Algorithmen II Vorlesung am
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- Gottlob Dressler
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1 Algorithmen II Vorlesung m Algorithmishe Geometrie: Shnitte von Streken Sweep-Line INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Lndes Bden-Württemberg und Algorithmen ntionles Forshungszentrum II Wintersemester 2012/2013 in der Helmholtz-Gemeinshft
2 Grundlgen
3 Streken Definition: Konvexkombintion (Definition 6.1) Für zwei Punkte p 1 und p 2 (in der Ebene) und α [0, 1] ist der Punkt p = αp 1 + (1 α)p 2 eine Konvexkombintion von p 1 und p 2. α = 1 4 α = 1 2 p 1 p 2 Definition: Streke (Definition 6.2) Die Menge ller Konvexkombintionen zweier Punkte p 1, p 2 ist die Streke p 1 p 2 zwishen p 1 und p 2. Ist die Reihenfolge von p 1 und p 2 von Bedeutung, so sprehen wir von der gerihteten Streke p 1 p 2. p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2
4 Streken Definition: Konvexkombintion (Definition 6.1) Für zwei Punkte p 1 und p 2 (in der Ebene) und α [0, 1] ist der Punkt p = αp 1 + (1 α)p 2 eine Konvexkombintion von p 1 und p 2. α = 1 4 α = 1 2 p 1 p 2 Definition: Streke (Definition 6.2) Die Menge ller Konvexkombintionen zweier Punkte p 1, p 2 ist die Streke p 1 p 2 zwishen p 1 und p 2. Ist die Reihenfolge von p 1 und p 2 von Bedeutung, so sprehen wir von der gerihteten Streke p 1 p 2. p 1 p 2 p 1 p 2 p 2 p 1 p 1 p 2 Grundlegende Frgestellungen: 1. Gegeben drei Punkte p 0, p 1, p 2 in der Ebene. Liegt p 0 p 1 rehts oder links von p 0, p 2? 2. Bilden die beiden Streken p 0, p 1 und p 1, p 2 bei p 1 einen Rehts- oder einen Linksknik? 3. Shneiden sih zwei gegebene Streken p 0 p 1 und p 2 p 3? p 2 links p 0 p 1 p 0 Linksknik p 3 p 2 p 1 rehts p 1 p 2 p 0 p 0 p 1 p 2 Rehtsknik
5 Rehts oder Links? Definition: Kreuzprodukt Für Streken p 0 p 1 und p 0 p 2 mit p 0 = (0, 0), p 1 = (x 1, y 1 ) und p 2 = (x 2, y 2 ) ist ds Kreuzprodukt p 1 p 2 definiert ls ( ) x1 x p 1 p 2 = det 2 = x y 1 y 1 y 2 x 2 y 1 = (p 2 p 1 ) 2 Behuptung: Flähe eines Prllelprogrmms (Siehe Linere Algebr) p 1 p 2 ist die Flähe P des Prllelogrmms mit Eken (0, 0), p 1, p 2 und p 1 + p 2. p 1 + p 2 y 2 y 1 p 2 P p 1 p 0 x 2 x 1
6 Rehts oder Links? Definition: Kreuzprodukt Für Streken p 0 p 1 und p 0 p 2 mit p 0 = (0, 0), p 1 = (x 1, y 1 ) und p 2 = (x 2, y 2 ) ist ds Kreuzprodukt p 1 p 2 definiert ls ( ) x1 x p 1 p 2 = det 2 = x y 1 y 1 y 2 x 2 y 1 = (p 2 p 1 ) 2 Behuptung: Flähe eines Prllelprogrmms (Siehe Linere Algebr) p 1 p 2 ist die Flähe P des Prllelogrmms mit Eken (0, 0), p 1, p 2 und p 1 + p 2. p 1 + p 2 p 1 + p 2 y 2 y 1 p 2 P p 1 y 2 y 1 p 2 p 1 y 2 y 1 p 2 y 2 y 1 R p 0 x 2 x 1 p 0 x 2 x 1 t p 0 x 2 x 1 x 2 t p 0 t x 1 Lemm Für p 0 = (0, 0), p 1 und p 2 liegt p 0 p 1 rehts von p 0 p 2 genu dnn wenn p 1 p 2 > 0.
7 Rehts oder Links? Lemm Für p 0 = (0, 0), p 1 und p 2 liegt p 0 p 1 rehts von p 0 p 2 genu dnn wenn p 1 p 2 > 0. Um nun zu entsheiden, ob p 0 p 1 für beliebiges p 0 rehts von p 0 p 2 liegt, muss getestet werden ob (p 1 p 0 ) (p 2 p 0 ) > 0 gilt. Die Streken p 0 p 1 und p 1 p 2 bilden einen Rehtsknik genu dnn wenn p 0 p 2 rehts von p 0 p 1 liegt.
8 Rehts oder Links? Lemm Für p 0 = (0, 0), p 1 und p 2 liegt p 0 p 1 rehts von p 0 p 2 genu dnn wenn p 1 p 2 > 0. Um nun zu entsheiden, ob p 0 p 1 für beliebiges p 0 rehts von p 0 p 2 liegt, muss getestet werden ob (p 1 p 0 ) (p 2 p 0 ) > 0 gilt. Die Streken p 0 p 1 und p 1 p 2 bilden einen Rehtsknik genu dnn wenn p 0 p 2 rehts von p 0 p 1 liegt. Vorteile dieser Methode: Es müssen Additionen, Subtrktionen, Multipliktionen und Vergleihe durhgeführt werden (insbesondere keine Divisionen, Wurzeln, et.) Bei Gnzzhligen Koordinten ist ds Ergebnis und lle Zwishenshritte Gnzzhlig. Keine Fehler durh Ungenuigkeiten bei Gleitkommrithmetik.
9 Shneiden sih zwei Streken? Definition: Umshließendes Rehtek (bounding box) (Definition 6.4) Ds Umshließende Rehtek (bounding box) eines geometrishen Objekts ist ds kleinste hsenprllele Rehtek, ds diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Streken können sih nur shneiden, wenn sih uh ihre umshließenden Rehteke shneiden.
10 Shneiden sih zwei Streken? Definition: Umshließendes Rehtek (bounding box) (Definition 6.4) Ds Umshließende Rehtek (bounding box) eines geometrishen Objekts ist ds kleinste hsenprllele Rehtek, ds diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Streken können sih nur shneiden, wenn sih uh ihre umshließenden Rehteke shneiden. Ds umshließende Rehtek ( p 1, p 2 ) zu p 1 p 2 ist beshrieben durh den linken unteren Punkt p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) und den rehten oberen Punkte p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) mit: p 2 = (x 2, y 2 ) p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) x 1 = min(x 1, x 2 ) ŷ 1 = min(y 1, y 2 ) x 2 = mx(x 1, x 2 ) ŷ 2 = mx(y 1, y 2 ) p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) p 1 = (x 1, y 1 )
11 Shneiden sih zwei Streken? Definition: Umshließendes Rehtek (bounding box) (Definition 6.4) Ds Umshließende Rehtek (bounding box) eines geometrishen Objekts ist ds kleinste hsenprllele Rehtek, ds diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Streken können sih nur shneiden, wenn sih uh ihre umshließenden Rehteke shneiden. Ds umshließende Rehtek ( p 1, p 2 ) zu p 1 p 2 ist beshrieben durh den linken unteren Punkt p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) und den rehten oberen Punkte p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) mit: p 2 = (x 2, y 2 ) p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) x 1 = min(x 1, x 2 ) ŷ 1 = min(y 1, y 2 ) x 2 = mx(x 1, x 2 ) ŷ 2 = mx(y 1, y 2 ) p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) p 1 = (x 1, y 1 ) ŷ 2 ŷ 4 Zwei Rehteke ( p 1, p 2 ) und ( p 3, p 4 ) shneiden sih genu dnn, wenn x 2 x 3 x 4 x 1 ŷ 2 ŷ 3 ŷ 4 ŷ 1. ŷ 1 ŷ 3 x 1 x 3 x 2 x 4
12 Shneiden sih zwei Streken? Definition (Definition 6.5) p 1 p 2 berührt die Gerde durh p 3 p 4 flls p 1 und p 2 uf untershiedlihen Seiten von p 3 p 4 liegen oder einer von ihnen uf der Gerde liegt. Ob eine Streke die Gerde durh zwei Punkte berührt knn wieder mithilfe des Kreuzprodukts getestet werden.
13 Shneiden sih zwei Streken? Definition (Definition 6.5) p 1 p 2 berührt die Gerde durh p 3 p 4 flls p 1 und p 2 uf untershiedlihen Seiten von p 3 p 4 liegen oder einer von ihnen uf der Gerde liegt. Ob eine Streke die Gerde durh zwei Punkte berührt knn wieder mithilfe des Kreuzprodukts getestet werden. Lemm Zwei Streken shneiden sih genu dnn, wenn ihre umshließenden Rehteke sih shneiden und jede der beiden Streken die Gerde durh die jeweils ndere Streke berührt. Vorteile dieser Methode: Wie zuvor müssen Additionen, Subtrktionen, Multipliktionen und Vergleihe durhgeführt werden (insbesondere keine Divisionen, Wurzeln, et.) Bei Gnzzhligen Koordinten ist ds Ergebnis und lle Zwishenshritte Gnzzhlig. Keine Fehler durh Ungenuigkeiten bei Gleitkommrithmetik.
14 Shnitte von Streken Sweep-Line
15 Shnitte von Streken Problem: Shnitte von Streken Gegeben seien n Streken. Shneiden sih zwei dieser Streken? Einfhe Lösung: Teste für jedes Strekenpr ob sie sih shneiden. ( n 2) O(n 2 ) Pre.
16 Shnitte von Streken Problem: Shnitte von Streken Gegeben seien n Streken. Shneiden sih zwei dieser Streken? Einfhe Lösung: Teste für jedes Strekenpr ob sie sih shneiden. ( n 2) O(n 2 ) Pre. Heute: Sweep-Line-Algorithmus mit Lufzeit O(n log n). Definition: Sweep-Line (Definition 6.6) Eine Sweep-Line ist eine imginäre vertikle Linie, die eine Menge geometrisher Objekte von links nh rehts pssiert. Eine Sweep-Line ist durh ihre x-koordinte eindeutig bestimmt.
17 Vergleihbre Streken Wir mhen folgende Annhmen: Keine der Streken ist vertikl. In jedem Punkt shneiden sih höhstens zwei Streken.
18 Vergleihbre Streken Wir mhen folgende Annhmen: Keine der Streken ist vertikl. In jedem Punkt shneiden sih höhstens zwei Streken. Definition: Vergleihbre Streken Zwei Streken s 1 und s 2 sind bezüglih Sweep-Line x vergleihbr, flls beide x shneiden und sih niht gegenseitig n der Stelle x shneiden. Es gilt dnn: s 1 < x s 2 (s 2 < x s 1 ) flls s 1 in x unterhlb (oberhlb) von s 2 liegt. b d < x1 b < x1 b < x2 d < x2 x 1 x 2 Für jedes x ist < x eine totle Ordnung uf den Streken, die x shneiden und sih niht bei x gegenseitig shneiden.
19 Sih shneidende Streken Beobhtung: Sih shneidende Streken Für zwei Streken s 1, s 2 die sih shneiden gibt es Sweep-Lines x 1 und x 2, sodss s 1 < x1 s 2 und s 2 < x2 s 1. x 1 und x 2 können sogr so gewählt werden, dss s 1 und s 2 bezgl. < x1 und < x2 direkt ufeinnderfolgen. b d < x1 b < x1 b < x2 < x2 x 1 x 2 Folgerung Es ist usreihend, lle Strekenpre uf Shnitt zu prüfen, die bezüglih < x irgendeiner Sweep-Line x direkt ufeinnderfolgen.
20 Sweep-Line Algorithmus Sweep-Line Algorithmen verwenden typisherweise zwei Dtenmengen: 1. Sweep-Line Zustnd: Objekte (und ggf. Beziehungen zwishen ihnen), die von der ktuellen Sweep-Line geshnitten werden. 2. Event-Point Shedule: Folge sortierter x-koordinten; die Hltepunkte (Event-Points) der Sweep-Line. Der Sweep-Line Zustnd ändert sih nur n solhen Event-Points.
21 Sweep-Line Algorithmus Sweep-Line Algorithmen verwenden typisherweise zwei Dtenmengen: 1. Sweep-Line Zustnd: Objekte (und ggf. Beziehungen zwishen ihnen), die von der ktuellen Sweep-Line geshnitten werden. 2. Event-Point Shedule: Folge sortierter x-koordinten; die Hltepunkte (Event-Points) der Sweep-Line. Der Sweep-Line Zustnd ändert sih nur n solhen Event-Points. Für unser Problem: 1. Sweep-Line Zustnd: Alle Streken, die die ktuelle Sweep-Line shneiden, von unten nh oben sortiert. 2. Event-Point Shedule: Die Endpunkte ller Streken, von links nh rehts sortiert. Events: An jedem Event-Point tuht eine neue Streke uf oder eine shon vorhndene vershwindet. Folgendes muss getn werden: Neue Streke in den Sweep-Line Zustnd einfügen bzw. lte heruslöshen. Überprüfen ob sih neuerdings benhbrte Strekenpre shneiden.
22 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Streken von links nh rehts if zwei Endpunkte sind gleih then gib TRUE zurük foreh Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Streke s then INSERT(T, s) if s shneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurük if s shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük Event-Point Shedule if p rehter Endpunkt von Streke s then if ABOVE(T, s) shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük DELETE(T, s) gib FALSE zurük Sweep-Line Zustnd (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Streke unmittelbr über (unter) s in T )
23 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Streken von links nh rehts if zwei Endpunkte sind gleih then gib TRUE zurük foreh Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Streke s then INSERT(T, s) if s shneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurük if s shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük Event-Point Shedule if p rehter Endpunkt von Streke s then if ABOVE(T, s) shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük DELETE(T, s) Sweep-Line Zustnd O(1) O(n log n) O(n) gib FALSE zurük (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Streke unmittelbr über (unter) s in T )
24 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Streken von links nh rehts if zwei Endpunkte sind gleih then gib TRUE zurük foreh Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Streke s then INSERT(T, s) if s shneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurük if s shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük Event-Point Shedule if p rehter Endpunkt von Streke s then if ABOVE(T, s) shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük DELETE(T, s) Sweep-Line Zustnd O(1) O(n log n) O(n) gib FALSE zurük (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Streke unmittelbr über (unter) s in T ) Benutze für T einen AVL-Bum (oder ähnlihes): Opertionen INSERT(T, s), DELETE(T, s), ABOVE(T, s) und BELOW(T, s) benötigen O(log n) Zeit.
25 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Streken von links nh rehts if zwei Endpunkte sind gleih then gib TRUE zurük foreh Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Streke s then INSERT(T, s) if s shneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurük if s shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük Event-Point Shedule if p rehter Endpunkt von Streke s then if ABOVE(T, s) shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük DELETE(T, s) Sweep-Line Zustnd O(1) O(n log n) O(n) O(log n) O(log n) gib FALSE zurük (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Streke unmittelbr über (unter) s in T ) Benutze für T einen AVL-Bum (oder ähnlihes): Opertionen INSERT(T, s), DELETE(T, s), ABOVE(T, s) und BELOW(T, s) benötigen O(log n) Zeit.
26 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Streken von links nh rehts if zwei Endpunkte sind gleih then gib TRUE zurük foreh Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Streke s then INSERT(T, s) if s shneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurük if s shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük Event-Point Shedule if p rehter Endpunkt von Streke s then if ABOVE(T, s) shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük DELETE(T, s) gib FALSE zurük Sweep-Line Zustnd O(1) O(n log n) O(n) O(n log n) O(log n) O(log n) O(1) (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Streke unmittelbr über (unter) s in T ) Benutze für T einen AVL-Bum (oder ähnlihes): Opertionen INSERT(T, s), DELETE(T, s), ABOVE(T, s) und BELOW(T, s) benötigen O(log n) Zeit.
27 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Streken von links nh rehts if zwei Endpunkte sind gleih then gib TRUE zurük foreh Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Streke s then INSERT(T, s) Sweep-Line Zustnd Event-Point Shedule O(n log n) O(1) O(n log n) O(n) O(n log n) O(log n) if s shneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurük if s shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük if p rehter Endpunkt von Streke s then if ABOVE(T, s) shneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurük O(log n) DELETE(T, s) gib FALSE zurük O(1) Benutze für T einen AVL-Bum (oder ähnlihes): Opertionen INSERT(T, s), DELETE(T, s), ABOVE(T, s) und BELOW(T, s) benötigen O(log n) Zeit. Gesmtlufzeit von O(n log n) (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Streke unmittelbr über (unter) s in T )
28 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd g b d e f Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1
29 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd g b d e f Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1
30 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd g b d e f Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 shneidet niht
31 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd g b b d e f Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 b shneidet weder noh
32 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd g b b d e f Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 shneidet niht
33 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd d b d e f g Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 d shneidet weder noh
34 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd d e b d e f g Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 e shneidet weder d noh
35 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd d f e b d e f g Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 f shneidet weder d noh e
36 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd d f e b d e f g Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 f shneidet niht
37 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd g g f e b d e f Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 g shneidet weder f noh
38 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd g g f e b d e f Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1
39 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustnd g g f e b d e f Event-Point Shedule 1 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 2 e 2 g 2 f2 2 b 1 f shneidet! gib TRUE zurük
40 Anmerkungen Der vorgestellte Algorithmus prüft nur, ob es mindestens eine Kreuzungen gibt und knn die erste gefundene Kreuzung usgeben. Mn knn den Algorithmus leiht npssen um lle Kreuzungen zu finden. Mn benötigt dnn O(n log n + k log n) Zeit, wobei k die Anzhl n Kreuzungen ist. Behte: k O(n 2 ). Es gibt uh einen Algorithmus mit Lufzeit O(n log n + k), der lle Kreuzungen findet.
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