Algorithmen und Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen. B7.1 Einführung. B Bäume. B7.3 Rot-Schwarz Bäume.

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1 B7. Balancierte Bäume a B7. Balancierte Bäume 1 Marcel Lüthi and Gabriele Röger Universität Basel a Folien basieren auf Vorlesungsfolien von Sedgewick & Wayne B7.1 Einführung B Bäume B7.3 Rot-Schwarz Bäume 1 Folien basieren auf Vorlesungsfolien von Sedgewick & Wayne M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 1 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 2 / 23 B7. Balancierte Bäume 2 Einführung B7. Balancierte Bäume 3 Einführung Balancierte Bäume B7.1 Einführung Worst-case Average-case mplementation suchen einfügen löschen suchen (hit) einfügen löschen Verkettete Liste N N N N/2 N N/2 Binäre suche log 2 (N) N N log 2 (N) N/2 N BST N N N 1.39 log 2 (N) 1.39 log 2 (N) N Ziel log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) log 2 (N) Frage Können wir eine mplementation finden, bei der alle Operationen logarithmische Komplexität haben? M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 3 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 4 / 23

2 B7. Balancierte Bäume Bäume B Bäume B7. Balancierte Bäume Bäume 2-3 Bäume Wir unterscheiden zwei Knotentypen 2-Knoten 1 Schlüssel, zwei Kinder 3-Knoten 2 Schlüssel, drei Kinder Wir verlangen symmetrische Ordnung norder Traversierung liefert Schlüssel in sortierter Reihenfolge. Zusätzlich muss Baum perfekt balanciert sein. Jeder Pfad von Wurzel zu Blatt hat dieselbe Länge. M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 5 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 6 / 23 B7. Balancierte Bäume Bäume Einfügen in 2-3 Baum Einfügen in 2-Knoten auf letzter Ebene Neuer Schlüssel zu 2-Knoten hinzufügen. Knoten wird zu 3-Knoten. B7. Balancierte Bäume Bäume Einfügen in 2-3 Baum Einfügen in 3-Knoten auf letzter Ebene Neuer Schlüssel zu 3-Knoten hinzufügen. Knoten wird temporär zu 4-Knoten. Mittlerer Knoten in Parent einfügen. Falls nötig, rekursiv fortsetzen. Falls Wurzel erreicht wird, und diese zu 4-Knoten wird, wird diese zu zwei 2-Knoten. M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 7 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 8 / 23

3 B7. Balancierte Bäume Bäume Konstruktion von 2-3 Baum B7. Balancierte Bäume Bäume Lokale Transformationen Teilen eines 4 Knotens ist lokale Operation Konstante Anzahl Operationen Animation https: //algs4.cs.princeton.edu/lectures/33demo23tree.mov Quelle: Abb. 3.30, Algorithmen, Wayne & Sedgewick M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 9 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 10 / 23 B7. Balancierte Bäume Bäume Globale Eigenschaften nvariante: Jede Operation belässt Baum perfekt balanciert. Ordnung der Teilbäume bleibt erhalten. B7. Balancierte Bäume Bäume 2-3 Baum: Quiz: Performance Bäume sind perfekt balanciert! Baumhöhe: Worst Case Best Case Wie hoch ist ein Baum mit 30 Milliarden Schlüsseln? Quelle: Abb. 3.31, Algorithmen, Wayne & Sedgewick M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 11 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 12 / 23

4 B7. Balancierte Bäume Bäume Übersicht B7. Balancierte Bäume Bäume Problem Worst-case Average-case mplementation suchen einfügen löschen suchen (hit) einfügen löschen Verkettete Liste N N N N/2 N N/2 Binäre suche log 2 (N) N N log 2 (N) N/2 N Binärer Suchbaum N N N 1.39 log 2 (N) 1.39 log 2 (N) N 2-3 Baum C log 2 (N) C log 2 (N) C log 2 (N) C log 2 (N) C log 2 (N) C log 2 (N) Antwort Logarithmische Komplexität aller Operationen. Konstante C von mplementation abhängig. 2-3 Bäume sind mühsam zu implementieren. Wir müssen viele Spezialfälle unterscheiden. Code wird unelegant und fehleranfällig. Elegante Lösung: Rot-Schwarz Bäume M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 13 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 14 / 23 B7. Balancierte Bäume 14 Rot-Schwarz Bäume B7. Balancierte Bäume 15 Rot-Schwarz Bäume nformatiker des Tages : Robert Sedgewick B7.3 Rot-Schwarz Bäume Professor in Princeton Doktorand von Donald Knuth. Erfinder der Rot-Schwarz Bäume Autor von unserem Lehrbuch. Robert Sedgewick Guibas, Leo J., and Robert Sedgewick. A dichromatic framework for balanced trees, EEE Foundations of Computer Science, M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 15 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 16 / 23

5 B7. Balancierte Ba ume16 : dee B7. Balancierte Ba ume17 - A quivalente Definition Ein Rot-Schwarz Baum ist ein Bina rer Suchbaum, mit der Eigenschaft: Rote Referenzen zeigen nach links Von keinem Knoten gehen zwei rote Referenzen aus 2-3 Baum wird als Bina rer Suchbaum repra sentiert 3-Knoten werden mit speziellen roten links markiert. (Keine 4-Knoten im 2-3 Baum) Jeder Pfad von der Wurzel zu einem Blatt hat die gleiche Anzahl von schwarzen Referenzen. (Gleiche Tiefe im 2-3 Baum) Quelle: Abb. 3.34, Algorithmen, Wayne & Sedgewick 17 / / 23 Quelle: Abb. 3.36, Algorithmen, Wayne & Sedgewick B7. Balancierte Ba ume18 Repra sentation in Code B7. Balancierte Ba ume19 mplementation Jeder Knoten hat genau eine Referenz von Parent 1 Feld in Knoten genu gt um Farbe speichern Quelle: Abb. 3.36, Algorithmen, Wayne & Sedgewick class Node [ Key, Value ]: Node ( key : Key, value : Value ) key : Key value : Value left : Node [ Key, Value ] right : Node [ Key, Value ] color : Color # Red or Black mplementation von Suche und ordnungsbasierten Operationen bleibt gleich. Einfu gen / Lo schen mu ssen adaptiert werden 19 / 23 Farbe wird ignoriert. Nach Einfu gen von Knoten mu ssen Eigenschaften von Rot-Schwarz Baum wiederhergestellt werden. 20 / 23

6 B7. Balancierte Bäume 20 Rot-Schwarz Bäume Einfügen / Löschen B7. Balancierte Bäume 21 Rot-Schwarz Bäume Analyse Nicht schwierig aber etwas technisch & mühsam. Am besten in Ruhe selber lesen / anschauen Relevante Teile aus dem Buch auf Adam Gute, Schrittweise Erklärung mit Ablaufprotokoll Videolecture von R. Sedgewick Schrittweise Erkärung, Animationen & War stories Theorem Die Höhe eines Rot-Schwarz-Baums mit N Knoten ist nicht höher als 2 log 2 (N). ntuition: Jeder Pfad von Wurzel zu Blatt hat gleiche Anzahl von Schwarzen Referenzen Korrespondenz mit 2-3 Baum Es gibt nie zwei rote Referenzen hintereinander. M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 21 / 23 M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 22 / 23 B7. Balancierte Bäume 22 Rot-Schwarz Bäume Übersicht Worst-case Average-case mplementation suchen einfügen löschen suchen (hit) einfügen löschen Verkettete Liste N N N N/2 N N/2 Binäre suche log 2 (N) N N log 2 (N) N/2 N Binärer Suchbaum N N N 1.39 log 2 (N) 1.39 log 2 (N) N Rot-Schwarz Baum 2 log 2 (N) 2 log 2 (N) 2 log 2 (N) 1 log 2 (N) 1 log 2 (N) 1 log 2 (N) Antwort Logarithmische Komplexität aller Operationen. Konstante C von mplementation abhängig. M. Lüthi, G. Röger (Universität Basel) 23 / 23