Rund um den Satz des Pythagoras

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1 Wolfgng Shlottke Rund um den Stz des Pythgors Lernen n Sttionen und weiterführende ufgben für den Mthemtikunterriht uerverlg GmbH

2 3 Sroghty Pythgors rükwärts Die Umkehrung des Stzes des Pythgors (1) Du bruhst: Köfhen ein zweites helles Köfhen n dieser Sttion geht es drum, die beiden ussgen, die im Stz des Pythgors enthlten sind, uszutushen. Es wäre niht shleht, wenn du den Stz des Pythgors shon kennen würdest. rbeitsshritte 1. Der Stz des Pythgors besteht us zwei Teilen, Sätzen oder uh ussgen, wie die Mthemtiker sgen. Es geht um eine Bedingung (ussge) und eine drus bleitbre Folge B, z.b.beimstzdespythgors: (1) ussge : Wenn ein ist (Hyotenuse ), dnn gilt: Folge B: + = Mn sgt uh kurz: us folgt B, imzeihen: B 1. Ti 2. Wie sieht ds jetzt rktish in der Umkehrung us? Mhe dir ein r Minuten Gednken drüber. Diskutiere mit deinem Prtner, erst dnn weiterlesen! (2) ussge B: Wenn in einem Dreiek gilt: + =,dnnfolgt Folge : Ds. 2. Ti 3. Hlte dih bei der Bentwortung des vorigen Lükentextes eng n den bstz (1). Wir benutzen hier eine für dih vielleiht neue Methode, den indirekten Beweis. Ds klingt mögliherweise geheimnisvoll, ist es ber niht. Diese indirekte Methode bedient sih eines kleinen Triks. Sie nimmt n, dss die letzte ussge us (2) flsh ist. Shu noh einml hin! Dnn versuht mn mit logishen Gednken nhzuweisen, dss ds niht whr sein knn. 4. Wir mhen ds jetzt gnz konkret. lso: Gibt es vielleiht ein Dreiek, ds niht rehtwinklig ist und in dem doh der Stz des Pythgors gilt? Wir nehmen n, wir hätten solh ein Dreiek I gefunden, in dem der Stz des Pythgors gilt, und dieses Dreiek ist niht rehtwinklig (ds ist die flshe ussge us (2)). Wir zeihnen dieses Dreiek I mit den Ekunkten B, indemγ niht 90 ist. Dreiek I b B 22

3 4 Ergänzen, Vershieben, Wegnehmen mit Fntsie Ti-Bltt (2) 5. Ti Dieses Dreiek BHD vershiebst du entlng der Streke F,bisB uf liegt. us wird zugleih D. H liegt uf H. E = b = D G D= B = B H H F 6. Ti Die beiden Dreieke GDE und BH D sind kongruent nh dem Kongruenzstz WSW. 1. ED = BD gleihe Seiten des lten Qudrts 2. H = Stufenwinkel zu E D.Drusfolgt: 3. H =,denn + = ED =,d + = 90 und DE rehtwinklig ist 5. DEG = b 7. Ti Die Streke DH ist gleih,dem zugehörigen Hyotenusenbshnitt zur Kthete. DmithstdudenKthetenstz des Euklid bewiesen: ufgbe 2 In einem rehtwinkligen Dreiek ist ds Qudrt über einer Kthete gleih dem Rehtek us der Hyotenuse und dem zugehörigen Hyotenusenbshnitt, ls Gleihung: 2 = 8. Ti Du zeihnest n ds Qudrt nshließend die Seite q in Verlängerung der unteren Qudrtseite GD. Dmit hättest du Punkt. Im Punkt trägst du n einen rehten Winkel n. Der Punkt B liegt 1. in der Verlängerung von q 2. uf dem freien Shenkel des ngetrgenen rehten Winkels. q h G B E D 28

4 1 Mit Knoten zum rehten Winkel Die Herstellung eines rehten Winkels wr von jeher eine zentrle nforderung n lle Kulturen. Und so ist es niht verwunderlih, dss wir in vielen lten Kulturen Methoden finden, die sih mit diesem Problem beshäftigen. So wissen wir z. B. us dem lten Ägyten, dss Lndvermesser mit Hilfe eines Knotenseils die Felder der Nilbuern nh der jährlihen Übershwemmung neu einmessen mussten. Ds wr eine gnz wihtige ufgbe, um dem Betrug vorzubeugen. Dieses Knotenseil htte 12 Knoten in gleihmäßigen bständen und wr geshlossen, d. h. nfng und Ende wren zusmmengefügt. Du knnst j ml versuhen, ein solhes Seil herzustellen. Ds ist reht mühsm, wenn mn genu sein will. Mit einem Bindfden, uf dem du 12 Mrkierungen ngebrht hst, geht es uh, ebenso wie mit Streihhölzern. Versuhe, mit diesen Mterilien einen rehten Winkel herzustellen, so dss ein rehtwinkliges Dreiek entsteht. Übrigens verwendeten die Inder ein Seil mit 30 Knoten. Htte ds einen Vorteil? Probiere einfh ein bisshen! Solltest du n einer Bugrube vorbeikommen, in der die zukünftigen Muern shon bgestekt sind, so siehst du häufig Dreieke us Holzltten n den Eken des Bus stehen, wo dnn die Ekmuern errihtet werden. Frg ml die Buleute dnh ds sind gnz rktishe Menshen. Zu Beginn des Textes hst du vielleiht n den Thleskreis gedht (wenn du ihn shon kennst), um einen rehten Winkel herzustellen. Wir wollen hier ber einen nderen Weg gehen. Wenn du die beiden rehtwinkligen Dreieke mit dem 12er- bzw. 30er-Knotenseil gefunden hst, so denk doh ml über die Länge der Seiten der Dreieke nh. 2 VonÄgyten nh Köln Die heosyrmide in der Nähe von Kiro gehört zu den sieben Weltwundern des ltertums. Sie ist ds Grb eines Phros. Früher wr eine Seite ihrer Grundflähe = 233 m lng und eine Körerknte s = 221 m 1).DerKölnerDomistrund160mhoh.DerBu wurde 1248 begonnen und endgültig erst 1880 fertig gestellt. So viel Zeit htten die Ägyter ntürlih niht. Der Phro wollte sein Grb fertig gestellt sehen, ehe er strb. Mn glubte n eine Buzeit von 30 bis 40 Jhren. Knnst du berehnen, ob die Pyrmide dmls höher wr ls der Kölner Dom jetzt? 1) Die Dten können je nh Quelle vriieren! h s 91

5 17 Ein utohfen für Herrn Oelo Lösung ) Die Länge der Dhblken berehnen wir mit dem Stz des Pythgors. l 2 = 5,8 2 + (2,50 2,10) 2 l 2 = 5, ,4 2 l = 5,81 m Überrsht über die kleine Verlängerung von 1 m? b) Rehtek = 2,5 5,81 m 2 = 14,53 m 2 18 Jmes Bond und der Roboter Lösung 1. Berehnung von h : Dreiek DEF D GE = 10( m sein soll, ist ) 80 FE = 50 m + 10 m oder mehr. 2 r 2 = h 2 + FE 2 h 2 = h = 25,22 m 2. Berehnung von h : Dreiek DH G muss mindestens 10 m lng sein. r 2 = h h 2 = r h = h = 39,19 m G = 39,19 m 25,22 m = 13,97 m > 10 m 10 m 10 m F h 80 m Mit der Höhe klt es lso. Dmit ist der Roboter höhstens l = BH + HG = h + h = 39,19 m + 25,22 m = 64,41 m hoh. 3. Kontrolle der Rehengenuigkeit: Dreiek B (2 39,19) 2 = 112 2? 111,997 = 112 Stimmt sehr gut! D r r G E h H B 10+x 19 Gnz shön snnend Lösung Die Flnken der beiden Snnungskurven l 1 und l 2 hben die Mßeinheit V/ms, d. h.: Wie shnell steigt die Snnung U in der Zeit ms? Beisiel 1: l (t 1 t 0 ) 2 l (t 3 t 2 ) 2 (t 1 t 0 ) 2 = l 2 1 = ,5 2 (t 3 t 2 ) 2 = l 2 2 = ,5 2 t 1 t 0 = 10,9ms t 3 t 2 = 4,8ms Beisiel 2: l (t 1 t 0 ) 2 l (t 3 t 2 ) 2 (t 1 t 0 ) 2 = l 2 1 = 23,9 2 23,3 2 (t 3 t 2 ) 2 = l 2 2 = 23,4 2 23,3 2 t 1 t 0 = 5,3ms t 3 t 2 = 2,2ms 108

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