KD-Bäume. ein Vortrag von Jan Schaefer

Transkript

1 ein Vortrag von Jan Schaefer

2 Überblick - Kurzer Rückblick: Quad Trees - KD-Baum bauen - Effizienz des Konstruktionsalgorithmus - Regionen - Bereichssuche - Effizienz des Suchalgorithmus - Anwendungsgebiete

3 Rückblick - Quad Trees - Teilen die Ebene immer in der geometrischen Mitte - Nehmen keinen Bezug zur Verteilung der Punkte - Kann zu unbalancierten Bäumen führen - Es folgt Ineffizienz

4 Den Baum aufbauen - Punktmenge gegeben - Teilung in zwei möglichst gleich mächtige Untermengen - Wiederhole für Untermengen rekursiv - Teilung geschieht reihum entlang der Dimensionsachsen - Produkt ist fast immer balancierter Binärbaum - Problem: Punkte mit gleichen Koordinaten

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24 Pseudocode - Aufbau des Baums (für 2 Dimensionen) Algorithmus BaueKdBaum(P, tiefe) // P: vorsortierte Punktmengen if P enthält nur einen Punkt then return Blatt in dem der Punkt gespeichert ist else if tiefe gerade then Teile P in zwei Untermengen mit Hilfe einer vertikalen Linie l durch die mittlere X-Koordinate der Punkte in P. Sei P1 die Punktmenge zur Linken von l und P2 die Punktmenge zur Rechten von l else Teile P in zwei Untermengen mit Hilfe einer horizontalen Linie l durch die mittlere Y-Koordinate der Punkte in P. Sei P1 die Punktmenge unterhalb von l und P2 die Punktmenge oberhalb von l v links <- BaueKdBaum(P1, tiefe + 1) v rechts <- BaueKdBaum(P2, tiefe + 1) Erstelle einen Knoten v, der l speichert, mache v links zu seinem linken Kindknoten und v rechts zu seinem rechten. return v

25 Effizienz des Aufbaualgorithmus Speicher - n - 1 Knoten mit je O(1) - n Blätter mit je O(1) - Also: O(n) Zeit - Vorsortieren: O(n log n) - Teilung in sortierte Untermengen: O(n) - Pro Ebene: n Schritte nötig - log n Ebenen - Also: O(n log n)

26 Regionen - Knoten im Baum korrespondieren mit gewissen Regionen in der Ebene - Regionen lassen sich leicht ausrechnen - Notwendig für Bereichssuche

27 Region(L1) - gesamte Ebene

28 Region(L3) - Nach links von L1 begrenzte Region(L1) - Nach oben, unten und rechts offen

29 Region(L6) - Region(L3) nun nach oben von L3 begrenzt - Nach unten und rechts offen

30 Region(L9) - Region(L6) nach rechts begrenzt von L6 - Nach unten offen

31 Bereichssuche (für 2 Dimensionen) - Lege Rechteck R in Ebene mit Punkten - Frage: Welche Punkte liegen in R? - Besuche nur Knoten deren Region von R geschnitten - Wenn Region(Lx) vollständig in R, gib alle Punkte unter Lx zurück - Für geschnittene Regionen, prüfe für alle Punkte ob in R

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33 Pseudocode - Bereichssuche im Baum (für 2 Dimensionen) lc(v) liefert linken Unterbaum von v rc(v) liefert rechten Unterbaum von v MeldeUnterbaum(v) gibt alle unter v befindlichen Blätter zurück Algorithmus DurchsucheKdBaum(v, R) if v ist ein Blatt then melde den in v gespeicherten Punkt, wenn er in R liegt else if region(lc(v)) ist vollständig in R enthalten then MeldeUnterbaum(lc(v)) else if region(lc(v)) schneidet R then DurchsucheKdBaum(lc(v), R) if region(rc(v)) ist vollständig in R enthalten then MeldeUnterbaum(rc(v)) else if region(rc(v)) schneidet R then DurchsucheKdBaum(rc(v), R)

34 Effizienz der Bereichssuche (für 2 Dimensionen) Speicher - O(n) Zeit - Zurückgeben von k Punkten: O(k) - Vertikale Linie schneidet n Regionen - Ebenso horizontale Linie - Es müssen maximal 4 n Knoten durchlaufen werden - Also: O( n + k), k = Anzahl zurückgegebene Punkte - Sehr pessimistische Einschätzung - Suche meistens viel schneller, da Bereich i.d.r. klein

35 Anwendungsgebiete - Datenbanksuche - Spalten der Datenbanktabellen werden zu Dimensionen - Datensätze werden als Punkte aufgefasst, KD-Baum erzeugt - Range-Suche in O(n 1-1/d + k)

36 Literatur - de Berg, van Krefeld, Overmars, Schwarzkopf: Computational Geometry, Springer - Sedgewick: Algorithmen, Addison-Wesley - Preparata, Shamos: Computational Geometry, Springer - alle drei im Semesterapparat