Algorithmen und Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen. B7.1 Einführung. B Bäume. B7.3 Rot-Schwarz Bäume

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1 B7. Balancierte Bäume a B7. Balancierte Bäume 1 Marcel Lüthi and Gabriele Röger Universität Basel a Folien basieren auf Vorlesungsfolien von Sedgewick & Wayne B7.1 Einführung B Bäume B7.3 Rot-Schwarz Bäume 1 Folien basieren auf Vorlesungsfolien von Sedgewick & Wayne M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 1 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 2 / 26 B7. Balancierte Bäume 2 Einführung B7. Balancierte Bäume 3 Einführung Informatiker des Tages : Donald Knuth B7.1 Einführung Donald E. Knuth Autor: The art of computer programming Autor des Textsatzsystems TEX Gewinner Turing Award (1974) und vieler anderer Preise Arbeit an Analyse von Algorithmen Entwickelte erste Sprache für Literate programming Knuth D. The art of computer programming 1: Fundamental algorithms 2: Seminumerical algorithms 3: Sorting and searching. MA: Addison-Wesley M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 3 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 4 / 26

2 B7. Balancierte Bäume 4 Einführung Balancierte Bäume B7. Balancierte Bäume Bäume Worst-case Average-case Implementation suchen einfügen löschen suchen (hit) einfügen löschen Verkettete Liste N N N N/2 N N/2 Binäre suche log 2 (N) N N log 2 (N) N/2 N BST N N N log 2 (N) log 2 (N) N Ziel log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) B Bäume Frage Können wir eine Implementation finden, bei der alle Operationen logarithmische Komplexität haben? M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 5 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 6 / 26 B7. Balancierte Bäume Bäume 2-3 Bäume Wir unterscheiden zwei Knotentypen 2-Knoten 1 Schlüssel, zwei Kinder 3-Knoten 2 Schlüssel, drei Kinder Wir verlangen symmetrische Ordnung Zusätzlich muss Baum perfekt balanciert sein. Jeder Pfad von Wurzel zu Blatt hat dieselbe Länge. B7. Balancierte Bäume Bäume Einfügen in 2-3 Baum Einfügen in 2-Knoten auf letzter Ebene Neuer Schlüssel zu 2-Knoten hinzufügen. Knoten wird zu 3-Knoten. M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 7 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 8 / 26

3 B7. Balancierte Bäume Bäume Einfügen in 2-3 Baum Einfügen in 3-Knoten auf letzter Ebene Neuer Schlüssel zu 3-Knoten hinzufügen. Knoten wird temporär zu 4-Knoten. Mittlerer Knoten in Parent einfügen. Falls nötig, rekursiv fortsetzen. Falls Wurzel erreicht wird, und diese zu 4-Knoten wird, wird diese zu zwei 2-Knoten. B7. Balancierte Bäume Bäume Lokale Transformationen Teilen eines 4 Knotens ist lokale Operation Unterbäume nicht davon betroffen Konstante Anzahl Operationen Quelle: Abb. 3.30, Algorithmen, Wayne & Sedgewick M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 9 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 10 / 26 B7. Balancierte Bäume Bäume Globale Eigenschaften B7. Balancierte Bäume Bäume 2-3 Baum: Quiz: Performance Invariante: Jede Operation belässt Baum perfekt balanciert. Ordnung der Teilbäume bleibt erhalten. Bäume sind perfekt balanciert! Baumhöhe: Worst Case Best Case Quelle: Abb. 3.31, Algorithmen, Wayne & Sedgewick M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 11 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 12 / 26

4 B7. Balancierte Bäume Bäume Übersicht B7. Balancierte Bäume Bäume Problem Worst-case Average-case Implementation suchen einfügen löschen suchen (hit) einfügen löschen Verkettete Liste N N N N/2 N N/2 Binäre suche log 2 (N) N N log 2 (N) N/2 N Binärer Suchbaum N N N log 2 (N) log 2 (N) N 2-3 Baum log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) 2-3 Bäume sind mühsam zu implementieren. Wir müssen viele Spezialfälle unterscheiden. Code wird unelegant und fehleranfällig. Elegante Lösung: Rot-Schwarz Bäume M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 13 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 14 / 26 B7. Balancierte Bäume 14 Rot-Schwarz Bäume B7. Balancierte Bäume 15 Rot-Schwarz Bäume Informatiker des Tages : Robert Sedgewick B7.3 Rot-Schwarz Bäume Professor in Princeton Doktorand von Donald Knuth. Erfinder der Rot-Schwarz Bäume Autor von unserem Lehrbuch. Robert Sedgewick Guibas, Leo J., and Robert Sedgewick. A dichromatic framework for balanced trees, IEEE Foundations of Computer Science, M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 15 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 16 / 26

5 B7. Balancierte Ba ume16 : Idee B7. Balancierte Ba ume17 - Definition Ein Rot-Schwarz Baum ist ein bina rer Suchbaum, mit der Eigenschaft: I Rote Referenzen zeigen nach links I Von keinem Knoten gehen zwei rote Referenzen aus I 2-3 Baum wird als bina rer Suchbaum repra sentiert I 3-Knoten werden mit speziellen roten links markiert. I (Keine 4-Knoten im 2-3 Baum) I Jeder Pfad von der Wurzel zu einem Blatt hat die gleiche Anzahl von schwarzen Referenzen. I (Gleiche Tiefe im 2-3 Baum) Quelle: Abb. 3.34, Algorithmen, Wayne & Sedgewick 17 / / 26 Quelle: Abb. 3.36, Algorithmen, Wayne & Sedgewick B7. Balancierte Ba ume18 Repra sentation in Code B7. Balancierte Ba ume19 Suchen und ordnungsbasierte Operationen I Jeder Knoten hat genau eine Referenz von Parent I RB-Tree ist ein bina rer Suchbaum - einfach mit Farbe I Implementation von Suche und ordnungsbasierten Operationen bleibt gleich. I 1 Feld in Knoten genu gt um Farbe speichern Quelle: Abb. 3.36, Algorithmen, Wayne & Sedgewick I Farbe wird ignoriert. class Node [ Key, Value ]: Node ( key : Key, value : Value ) key : Key value : Value left : Node [ Key, Value ] right : Node [ Key, Value ] color : Color # Red or Black Quelle: Abb. 3.36, Algorithmen, Wayne & Sedgewick 19 / / 26

6 B7. Balancierte Bäume 20 Rot-Schwarz Bäume Einfügen: Idee B7. Balancierte Bäume 21 Rot-Schwarz Bäume Einfügen: Details Grundidee Alle Operationen werden auf Operationen in entsprechendem 2-3 Baum zurückgeführt Neuer Link wird immer Rot Führt zu potentiellem 4 Knoten in 2-3 Baum Lokale Operationen um 2-3 Baum wiederherzustellen Farb wechseln Rotation links Rotation rechts Unterscheidung aller möglichen Fälle Pro Fall: Eigene Strategie um 2-3 Baum wiederherzustellen Am besten in Ruhe selber lesen / anschauen Relevante Teile aus dem Buch auf Adam Gute, schrittweise Erklärung mit Ablaufprotokoll Details nicht prüfungsrelevant Animation: 33DemoRedBlackBST.mov M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 21 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 22 / 26 B7. Balancierte Bäume 22 Rot-Schwarz Bäume Einfügen: Implementation B7. Balancierte Bäume 23 Rot-Schwarz Bäume Implementation Trügerisch einfache Implementation def _put (self, key, value, node ): if ( node == None ): return RedBlackBST. Node (key, value, Color.RED, 1) elif key < node. key : node. left = self. _put (key, value, node. left ) elif key > node. key : node. right = self. _put (key, value, node. right ) elif key == node. key : node. value = value if self. _isred ( node. right ) and not self. _isred ( node. left ): node = self. _rotateleft ( node ) if self. _isred ( node. left ) and self. _isred ( node. left. left ): node = self. _rotateright ( node ) if self. _isred ( node. left ) and self. _isred ( node. right ): self. _flipcolors ( node ) node. count = 1 + self. _size ( node. left ) + self. _size ( node. right ) Jupyter-Notebook: RedBlackBST.ipynb return node M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 23 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 24 / 26

7 B7. Balancierte Bäume 24 Rot-Schwarz Bäume Analyse B7. Balancierte Bäume 25 Rot-Schwarz Bäume Übersicht Theorem Die Höhe eines Rot-Schwarz-Baums mit N Knoten ist nicht höher als 2 log 2 (N). Intuition: Jeder Pfad von Wurzel zu Blatt hat gleiche Anzahl von Schwarzen Referenzen Korrespondenz mit 2-3 Baum Es gibt nie zwei rote Referenzen hintereinander. Worst-case Average-case Implementation suchen einfügen löschen suchen (hit) einfügen löschen Verkettete Liste N N N N/2 N N/2 Binäre suche log 2 (N) N N log 2 (N) N/2 N Binärer Suchbaum N N N log 2 (N) log 2 (N) N Rot-Schwarz Baum log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) Wir haben logarithmische Komplexität aller Operationen mit einer kleinen Konstante. M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 25 / 26 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 26 / 26