oberen Eckfeld. Mr. No möchte Mr. Go besuchen, aber vorher auch alle anderen Felder des Schachbretts. Er darf aber in jedem Schritt nur ein Feld vertikal oder nur ein Feld horizontal gehen. Frage: Gibt es einen solchen Pfad für Mr. No?

20 Mögliche Schritte von Mr. No

21 Modellgraph des Problems von Mr. No

22 Formale Modellierung als HKP: Definiere G 2 = (V, E 2 ) mit V = 64 V = {v i,j 1 i, j 8} und E 2 = { {v i,j, v i,j } 1 i, j, i, j 8 ( i i = 1, j j = 0 i i = 0, j j = 1 i = 1, j = 8, i = 8, j = 1 )}

23 Es gilt: Es existiert ein Pfad für Mr. No. G 2 enthält einen Hamiltonischen Kreis. Existenz eines Pfads für Mr. No?

24 Anwendung des Satzes von Dirac nicht möglich: δ(g 2 ) = 2 < 32.

25 Mr. Go und Mr. No auf einem Schachbrett

26 Versuch 1 für einen Pfad für Mr. No

27 Versuch 2 für einen Pfad für Mr. No

28 Versuch 3 für einen Pfad für Mr. No

29 Antwort: Nein. Warum? Jeder Schritt von Mr. No wechselt die Farbe des besuchten Feldes. Bei Start auf einem weißen Feld müsste er nach 63 Schritten auf einem schwarzen Feld landen. Das obere linke Eckfeld ist aber weiß.

30 Ausblick auf nächste Vorlesungen HKP ist NP-hart. Polynomiale Reduktion von 3-SAT auf HKP Definition Handelsreisendenproblem (HRP) Verallgemeinerung des HKP HRP ist NP-hart. Polynomiale Reduktion von HKP auf HRP Algorithmen für das HRP

31 Kürzeste Rundreise durch Städte in Deutschland mögliche Touren Zum Vergleich: Atome im Universum

32 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!