Repetitive Strukturen

Transkript

1 Repetitive Strukturen Andreas Liebig Philipp Muigg ökhan Ibis

2 Repetitive Strukturen, (z.b. sich wiederholende Strings), haben eine große Bedeutung in verschiedenen Anwendungen, wie z.b. Molekularbiologie, Data Mining, Datenkompression oder computerunterstützte Analyse von Musik. Wir werden im Folgenden darauf eingehen, wie in einem String T, bestehend aus einem bestimmten Alphabet, sich wiederholende Teilstrings gefunden werden können. Desweiteren wird das (effiziente) Finden von maximalen und supermaximalen Wiederholungen erläutert. (einfache) Wiederholung Jede Zeichenfolge, die in T mindestens 2-mal vorkommt, ist eine (einfache) Wiederholung. einfache Wiederholung: A maximale Wiederholung Jede (einfache) Wiederholung, die NICHT nach rechts oder links erweitert werden kann, ohne dass sich die Anzahl der Wiederholungen verringert, ist eine maximale Wiederholung. maximale Wiederholung: AA Jede Wiederholung ist entweder maximal, oder sie ist Teil einer maximalen Wiederholung. Supermaximale Wiederholung Eine maximale Wiederholung, die NIE Teilstring einer anderen maximalen Wiederholung ist, ist eine supermaximale Wiederholung. supermaximale Wiederholung: AA (der Teilstring AA stellt eine maximale, jedoch KEINE supermaximale Wiederholung dar, weil er Teil von AA ist.

3 AA AA$ $ A C AAC... AA... $ () AA$ $ A CAA... $ (C) CAA... AA$ (C) Abbildung 1 Suffix-Tree für das Beispiel CAACAAAA. Die Knotenmarkierungen sind in Klammern zu den jeweiligen Knoten hinzugefügt worden, wobei ld für einen left-diverse Knoten steht. Problemlösung mittels Suffix-Tree Das Auffinden solcher maximaler beziehungsweise supermaximaler Wiederholungen kann nun mittels Suffix-Tree sehr effizient gelöst werden. Hierzu muss zuerst ein, dem zu untersuchenden String entsprechender, Baum erzeugt werden. Weiters müssen nun, um den Algorithmus genauer zu erläutern, einige Definitionen eingeführt werden. Left-character: Unter dem left-character eines Blattes im Baum versteht man das erste Zeichen auf der linken Seite des Suffixes, das durch das Blatt repräsentiert wird. Left-diverse: Ein innerer Knoten wird als left-diverse bezeichnet sobald mindestens zwei leftcharacters der Blätter des Subbaumes unterschiedlich sind. Um nun maximale beziehungsweise supermaximale Wiederholungen aufzuspüren, müssen die Knoten des Suffix-Trees durchlaufen und, wie in folgendem Abschnitt beschrieben, markiert werden. Markierung der Knoten Unser Baum wird rekursiv, Knoten für Knoten abgearbeitet (Depth-First-Traversal). Um zu entscheiden, wie wir jeden Knoten markieren, müssen wir folgende Fälle unterscheiden: Fall 1 - Eines der Kinder des Knoten ist left-diverse: In diesem Fall wird auch dieser Knoten als left-diverse markiert. Fall 2 - Die Kinder des Knoten haben nicht alle den selben left-character: Auch in diesem Fall wird dieser Knoten als left-diverse markiert. Fall 3 - Die Kinder des Knoten haben alle den selben left-character A:

4 Daraus kann man direkt den Schluss treffen, dass dieser Knoten nicht left-diverse ist. Dieser Knoten wird daher mit A markiert, wodurch man in den Hierarchie-ebenen darüber sehr leicht feststellen kann, dass alle Blätter dieses Subbaumes den left-character A haben. Fall 4 - Der Knoten stellt ein Blatt dar: Da in allen Blättern eines Suffix-Baumes der Index des Suffix im String gespeichert wird, kann man direkt über den String den left-character dieses Knotens ermitteln. Der Knoten wird mit dem abgelesenen left-character markiert. Bestimmung der maximalen- und supermaximalen Wiederholungen Von Interesse sind hierbei lediglich jene Knoten, die left-diverse markiert wurden, weil diese Tatsache garantiert, dass die Wiederholung, die durch diesen Knoten repräsentiert wird, nicht nach links verlängert werden kann, ohne dass sich die Anzahl der Wiederholungen dieser Zeichenfolge ändert. Und nur wenn dies gewährleistet ist handelt es sich um eine maximale Wiederholung. Sind zusätzlich noch alle Kinder eines left-diversen Knoten Blätter, so handelt es sich sogar um eine supermaximale Wiederholung. Die Begründung dessen erfolgt indirekt. Denn wäre eines der Kinder des left-diversen Knoten ein innerer Knoten und kein Blatt, würde dies bedeuten, dass der überprüfte Knoten ein Substring einer anderen Wiederholung ist und dies widerspricht der Definition einer supermaximalen Wiederholung. Pseudocode Dieses kurze Programm gibt alle maximalen und supermaximalen Wiederholungen aus, wobei vorausgesetzt wird, dass bereits ein Suffix-Tree für den zu untersuchenden String erzeugt wurde. Der erste Aufruf der Funktion erhält die Wurzel dieses Baumes als Parameter. printrepeats(treenode n) if no children label n with the corresponding left-character and return boolean variable only_leafes = true for all children c of n LabelLeftDiverse(c) If (c is not a leave) only_leaves = false if one child of n is leftdiverse // node n is left diverse and thus // the string represented by n is a maximal or // supermaximal repeat label n as left diverse if there is a child with a different left character then // node n is left diverse and thus // the string represented by n is a maximal or // supermaximal repeat label n as left diverse

5 if n labelled as left diverse if only_leaves is true print supermaximal repeat + string represented by n else print maximal repeat + string represended by n else // if this is reached all children must have the same left character set the left character of the node n to the left character of its first child