Übung 5 Algorithmen II
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- Bernhard Brinkerhoff
- vor 6 Jahren
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1 Yroslv Akhremtsev, Demin Hespe Mit Folien von Michel Axtmnn (teilweise) Institut für Theoretische Informtik - 0 Akhremtsev, Hespe: KIT Universität des Lndes Bden-Württemerg und ntionles Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschft Institut für Theoretische Informtik
2 Themenüersicht Lempel-Ziv 78 decompression Geometrie (ws und wrum?) Sweepline llgemeines Prinzip Beispiel: Berechnung einer Skyline Intervl Serch Trees Rectngle Intersection Prolem Rechts oder Links? (Orientierung eines Punktes zu einer Linie) 1 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
3 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
4 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
5 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
6 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
7 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
8 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
9 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c 8 0 c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
10 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c 8 0 c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
11 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c 8 0 c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
12 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c 8 0 c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
13 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c 8 0 c Node 11 is not in the tree yet 2 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
14 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c 8 0 c Node 11 is not in the tree yet This is only possile if node 7 is the prent of node Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
15 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c 8 0 c Node 11 is not in the tree yet This is only possile if node 7 is the prent of node 11 Thus, we descent long rcs 0 1, 1, 7, Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
16 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c 8 0 c Node 11 is not in the tree yet This is only possile if node 7 is the prent of node 11 Thus, we descent long rcs 0 1, 1, 7, 7 11 The symol on the rc 7 11 is 2 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
17 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c c 8 0 c c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
18 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c c 8 0 c c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
19 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c c c 8 0 c c 12 c Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
20 Lempel-Ziv 78 decompression Prent String New node c c c c c c 8 0 c c 12 c c 1 2 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
21 Geometrische Algorithmen geomtetrische Vrinten eknnter Proleme Spezilfälle oft einfcher llgemeines TSP: nicht pproximierr (wenn P = NP) metric TSP: 1.-Approximtion eucliden TSP: ɛ-approximtion Lufzeit in O(n(log n) O( 1 ɛ d) d 1 ) geometrisch motivierte Proleme Punktloklisierung Bewegungsplnung (Rootik) Sichtrkeitsgrphen/Prüfung Streckenschnitt... 3 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
22 Geometrische Methoden Dtenstrukturen Bumstrukturen Intervl Tree Qud Tree BinrySpcePrtition Tree k-d-tree Wvelet-Tree (1-dim) (2-dim) (3-dim) (n-dim) (2-dim) Fcetten Deluny Tringulierung Voronoi Digrmm Strukturierter Zugriff Sweepline sortiert topologisch sortiert Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
23 Geometrische Methoden Dtenstrukturen Bumstrukturen Intervl Tree Qud Tree BinrySpcePrtition Tree k-d-tree Wvelet-Tree (1-dim) (2-dim) (3-dim) (n-dim) (2-dim) Fcetten Deluny Tringulierung Voronoi Digrmm Strukturierter Zugriff Sweepline sortiert topologisch sortiert Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
24 Geometrische Methoden Dtenstrukturen Bumstrukturen Intervl Tree Qud Tree BinrySpcePrtition Tree k-d-tree Wvelet-Tree (1-dim) (2-dim) (3-dim) (n-dim) (2-dim) Fcetten Deluny Tringulierung Voronoi Digrmm Strukturierter Zugriff Sweepline sortiert topologisch sortiert Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
25 Geometrische Methoden Dtenstrukturen Bumstrukturen Intervl Tree Qud Tree BinrySpcePrtition Tree k-d-tree Wvelet-Tree (1-dim) (2-dim) (3-dim) (n-dim) (2-dim) Fcetten Deluny Tringulierung Voronoi Digrmm Strukturierter Zugriff Sweepline sortiert topologisch sortiert Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
26 Geometrische Methoden Dtenstrukturen Bumstrukturen Intervl Tree Qud Tree BinrySpcePrtition Tree k-d-tree Wvelet-Tree (1-dim) (2-dim) (3-dim) (n-dim) (2-dim) Fcetten Deluny Tringulierung Voronoi Digrmm Strukturierter Zugriff Sweepline sortiert topologisch sortiert Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
27 Sweep-Line Allgemein Idee strukturierte Areitung eines Prolems nutze Nähe us geometrisch nhe Ojekte eeinflussen sich geometrisch weit entfernte Ojekte (nhezu) unhängig im Allgemeinen reduziere n-dim (n 1)-dim Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
28 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
29 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
30 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
31 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
32 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
33 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
34 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
35 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
36 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
37 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
38 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
39 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
40 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
41 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
42 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
43 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
44 Sweep-Line Beispiel: Skyline Berechnung einer Skyline Höhenänderungen sind einzig relevnte Punkte jede Änderung definiert eindimensionles Prolem (Mximumsildung) Prolem: effiziente Lösung des 1-dimensionlen Prolems ineffizient: O(n 2 ) (vergleiche Linienschnitt) Ziel hier: Algorithmus mit O(n log n) Zeit 6 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
45 One-Dimensionl Prolem Sortierte Liste Arry O(n) für Einfügen/Löschen Linked List O(n) für Positionsestimmung 7 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
46 One-Dimensionl Prolem Sortierte Liste Arry O(n) für Einfügen/Löschen Linked List O(n) für Positionsestimmung Lösung: Priority Queue lle Opertionen in mximl O(log n) möglich 7 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
47 Skyline Ds eigentliche Skyline Prolem: Berechnung nicht dominierter Punktmengen multikriterielle Bewertung von Tupeln (t 1,..., t n ) Dominierungsedingung: dominiert genu dnn wenn - i : i i - i : i < i 8 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
48 Intervl Serch Trees [17, 19] Consider query q = (l, r). x = root while x = root do if x.intervl intersects (l, r) return x.intervl else if x.left == null or x.left.mx < l x = x.right else x = x.left [, 8] 8 [, 8] 22 2 [21, 2] 2 [1, 18] 22 [7, 10] [16, 22] Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
49 Intervl Serch Trees [17, 19] Consider query q = (l, r). x = root while x = root do if x.intervl intersects (l, r) return x.intervl else if x.left == null or x.left.mx < l x = x.right else x = x.left [, 8] 8 [, 8] 22 2 [21, 2] 2 [1, 18] 22 [7, 10] [16, 22] Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
50 Intervl Serch Trees [17, 19] Consider query q = (l, r). x = root while x = root do if x.intervl intersects (l, r) return x.intervl else if x.left == null or x.left.mx < l x = x.right else x = x.left [, 8] 8 [, 8] 22 2 [21, 2] 2 [1, 18] 22 [7, 10] [16, 22] Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
51 Intervl Serch Trees [17, 19] Consider query q = (l, r). x = root while x = root do if x.intervl intersects (l, r) return x.intervl else if x.left == null or x.left.mx < l x = x.right else x = x.left [, 8] 8 [, 8] 22 2 [21, 2] 2 [1, 18] 22 [7, 10] [16, 22] Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
52 Intervl Serch Trees Correctness for choise of right child mx (c, mx) (, ) left sutree of x (l, r) right sutree of x 10 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
53 Intervl Serch Trees Correctness for choise of left child mx (c, mx) (l, r) (, ) left sutree of x right sutree of x 11 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
54 Intervl Serch Trees Complexity Find n intervl tht intersects query intervl: O(log n) Find ll intervls tht intersect query intervl: O(t log n), where t is the numer of such intervls 12 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
55 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
56 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
57 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree:(3, ) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
58 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree:(3, )(1, 7) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
59 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree:(3, )(1, 7)(2, 8) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
60 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree:(1, 7)(2, 8) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
61 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree:(1, 7) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
62 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree:(1, 7)(2, ) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
63 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree:(2, ) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
64 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree:(2, )(3, ) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
65 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree: (3, ) 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
66 Rectngle Intersection Prolem Complexity n log n + t log n, where t is the numer of intersecting rectngles Intervl Serch Tree: 13 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
67 Punktorientierung Vorzeichenehftete Fläche Dreiecksfläche ls Summe dreier Trpezflächen Z-koordinte von Kreuzprodukt der Vektoren P 1 P 2 und P 1 P 3 : (x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (y 2 y 1 )(x 3 x 1 ) Verschieung von P 1 nch (0, 0) ergit: A = 1 2 x 2 x 1 x 3 x 1 y 2 y 1 y 3 y 1 Vorzeichen positiv gdw. P 1, P 2, P 3 CCW P1 P3 A1 A2 A3 P2 Unterprolem von Algorithmen Grhm Scn Test uf Enthltensein (Punkt in konvexem Polygon) 1 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
68 Punktorientierung Vorzeichenehftete Fläche Dreiecksfläche ls Summe dreier Trpezflächen Z-koordinte von Kreuzprodukt der Vektoren P 1 P 2 und P 1 P 3 : (x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (y 2 y 1 )(x 3 x 1 ) Verschieung von P 1 nch (0, 0) ergit: A = 1 2 x 2 x 1 x 3 x 1 y 2 y 1 y 3 y 1 Vorzeichen positiv gdw. P 1, P 2, P 3 CCW P1 P3 A1 A2 A3 P2 Unterprolem von Algorithmen Grhm Scn Test uf Enthltensein (Punkt in konvexem Polygon) 1 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
69 Ende! Feierend! 1 Akhremtsev, Hespe: Institut für Theoretische Informtik
Übung 13 Algorithmen II
Michael Axtmann michael.axtmann@kit.edu http://algo2.iti.kit.edu/algorithmenii_ws16.php - 0 Axtmann: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
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