46. Aufgabe (4 Punkte) Verständnisfragen: a) Was besagt die Church sche-these?

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1 Formle Methoden der Informtik WS 00/0 Lehrstuhl für Dtenbnken und Künstliche Intelligenz ProfDrDrFJRdermcher H Ünver T Rehfeld J Dollinger 9 Aufgbenbltt Besprechung in den Tutorien vom 00 (b Übungstermin) bis 900 (bis Übungstermin) Aufgbe ( Punkte) Verständnisfrgen: ) Ws besgt die Church sche-these? Jeder sinnvolle Berechenbrkeitsbegriff ist äquivlent zur Turingberechenbrkeit bzw µ-rekursion bzw Algorithmen (mit WHILE-Bedingungen) Eine (prtielle) Funktion f : N n N ist genu dnn im intuitiven Sinne (prtiell) berechenbr, wenn sie (prtiell) turing-berechenbr ist b) Welche Arten von Komplexitätsbetrchtungen knn mn unterscheiden? Bei der Komplexität eines Algorithmus oder eines Progrmmes knn mn nch verschiedenen Kriterien optimieren (die miteinnder oftmls konkurrieren und sich teilweise gegenseitig behindern oder sogr gegenseitig usschließen): Zeitbedrf bzw Anzhl der Schritte bei der Ausführung (möglichst kurze Duer) Länge des Progrmmes bzw der Beschreibung des Verfhrens (möglichst kurzes Progrmm) Größe des benötigten Speicherbedrfs bzw Menge der (zwischenzeitlich) zu merkenden Informtionen (möglichst wenig Speicher) c) Woruf bezieht sich immer dieses n bei den Komplexitätsbetrchtungen? Auf die Anzhl der Dtenmenge, die vom Algorithmus berbeitet wird Beispiele: beim Dijkstr (kürzester Weg): die Anzhl der Knoten im Grph, beim schriftlichen Multiplizieren zweier Zhlen (nch der Schulmethode): die Länge (Anzhl der Stellen) der Zhlen, bei Sortierproblemen: die Anzhl der zu sortierenden Dten, bei Suchproblemen: die Anzhl der Dten, in denen gesucht wird d) Welche Fälle betrchtet mn meistens (minimler Aufwnd / durchschnittlicher Aufwnd / mximler Aufwnd)? Es gibt in der Tt Betrchtungen zu llen diesen Fällen (und noch einigen weiteren) Meist spricht mn bei der Komplexität von der sogennnten worst cse Komplexität (der schlimmste nzunehmende Fll) Dmit ht mn eine obere Abschätzung für den Algorithmus (und meist ist diese Betrchtung uch schon ussgekräftig genug) Zur Bestimmung ist häufig eine eher oberflächliche Betrchtung des Algorithmus und seiner Abläufe bereits usreichend Bei mnchen Algorithmen unterscheidet sich die sogennnte verge cse Komplexität (durchschnittlicher Aufwnd) ber doch deutlich vom schlimmsten nzunehmenden Fll Zur Bestimmung ist hier meist eine recht genue Komplexiätsnlyse notwendig, d mn hier insbesondere die Häufigkeit (und Whrscheinlichkeit) der im Algorithmus uftretenden Fälle berücksichtigen muss Eine Miniml-Aufwndsbetrchtung knn mnchml interessnt sein, um zu sehen, wie groß der Aufwnd mindestens (bestenflls) schon sein wird, wird ber eher selten durchgeführt

2 e) Ws versteht mn unter Komplexitätsklssen? Meist werden keine exkten Angben zb über die genue Schrittzhl bei einem Verfhren benötigt Insbesondere wird (meist) nicht mehr ufgeführt, ob es Bereiche im Algorithmus gibt, die (für sich genommen) einen höheren oder niedrigeren Aufwnd besitzen (immer gemessen n der Dtenmenge n) In solchen Fällen werden die verschiedenen Aufwände der Bereiche in eher grobe Klssen unterteilt (zb O(n),O(log n),o(n ),O(e n )), zusmmengeworfen und der größte Aufwnd im Algorithmus überwiegt dnn (siehe uch Aufgbe 0) f) Wie ermittelt mn die Komplexität eines Algorithmus? Im wesentlichen durch Betrchtung der Struktur des Algorithmus Mn Unterteilt den Algorithmus in verschiedene Bereichte: (vor und nch einer Wiederholungsschleife / innerhlb einer Wiederholungsscheife / Bereich, der rekursiv ufgerufen wird und sich deshlb immer wieder wiederholt / etc) Jeder dieser Bereiche (insbesondere zunächst die innersten ) erhält erstml eine eigene Bewertung (in O-Nottion) Sequenz von Anweisungen konstnter Aufwnd = O() Wiederholungsschleife Wie oft wird die Schleife (im Verhältnis zu n) wiederholt? (zb n ml einfche Wiederholung / log n ml bei Intervll-Teilung) (mn chte uf die Schleifenbedingungen) Der Aufwnd im inneren der Schleife wird mit dieser Anzhl (usgedrückt bhängig von n) multipliziert Dies gilt insbesondere für geschchtelte Schleifen Rekursion bhängig von der Art der Rekursion wird der Aufwnd des inneren der Rekursion wieder mit der Anzhl der Wiederholungen multipliziert (zb linere Rekursion n Wiederholungen / bumrtige Rekursion n Wiederholungen / Intervll-Teilung log n Wiederholungen / etc) g) Welche Rechenregeln gibt es für die O-Nottion? O(α x) =α O(x) =O(x), mit α =const,x = x(n) O(x) O(y) =O(x y), mit x = x(n),y = y(n) O(klein)+O(groß) = O(groß) h) Ws ist eine Clique? Ein vollständiger Untergrph (im Sinne von: lle Knoten sind mit llen nderen Knten des Untergrphen verbunden)

3 7 Aufgbe ( Punkte) Post sches Korrespondenzproblem: Mn zeige, dss die folgenden post schen Korrespondenzprobleme eine Lösung hben: ) (x,y ) = (bb, ), (x,y ) = (, b), (x,y ) = (b, b),,, bbb = b) (x,y ) = (b, ), (x,y ) = (b, b), (x,y ) = (, b) x,,, bbb = b x x b x b x bb = b b x y y b y y b = b b b x x y y y y 8 Aufgbe ( Punkte) Gme of Life: Geben Sie (ohne Hilfe des Simultors) die nächsten drei Itertionen n unter Angbe der verwendeten Regeln ) Regeln: Zellen mit nur einem Nchbrn sterben us Zellen mit zwei Nchbrn verändern sich nicht Zellen mit drei Nchbrn kommen neu hinzu Zellen mit vier oder mehr Nchbrn sterben us Durch Symmetrie setzt sich der Ausschnitt fort

4 b) 9 Aufgbe ( Punkte) Komplexität verschiedener Algorithmen: Geben Sie zu den gegebenen Aufgben die Komplexität des Problems in O-Nottion n: ) Suchen eines beliebigen Elementes in einer unsortierten Liste (zb Zhlen) der Länge n O(n) b) Suchen eines beliebigen Nmens im Telefonbuch (mit n Einträgen im Telefonbuch) Hinweis: Denken Sie n die in der Vorlesung diskutierte Intervll-Teilung O(log n) c) Multiplizieren von zwei n-stelligen Zhlen nch der Schulmethode O(n ) d) Multiplizieren von zwei n n-mtrizen nch der Schulmethode O(n )

5 0 Aufgbe ( Punkte) Komplexität des Trvelling Slesmn Problems: Stellen Sie sich einen Aussendienstmitrbeiter vor, der n Kunden ncheinnder besuchen soll Die Aufgbe soll nun sein, die Reiseroute zu finden, die zu llen Kunden und dnch wieder zurück führt Für jede Wegstrecke ist deshlb die Entfernung ngegeben Zur Vereinfchung wollen wir die Bedingungen für die Reiseroute so wählen, dss es zwischen jeweils zwei Kunden immer einen Weg gibt und dss jeder Kunde nur einml ufgesucht werden drf Mit diesen Einschränkungen hben lle Reiserouten die gleiche Anzhl n Teilstrecken Als Beispiel sei folgendes Wegenetz mit Ausgngspunkt(A) und den Kunden (K bis K ) gegeben K 7 K K K K A 9 ) Wieviele Möglichkeiten für gültige Reiserouten gibt es? Kombintorische Möglichkeiten:! = = 0 b) Welches ist die optimle Reiseroute? Nch welcher Methode suchen Sie diese? A K K K K K A oder rückwärts Suchmethode: Alle usprobieren! Dies ist die Suche nch der kürzesten Rundreise (Hmiltonkreis im Grphen) Beduerlicherweise gibt es keinen effizienten Algorithmus, um nch der kürzesten Rundreise zu suchen (zumindest, wenn mn ds exkte Ergebnis wünscht dnn hilft eben nur ds systemtische Ausprobieren) c) Wieviele verschiedene Reiserouten gibt es bei, 0 und 00 Kunden? Bei Kunden: (siehe oben)! = 0 Bei 0 Kunden: 0! = Bei 00 Kunden 00! = d) Ws bedeutet ds für die Suche nch der optimlen Reiseroute? D die Anzhl der zu überprüfenden Reiserouten ziemlich schnell mit n steigt, knn mn die Berechnung nur für kleine n überhupt durchführen! e) Wenn ein Computer heute die Lösung für 0 Kunden in kzeptbler Zeit berechnen könnte, für wieviele Kunden könnte dnn ein um den Fktor 0 schnellerer Computer eine Lösung mit dem gleichen Algorithmus berechnen? Auch nur für 0 oder

6 Aufgbe ( Punkte) Reihenfolge verschiedener O-Funktionen: Gegeben sind folgende Komplexitäten in O-Nottion Bringen Sie diese in die richtige Reihenfolge Hinweis: Bechten Sie, welche der Funktionen für sehr große n schneller wchsen i O(n ) ii O(e n ) iii O(n) iv O(n!) v O( n) vi O(n ) vii O(log n) viii O(n log n) ix O() x O(n n ) xi O(n 9 ) xii O(00 n ) xiii O((n n ) n ) xiv O(n (nn) ) O() <O(log n) <O(n) <O( n) <O(n log n) <O(n ) <O(n ) <O(n 9 ) <O(00 n ) < O(e n ) <O(n!) <O(n n ) <O((n n ) n ) <O(n (nn ) O(n n n ) Aufgbe ( Punkte) Prtition: Ds Prtitionsproblem (uch Zhlenufteilungsproblem, oft mit Prtition notiert) ist ein Optimierungs- bzw Entscheidungsproblem der Kombintorik Die Aufgbenstellung beim Prtitionsproblem lutet: Gegeben sei eine (Multi-)Menge von (positiven) Zhlen Gesucht wird eine Aufteilung dieser Zhlen uf zwei Hufen, so dss die Differenz der Summen der Zhlen in den beiden Hufen möglichst klein ist Eine äquivlente Formulierung lutet präziser: Gegeben sei eine (Multi-)Menge A von N positiven Zhlen i Gesucht wird eine Untermenge A A, sodss E := i i A A\A i miniml wird Ist die Summe ller N Zhlen ungerde, so ist die minimle Differenz E min eins, nsonsten null Eine Aufteilung, für die E = E min ist, heißt perfekte Aufteilung Im folgenden sind einige Zhlenfolgen gegeben Finden Sie eine perfekte Aufteilung oder begründen Sie, wrum keine möglich ist ), 7,,,, 7, 0,, A = {, 7,, 7, } und A = {,, 0, } b),,, 8, 0,,,, 8 Nicht möglich Die Gesmtsumme der Folge beläuft sich uf 90 Eine perfekte Aufteilung in zwei Teilmengen müsste jeweils eine Summe von ergeben D nur gerdezhlenzur Verfügung stehen, ist eine Summe von nicht erreichbr Eine mögliche minimle Aufteilung (nicht verlngt) wäre: A = {,, 0,, } (Summe = ) und A = {8,, 8, } (Summe = )