Unimodulare lineare Programme

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1 KAPITEL 5 Unimodulare lineare Programme Wir betrachten hier eine Klasse von linearen Programmen mit der schönen Eigenschaft, dass Basislösungen automatisch ganzzahlige Komponenten haben. 1. Unimodulare und total unimodulare Matrizen 1.1. Unimodulare Matrizen. Wir nennen eine (ganzahlige) Matrix B Z k k unimodular, wenn gilt detb = 1 d.h. det B = +1 oder detb = 1. Die Grundbeobachtung ist diese: LEMMA 5.1. Sei B unimodular undb Z k beliebig. Dann hat der Vektor b = B 1 b ausschliesslich ganzzahlige Komponenten b j. Beweis. b ist die eindeutige Lösung der linearen Gleichung Bx = b. Nach der Cramerschen Regel erhalten wir für diej-te Komponente: b j = det ˆB j det B = det ˆB j. ˆB j ist die Matrix, die man aus B erhält, wenn man diej-te Spalte durch b ersetzt. Wegen ˆB j Z k k ist die Determinante ganzzahlig Total unimodulare Matrizen. Eine Matrix A = [a ij ] R m n heisst total unimodular, wenn für jede quadratische Untermatrix B von A gilt: det B { 1,0,+1}. Da die Matrixkoeffizientena ij (1 1)-Untermatrizen darstellen, muss also insbesondere gelten: a ij (= det a ij ) { 1,0+1}. Diese Bedingung ist allerdings für totale Unimodularität i.a. nicht hinreichend. 89

2 90 5. UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME BEISPIEL 5.1. Man betrachte die Matrizen [ ] [ A 1 =, A = 1 1 ], A 3 = [ ] A 1 ist unimodular aber nicht total unimodular.a 2 ist nicht unimodular.a 3 ist total unimodular. Aus der Definition folgt sofort: Jede Untermatrix einer total unimodularen Matrix ist total unimodular. A ist total unimodular A T ist total unimodular. A ist total unimodular A ist total unimodular. Wichtige Beispiele total unimodularer Matrizen kann man so konstruieren: SATZ 5.1. SeiA = [a ij ] { 1,0+1} m n eine Matrix mit der Eigenschaft: (i) Jede SpalteA j enthält höchstens zwei Koeffizientena ij 0. (ii) Für jede Spaltensumme gilt m 1 a ij +1. Dann istatotal unimodular. i=1 Beweis. Sei B eine quadratische Untermatrix von A. Enthält B keinen Einheitsvektor (oder sein Negatives) als Spalte, so sind die Spaltensummen 0. D.h. B hat nicht vollen Rang und somit det B = 0. Sei also obda ein Einheitsvektor e ein Spalte von B. Entwickeln wir detb nach dieser Spalte, so ergibt sich det B = ±1 det B, wobeib die entsprechende Teilmatrix vonb ist.b ist kleiner alsb. Also schliessen wir per Induktion : det B { 1,0,+1} und folglich det B { 1,0,+1}. Auf die gleiche Weise macht man sich leicht klar: Erweitert man eine total unimodulare Matrix A mit einem Einheitsvektoreoder e als neue Spalte, so ist die resultierende Matrix[A,±e] auch total unimodular. Erweitert man eine total unimodulare Matrix mit einem Einheitsvektore T oder e T als neuer Zeile, so erhält man wieder eine total unimodulare Matrix.

3 1. UNIMODULARE UND TOTAL UNIMODULARE MATRIZEN Inzidenzmatrizen. Ein Graph G besteht aus einer (hier: endlichen) MengeV von Knoten und einer (hier: endlichen) MengeE von Kanten und einer Inzidenzrelation so, dass für allee E gilt: Γ V E (G) 1 Γ(e) 2, wobeiγ(e) := {v V (v,e) Γ}. Im Fall Γ(e) = 1 ist e eine sog. Schlinge von G. Im Fall Γ(e) = {v,w} sindv und w die sog. Endpunkte der Kantee. BEMERKUNG. Für v V definiert man Γ(v) := {e E (v,e) Γ} als die Menge der mit dem Knoten v inzidenten Kanten. Abhängig von G kann Γ(v) beliebig gross werden. Im Fall Γ(v) = heisst der Knoten v isoliert. Wir können G orientieren, indem wir bei einer Kante e mit Γ(e) = {v,w} einen der der Endpunkte als positiv und den anderen als negativ auszeichen. Das heisst, wir ordnen der Kantee(willkürlich) Inzidenzkoeffizienten a v,e,a w,e { 1,0,+1} zu derart, dass (60) a v,e +a w,e = 0 für allee E. BEMERKUNG. im Falla w,e +1 und a v,e = 1 kann man sich (wenn man will)e als Pfeil vorstellen, der von v nach w gerichtet ist: v e w. Für die resultierende Inzidenzmatrix A = [a v,e ] R V E gilt dann offensichtlich (nach Satz 5.1: Die Inzidenzmatrix A des (orientierten) Graphen G ist total unimodular. Natürlich kann man auch eine (oder mehrere) der Kanten e umorientieren: (a v,e,a w,e ) (a v,e,a w,e ) = (a w,e,a v,e ). Die resultierende Inzidenzmatrix A entsteht A dadurch, dass die Spalten der umorientierten Kanten mit( 1) multipliziert werden. Wichtig ist dabei die Beobachtung: Bei einer Umorientierung änder sich die lineare Abhängigkeitsstruktur der Inzidenzmatrix nicht! Folglich können wir unproblematisch den Rang des Graphen G als den Rank (irgendeiner) seiner InzidenzmatrizenAdefinieren: (61) rg(g) := rg(a).

4 92 5. UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME 1.4. Wege und Wälder. Ein Weg (oder Pfad) im GraphenG = (V,E) ist eine Folge von Knoten und Kanten P = v 0 e 1 v 1 e 2 v 2...v k 1 e k v k mit Γ(e i ) = {v i 1,v i } für alle i = 1,...,k. Im Fall v k = v 0 ist der Weg P geschlossen Eine Kantenteilmenge T E, die keinen geschlossenen Weg enthält ist ein sog. Wald. Ein Wald, der alle nichtisolierten Knoten von G berührt, heisst aufspannend. SATZ 5.2. Eine TeilmengeT E ist ein Wald vong, genau dann, wenn die T entsprechenden Spalten der InzidenzmatrixAlinear unabhängig sind. Beweis. Man macht sich leicht klar, dass die Spaltensumme der Kanten eines geschlossenen Wegs den Nullvektor ergibt (Beweis?). Folglich kann eine linear unabhängige Spaltenmenge keine Teilmenge umfassen, die zu einem geschlossenen Weg gehört. Sei umgekehrt T eine Menge von Spalten derart, dass entsprechende Spaltenteilmatrix A T der Inzidenzmatrix linear abhängig ist. Wir wählen T so klein wie möglich (unter der linearen Abhängigkeitsbedingung) und bezeichnen mit V(T) die Menge der Endknoten von T. Wir wollen zeigen, dass G T = (V(T),T) einen geschlossenen Weg enthält. Sei e 1 T und {v 0,v 1 } = G(e 1 ). v 1 muss Endpunkt einer Kante e 2 T sein, da sonst die Kante e 1 von T \{e 1 } in der Inzidenzmatrix linear unabhängig wäre! (Das würde der Minimalität von T widersprechen.) So durchschreitet man der Reihe nach einen Weg v 0 e 1 v 1 e 2 v 3... Da es nur endlich viele Knoten gibt, erreicht man nach endlichen vielen Schritten einen Knoten, den man schon vorher besucht hatte. Damit ist der behauptete geschlossene Weg nachgewiesen. KOROLLAR 5.1. Ein Wald T des Graphen G ist genau dann aufspannend, wenn gilt T = rg(g). Beweis. Gäbe es einen nichtisolierten Knoten v, der mit keiner Kante in T inzidiert, dann auch eine Kante e E mit v Γ(e), die von T linear unabhängig ist. Also ist T {e} in der Inzidenzmatrix A linear unabhängig und folglich T +1 rg(g). Sei umgekehrt T aufspannend. Es gäbe aber eine von T linear unabhängige Kante e. Wir wollen daraus einen Widerspruch ableiten.

5 2. TOTAL UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME 93 Dazu teilen wir V in die maximalen Blöcke V 1,...,V k von Knoten auf, die paarweise durch Wege verbunden sind. e kann also nicht zwischen zwei verschiedenen Blöcken verlaufen. Andererseits kann aber e auch nicht zwei Knoten innerhalb eines Blockes verbinden (da sonst T {e} einen geschlossenen Weg enthielte). Also kann es eine solche Kante e nicht geben. Wir betrachten das LP 2. Total unimodulare lineare Programme (62) min x 0 ct x s.d. Ax = b und nehmen an, dass die MatrixA R m n total unimodular ist. Ist b ganzzahlig, dass folgern wir (wieder aus der Cramerschen Regel), dass jede Basislösung des linearen Programms ganzzahlige Komponenten hat. Das dazu duale LP ist (63) maxb T y s.d. A T y c. Da auch A T total unimodular ist, folgern wir auf die gleiche Weise, dass jede Basislösung des LP (63) ganzzahlige Komponenten hat sofern der Parametervektorcganzzahlig ist. Denn das Problem ist äquivalent zu maxb T y s.d. A T y A T w+is = c und y,w 0,s 0. Die Koeffizientenmatrix[A T, A T,I] des letzteren LP ist nämlich total unimodular. Das Ganzzahligkeitsmodell kann noch weiter verallgemeinert werden, indem wir zustzlich Untergrenzen l und Obergrenzen u für die Variablen gestatten. Wir betrachten dann z.b. ein LP der Art maxc T x s.d. Ax b und l x u. Die Basislösungen auch dieses LP sind ganzzahlig, sofern b,l und u ganzzahlige Parametervektoren sind. Denn wir können die Restriktionen mit einer einer total unimodularen Koeffizientenmatrix so ausdrücken: A I x I b u. l

6 94 5. UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME 2.1. Zuordnungsprobleme. Seien S und T zwei disjunkte (endliche) Mengen. Jedem s S steht eine Quantität b s zur Verfügung. Jedes t T soll eine vorgeschriebene Quantität d t erhalten. Wir nehmen an, dass der Transport vonx st 0 Einheiten vonsnachtdie Kostenc st x st verursacht. Wir modellieren die Suche nach einem kostenminimalen Transportmodus mit dem Graphen G = (S T,E = S T), dessen Kanten (s,t), wir als von s nach t orientiert interpretieren. Dann ergibt sich das lineare Programm min x st 0 c st x st s.d. (s,t) x st b s t T s S x st d t t T. mit einer total unimodularen Koeffizientenmatrix. Also finden wir: s S Sind die b s und d t ganze Zahlen, dann ist jede Basislösung des Transportproblems ganzzahlig. Ein Spezialfall ergibt sich aus dem sog. (bipartiten) Matchingproblem: Wir suchen eine Menge M von paarweise disjunkten Kanten (s,t) S T derart, dass der Wert w(m) = w(s, t) (s,t) M möglichst gross ist. Dabei ist w : S T R eine vorgegebene Bewertungsfunktion der Kanten. Dazu betrachten wir das lineare Programm w st x st s.d. x st 1 s S max x st 0 (s,t) t T x st 1 t T. s S Eine optimale Basislösung x ist ganzzahlig und hat deshalb alle Komponenten x st {0,1}. Man macht sich leicht klar, dass eine Basislösung einem Matching entspricht (und umgekehrt!) Kürzeste Wege. Sei G = (V, E) ein gerichteter (d.h. orientierter) Graph mit InzidenzmatrixA. Der Weg P = v 0 e 1 v 1 e 2 v 3...v k 1 e k v k heisst gerichtet, wenn jede der Kanten e i P vom Endknoten v i 1 zum Endknoten v i orientiert ist. Ausserdem sei mit d : E R + eine Distanzfunktion gegeben, welche die Länge einer Kante angibt. Wir definieren

7 die Länge von P 2. TOTAL UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME 95 d(p) := d(e 1 )+d(e 2 )+...+d(e k ). Seien s, t V vorgegeben. Wir suchen einen gerichteten Weg kürzester Länge von s nach t. Dazu betrachten wir das lineare Programm (64) min d e x e s.d Ax = b, x 0 e E wobeib R V der Vektor ist mit den Komponenten 1 fürv = s b v = 1 fürv = t 0 sonst. Jeder gerichtete Weg P = se 1 v 1 e 2 v 3...v k 1 e k t ergibt eine zulässige Lösungx (P) des linearen Programms mit den Komponenten { 1 füre P x (P) e = 0 sonst. LEMMA 5.2. Sei x 0 eine Basislösung des linearen Programms (64), dann enthält die Menge einen gerichteten Weg vonsnacht. tr(x) = {e E x e > 0} Beweis. Den behaupteten Weg kann man leicht konstruieren. Wegen a se x e = b s = 1 e gibt es eine Kante e 1 tr(x) mit Γ(e 1 ) = {s,v 1 }. Im Fall v 1 = t, ist der Weg gefunden. Ansonsten gibt es wegen x e1 + e e 1 a v1 ex e = e a v1 ex e = b v1 = 0 eine Kante e 2 tr(x) mit Γ(e 2 ) = {v 1,v 2 }. Im Fall v 2 = t ist der Weg gefunden. Ansonsten folgt man einer Kante e 3 tr(x) mitγ(e 3 ) = {v 2,v 3 } usw. Nach endlich vielen Schritten muss man t erreicht haben, da tr(x) keine geschlossenen Wege enthält. BEMERKUNG. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass bei einer zulässigen Basislösung x der Träger tr(x) schon den Weg s nach t darstellt.

8 96 5. UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME Dijkstras Algorithmus. In der Praxis wird man einen kürzesten Weg nicht mit allgemeiner LP-Software als Lösung von (64) berechnen, sondern ein auf das Problem speziell zugeschnittenes Verfahren benutzen. Es gibt viele solcher Verfahren. Eines der effizientesten ist der folgende Algorithmus von Dijkstra. OBdA gehen wir davon aus, dass es von einem Knoten v zu einem Knoten w höchstens eine Kanteegibt, die wir somit als das Knotenpaar(v,w) eindeutig darstellen können. Wenn von v nach w keine Kante existiert, setzen wir d vw =. Dijkstras Algorithmus berechnet die kürzesten Wege von s zu allen übrigen Knoten. Man stoppt natürlich, sobald manterreicht hat. (D0) Setzey s 0,S {s} und y v d sv für allev V \S. (D1) Solanget / S gilt, wähle einv V \S mit minimalemy v, setze S S {v} und datiere auf: y w min{y w,y v +d vw } für allew V \S. Man sieht leicht per Induktion (über S ): LEMMA 5.3. In jedem Stadium des Algorithmus von Dijkstra gilt: Die Wertey v der Knoten v S geben genau die minimale Entfernung von s nach v an. Aus der Dijkstra-Lösung y lässt sich leicht ein kürzester Weg von s nach t durch Zurückrechnen gewinnen: Man beginnt bei t und sucht einv 1 S \{t} mit y t = y v1 +d v1,t. Nun sucht man einv 2 S \{t,v 1 } mit usw., bis man bei s angelangt ist. y v1 = y v2 +d v2,v 1

9 3. ZIRKULATIONEN UND DAS MAX-FLOW-MIN-CUT-THEOREM Zirkulationen und das MAX-Flow-MIN-Cut-Theorem Der einfacheren Notation halber nehmen wir hier an, dass die Kanten des gerichteten Graphen G = (V, E) genau den Knotenpaaren entsprechen. D.h. E = V V. Ein Fluss auf G ist ein Vektor x R E. Der (Netto-)Durchfluss von x im Knotenv ist δ v (x) = w V x vw u V x uv = e Ea v,e x e, wobei A = [a v,e ] die Inzidenzmatrix von G ist. Der Vektor aller Knotendurchflüsse ist somit in Matrixnotation δ(x) = Ax. Sind alle Nettodurchflüsse0, so istxeine sog. Zirkulation aufg. D.h. x ist Zirkulation x ker A. Sei nun f = (t, s) E eine festgewählte Kante und x eine Zirkulation auf G = (V,E). Stellen wir uns vor, dass die Kantef ingblockiert wird. Dann stellen die übrigen Kantenflusswertex e (e f) einen Fluss auf G f = (V,E \{f}) dar, wo in s ein Nettoabfluss und bei t ein Nettozufluss in Höhe von x f stattfindet. Mit anderen Worten: Die Einschränkung vonxaufg f beschreibt den Transport eines Gutes der Quantitätx f von der Quelleszur Senketentlang den Kanten von G f, wobei bei keinem Knoten v V \ {s,t} etwas verloren geht oder hinzugewonnen wird. Unter der Annahme, dass jede Kante e E\{f} einer Kapazitätsschranke c e 0 unterliegt, sucht man im Ford-Fulkerson-Problem nach einer nichtnegativen Zirkulationx, die den Transportwertx f maximiert: (65) max x f s.d. δ v (x) = 0 für allev V 0 x e c e für allee E \{f} Das zugehörige duale lineare Programm ist:

10 98 5. UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME (66) min c e z e e E s.d. y w y v + z e 0 für allee = (v,w) f y s y t + z f 1 z e Augmentierende Wege und Schnitte. Sei x 0 eine zulässige Lösung von (65). Wie könnte man diese verbessern? Dazu betrachten wir einen (nicht notwendig gerichteten) Weg P = v 0 e 1 v 1 e 2...v k 1 e k v k von v 0 = s nach v k = t. Im Fall e i = (v i 1,v i ) ist e i eine sog. Vorwärtskante und im Fall e i = (v i,v i 1 ) eine Rückwärtskante von P. P + und P seien die Menge aller Vorwärts- bzw. Rückwärtskanten von P. Wir setzen ε := min{ε +,ε }, wobei ε + := min{x vw c vw (v,w) P + } ε := min{x ur (u,r) P }, und nennen P einen x augmentierenden Weg, wenn ε > 0 erfüllt ist. Ist P augmentierend, dann können wir leicht eine bessere Zirkulation konstruieren: Wir erhören x e umεauf der Kantee P + und erniedrigenx e um ε auf jeder Kantee P. (Die übrigen Kanten bleiben unberührt.) Man sieht leicht: Es resultiert eine zulässige Zirkulationx mit Wert x f = x f +ε. Suche nach augementierenden Wegen. Um einen x augmentierenden Weg (sofern er existiert) gezielt zu suchen, betrachten wir den Hilfgraphen G(x) auf den KnotenmengeV mit der Kantenmenge E(x) = {(v,w) V V x vw < c vw oderx wv > 0}. Man macht sich leicht klar: Die gerichteten Wege von s nach t in G(x) entsprechen genau den x augmentierenden Wegen. Ob t in G(x) von s erreichbar ist (d.h. ob ein augmentierender Weg existiert), kann man folglich mit dem Algorithmus von Dijkstra feststellen z.b. mit der Distanzfunktion d vw = 1 für alle Kanten (vw) E(x).

11 3. ZIRKULATIONEN UND DAS MAX-FLOW-MIN-CUT-THEOREM 99 Schnitte. Sei allgemein S V eine Knotenmenge mit s S. Dann bestimmts einen sog.s-schnitt der Kapazität [S] = {(v,w) E v S,w / S} c[s] = e [S]c e. LEMMA 5.4 (Schnittlemma). Sei x eine zulässige Zirkulation auf G und S V mits S und t / S. Dann gilt Dann gilt x f c[s] Beweis. Wir setzen y v = 1 für alle v S und y v = 0 für v / S. Ausserdem wählen wirz e = 1 für e [S] und z e = 0 sonst. Dann erhalten wir eine zulässige Lösung des dualen Problems (66) mit Zielfunktionswert c e z e = c[s]. e E Die schwache Dualität der linearen Programmierung impliziert damit die behauptete Ungleichung. Sei wie vorherx 0 eine zulässige Zirkulation unds die Menge aller von s in G(x) erreichbaren Knoten. Im Fall t / S ergibt sich nach Definition von G(x) und der Knotenmenge S für eine Kante e = (v, w) E \{f}: { ce wennv S undw V \S x e = 0 wenn v V \S undw S. Also schliessen wir, dass x optimal ist. Denn x f = e [S]x e = c[s] (Beweis?). SATZ 5.3 (Ford-Fulkerson). Eine zulässige Zirkulation x ist optimal für (65) genau denn, wenn es im Hilfsgraphen G(x) keinen augmentierenden Weg von s nachtgibt. Das lineare Programm (65) hat auf jeden Fall x = 0 als zulässige Lösung. Also erhalten wir unter den obigen Voraussetzungen eine kombinatorische (graphentheoretische) Form der LP-Dualität:

12 UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME KOROLLAR 5.2 (MAX-Flow-MIN-Cut). max{x f x zulässig für (65)} = min{c[s] s S V \{t}} Der Algorithmus von Ford-Fulkerson. Die vorangegangene Analyse des Ford-Fulkerson-Problems (65) legt folgenden Algorithmus nahe: (FF0) Beginne mit x = 0 als Startlösung und suche (über den HilfsgraphenG(x)) einen augmentierenden WegP vonsnach t. (FF1) STOP, wenn P nicht existiert: x ist optimal. (FF2) Wenn P existiert, modifiziere x entlang P zu dem verbesserten zulässigen Flussx mitx f = x f+ε und iteriere nun mitx anstelle vonx. SATZ 5.4. Wenn man die augmentierenden Wege im FF-Algorithm mit dem Dijkstra-Algorithmus berechnet, benötigt man insgesamt weniger als V 3 Augementierungsschritte. Beweis. Wir betrachten eine momentane Zirkulation x und nehmen an, dass der kürzeste augmentierende Weg in G(x) k Kanten hat. Sei F(x) die Vereinigung aller Kanten in kürzesten augmentierenden Wegen. P sei ein konkreter kürzester augmentierender Weg. Nach der Augmentierung entlang P erhält man eine Zirkulation x so, dass F(x ) mindestens eine der Kanten aus F(x) nicht mehr enthält. Neue Kanten können natürlich bei E(x ) auftreten. Diese neuen Kanten sind aber entweder parallel oder antiparallel zu Kanten in P. Man kann sich nun überlegen, dass mit diesen Kanten keine neuen augmentierenden Wege mit k Kanten möglich werden (s. Lemma 5.5). Also fallen die Kardinalitäten F(x) jeweils um mindestens eins bis E(x) keinen augmentierenden Weg der Länge k mehr gestattet. Da ein kürzester augementierender Weg V Kanten durchläuft, gibt es insgesamt weniger als Iterationen. V E = V 3 LEMMA 5.5. Sei G = (V,E) ein gerichteter Graph und P ein gerichteter Weg vonsnachtmit einer minimalen Anzahlk von Kanten. Wenn man nun zu E Kanten hinzufügt, die zu Kanten von P antiparallel sind, entsteht kein neuer gerichteter Weg vonsnachtmit k Kanten. Beweis. Sei A die Inzidenzmatrix von G. Wir betrachten das LP, das Weglänge minimiert, min x 0 1T x s.d. Ax = b,

13 4. KOMBINATORISCHE OPTIMIERUNG 101 mit der Optimallösung x (P) sowie das zugehörige duale LP maxy T b (= y t y s ) s.d. y T A 1 T. Ist nun (v,w) eine Kante von P, dann hat (wegen x (P) vw = 1 > 0 eine duale Optimallösung y nach den Bedingungen des komplementären Schlupfes die Eigenschaft y w y v = 1. Wird nun die Kante (w,v) hinzugefügt, so ergibt sich bei dieser Kante (67) yv y w = y v 1 y v = 1 < 1. Das heisst: y ist auch im erweiteren dualen Problem eine zulässige Lösung und auch (wegen yt y s = k) weitherhin optimal. Argumentieren wir nun mit dem komplementären Schlupf in die umgekehrte Richtung, so finden wir, dass (w, v) in keiner primalen Optimallösung nichttrivial vertreten sein kann. 4. Kombinatorische Optimierung Die Techniken der vorangehenden Abschnitte können oft ausgebaut werden, um diskrete Optimierungsprobleme zu lösen und deren kombinatorische Struktur zu analysieren. Wir geben hier nur zwei kleine Beispiele Minimale aufspannende Wälder. Sei G = (V, E) ein (ungerichteter) Graph und c : E R eine Kantengewichtsfunktion. Für jede TeilmengeK E setzen wir c(k) := e Kc e. Wir suchen einen aufspannenden Wald T E mit möglichst kleinem Gesamtgewicht c(t). OBdA dürfen wir dabei annehmen, dass G zusammenhängend ist, d.h. dass je zwei Knoten in G über einen Weg verbunden sind. (Sonst lösen wir das Problem separat auf jeder der Zusammenhangskomponenten.) Im Algorithmus benutzen wir die Notation δ(u) := {e E U Γ(e) (V \U) Γ(e)}. PRIMS ALGORITHMUS: (P0) Wähle ein s V und setzes := {s},t :=. (P1) Istδ(S) =, stopp. (P2) Wähle ein e δ(u) mit minimalem Gewicht c e und datiere auf: T [T {e}] und U [U Γ(e)]. (P3) Gehe zu (P1).

14 UNIMODULARE LINEARE PROGRAMME SATZ 5.5. Der Algorithmus von Prim produziert einen minimalen aufspannenden WaldT. Beweis. Es ist klar, dass die Konstruktion von T an keiner Stelle einen geschlossenen Weg gestattet. Der Algorithmus gibt also am Ende einen aufspanndenden Wald aus. Wir zeigen nun induktiv, dass in jeder Iteration die konstruierte Menge T in einem optimalen aufspannenden Wald enthalten ist. (Folglich muss T am Ende selber optimal sein.) SeiT also optimal mitt T unde δ(s) die vom Algorithmus gewählte neue Kante. Wenn e T gilt, hat man natürlich T {e} T. Sei alsoe / T. Dann enthältt {e} einen geschlossenen WegP mite P. Der Weg P = P \{e} verbindet einen Knoten v S mit einem Knoten w V \S. Also muss P eine Kante f δ(s) enthalten. Da e δ(s) gewichtsminimal gewählt war, haben wirc f c e. Folglich ist T = (T \f) e auch ein gewichtsminimaler aufspannender Wald und es gilt: T (T e). BEMERKUNG. Man beachte die formale Ähnlichkeit der Algorithmen von Prim und Dijkstra! 4.2. Der Satz von König-Egervary. Wir betrachten das Matchingproblem bzgl. der disjunkten Mengen S und T bzgl. der Gewichtsfunktion w(s,t) {,+1}. w(s,t) = kann man so interpretieren, dass(s,t) für ein Matching nicht zur Verfügung steht. Wir wollen also ein Matching mit möglichst vielen zulässigen Kanten der Menge E = {(s,t) S T w(s,t) = 1}. BEMERKUNG. G = (S T,E) ist ein sog. bipartiter Graph. Die Aufgabe, ein maximales Matching zu berechnen, erweist sich als ein Spezialfall des FF-Problems. Dazu betrachten wir den Graphen G = (V, E), mit zwei neuen Knoten s 0, t 0, d.h. V = (S T {s 0,t 0 },E, und Kantenmenge E = E {(s 0,s) s S} {(t,t 0 ) t T} {(t 0,s 0 }

15 4. KOMBINATORISCHE OPTIMIERUNG 103 Beschränken wir nun die Kapazität der Kanten vom Typ (s 0,s) und (t,t 0 ) auf 1 (und + sonst), so berechnet der FF-Algorithmus einen Vektor x {0,1} E mit maximalem Flusswert x (t0,s 0 ) = e Ex e. Folglich istm = {e E x e = 1} ein maximales Matching in G. Unter einer (Kanten-)Überdeckung von G = (S T, E) versteht man eine Menge von Knoten(!)C S T mit der Eigenschaft (v,w) E = v C oderw C. C muss mindestens die Mächtigkeit eines beliebigen Matchings M haben, denn jede Kante aus M muss ja durch C abgedeckt sein: C M. Sei andererseits M ein maximales Matching, das nach dem FF-Algorithmus konstruiert wurde undc die Menge aller Knoten die vons 0 noch erreichbar sind. Wegen c[c] = M <, kann es kein e E geben, das vons C nach T \C verläuft. Also ist C = (S \C) (T C) eine Überdeckung und hat Mächtigkeit C = S \C + T C = c[c] = M. SATZ 5.6 (König/Egervary). Sei G = (S T, E) bipartit. Dann gilt max{ M M Matching} = min{ C C Überdeckung.} BEMERKUNG. Das Matching- und Überdeckungsproblem kann sinnvoll auch im Fall T = S (d.h. E S S) formuliert werden. Während das Matchingproblem (mit etwas mehr Aufwand) noch effizient lösbar bleibt, ist in dieser Allgemeinheit kein effizienter Algorithmus für das analoge Überdeckungsproblem bekannt. Insbesondere gilt der Satz von König/Egervary in diesem Rahmen nicht mehr. BEMERKUNG. Der Satz von König/Egervary ist die Grundlage vieler Minimax-Sätze in der Kombinatorik.