Informatik II, SS 2016

Transkript

1 Informatik II - SS 2016 (Algorithmen & Datenstrktren) Vorlesng 12 ( ) Binäre Schbäme IV Fabian Khn Algorithmen nd Komplexität Fabian Khn

2 Rot-Scharz-Bäme Ziel: Binäre Schbäme, elche immer balanciert sind balanciert, intiti: in jedem Teilbam, links & rechts gleich gross balanciert, formal: Teilbam mit k Knoten hat Tiefe O log k Rot-Scharz-Bäme sind binäre Schbäme, für die gilt: 1) Alle Knoten sind rot oder scharz 2) Wrzel ist scharz 3) Blätter (= -Knoten) sind scharz 4) Rote Knoten haben zei scharze Kinder 5) Von jedem Knoten as, haben alle (direkten) Pfade z Blättern () im Teilbam on die gleiche Anzahl scharze Knoten Fabian Khn 2

3 Tiefe / Scharz-Tiefe Definition: Die Tiefe (T) eines Knoten ist die maximale Länge eines direkten Pfades on z einem Blatt (). Definition: Die Scharz-Tiefe (ST) eines Knoten ist die Anzahl scharzer Knoten af jedem direkten Pfad on z einem Blatt () Der Knoten ird dabei nicht gezählt, das Blatt (, falls ) jedoch schon! Fabian Khn 3

4 Tiefe eins Rot-Scharz-Bames Theorem: Die Tiefe eines Rot-Scharz-Bames ist 2 log 2 n + 1. Beeis: Anzahl innerer Knoten : n (alle asser den -Knoten) Lemma: n 2 ST root 1 Fabian Khn 4

5 Rot-Scharz-Bäme: Einfügen insert(x): 1. Einfügen ie üblich, ne eingefügter Knoten ist rot keycolor parent left right if root == then root = ne Node(x,red,,,) else = root; hile!= and.key1!= x do if.key1 >.x then if.left == then = ne Node(x,red,,,);.left = =.left else if.right == then = ne Node(x,red,,,);.right = =.right Fabian Khn 5

6 Rot-Scharz-Bäme: Einfügen Rot-Scharz-Bam Bedingngen nach dem Einfügen 1. Alle Knoten sind rot oder scharz 2. Die Wrzel ist scharz 3. Die Blätter () sind scharz 4. Rote Knoten haben zei scharze Kinder 5. Von jedem Knoten haben alle direkten Pfade z Blättern gleich iele scharze Knoten Falls (eingefügter Knoten) nicht die Wrzel ist oder. parent scharz ist, sind alle Bedingngen erfüllt Falls die Wrzel ist, kann man einfach scharz einfügen Falls. parent rot ist, müssen ir den Bam anpassen so, dass 1, 3 nd 5 immer erfüllt sind dabei kann die Wrzel ach rot erden Fabian Khn 6

7 Erinnerng: Rotationen Rechtsrotation: Linksrotation: Fabian Khn 7

8 Rot-Scharz-Bäme: Einfügen Bam anpassen nach dem Einfügen: Annahmen: ist rot,. parent ist rot (sonst sind ir fertig) ist linkes Kind on (anderer Fall symmetrisch) s Geschisterknoten (rechtes Kind on ) ist scharz Alle roten Knoten asser haben 2 scharze Kinder p p q q Fallnterscheidng anhand on Farbe on q (Geschister on ) nd anhand on = p. left oder = p. right Fabian Khn 8

9 Rot-Scharz-Bäme: Einfügen Fall 1: Geschisterknoten q on ist scharz Fall 1a: = p. left p q 1. right-rotate(p,) p q p q Fabian Khn 9

10 Rot-Scharz-Bäme: Einfügen Fall 1: Geschisterknoten q on ist scharz Fall 1b: = p. right p p q 1. right-rotate(,) q Nach Rotation: symmetrisch z Fall 1a, sind rot, Geschister q is scharz ist rechtes Kind on, ist rechtes Kind on p Alösen drch Fabian Khn left-rotate(p,) nd mfärben 10

11 Rot-Scharz-Bäme: Einfügen Fall 1: Geschisterknoten q on ist scharz Fall 1b: = p. right p p q 1. right-rotate(,) q p 3. mfärben p q q Fabian Khn 11

12 Rot-Scharz-Bäme: Einfügen Fall 2: Geschisterknoten q on ist rot p p q q p mfärben p q q Falls p. parent scharz ist, sind ir fertig das ist ach der Fall, falls p == root (dann noch root. color black) Sonst sind ir im gleichen Fall, ie am Anfang aber näher an der Wrzel! Fabian Khn 12

13 Rot-Scharz-Bäme: Einfügen 1. Füge neen Schlüssel normal ein Knotenfarbe des neen Knoten ist rot 2. Solange man in Fall 2 ist, färbe m Fall 2: roter Knoten mit rotem Parent-Knoten Geschisterknoten on ist ach rot 3. Sobald nicht mehr in Fall 2 Falls es ein Rot-Scharz-Bam ist, sind ir fertig Falls die Wrzel rot ist, mss die Wrzel scharz gefärbt erden Ansonsten ist man in Fall 1a oder 1b (oder symmetrisch) nd kann mit Hilfe on höchstens 2 Rotationen nd Umfärben on 2 Knoten einen Rot- Scharz-Bam erhalten Lafzeit: O Bamtiefe = O(log n) Fabian Khn 13

14 Rot-Scharz-Bäme: Löschen 1. Finde ie üblich einen Knoten, elcher gelöscht ird Knoten hat höchstens ein Nicht--Kind! Fallnterscheidng (Farbe on nd. parent) Annahme: ist linkes Kind on (sonst symmetrisch) Fall 1: Knoten ist rot Da mind. 1 -Kind haben mss nd es ein Rot-Scharz-Bam ist, mss 2 -Kinder haben kann einfach gelöscht erden Der Bam bleibt ein Rot-Scharz-Bam Fabian Khn 14

15 Rot-Scharz-Bäme: Löschen Fall 2: Knoten ist scharz Fall 2a: hat ein (rotes) nicht--kind lösche, färbe scharz Fall 2b: hat nr -Kinder 1. lösche Knoten hat jetzt nach links nr noch Scharz-Tiefe 1 (statt 2) Wir müssen den Bam anpassen Fabian Khn 15

16 Rot-Scharz-Bäme: Löschen Problemfall: Knoten hat nr -Kinder 1. lösche x Wir korrigieren erstmal die Scharz-Tiefe, in dem ir doppelt scharz färben Ziel: Wir möchten das zsätzliche Scharz den Bam hochbringen bis ir es enteder bei einem roten Knoten abladen können oder bis ir die Wrzel erreichen (nd damit kein Problem mehr haben). Fallnterscheidng: Farbe on nd der Kinder on Beobachtng: kann nicht sein (egen Scharz-Tiefe)! Fabian Khn 16

17 Rot-Scharz-Bäme: Löschen Annahme: Doppelt scharzer Knoten x Parent hat beliebige Farbe (markiert als grün) x ist linkes Kind on (rechtes Kind: symmetrisch) Geschisterknoten on x (rechtes Kind on ) ist Fallnterscheidng: Fall A: ist scharz, Fall B: ist rot Fall A.1 Fall A.3 x x a b Fall A.2 a b Fall B x x a b a b Fabian Khn 17

18 Rot-Scharz-Bäme: Löschen Fall A.1: ist scharz, rechtes Kind on ist rot x 1. left-rotate(,) b a b x a b x a Fabian Khn 18

19 Rot-Scharz-Bäme: Löschen Fall A.2: ist scharz, l. Kind on ist rot, r. Kind ist scharz x 1. right-rotate(,a) x a a b b x a b Jetzt sind ir ieder in Fall A.1 (a übernimmt Rolle on ) left-rotate(, a) nd mfärben eliminiert Doppelscharz Fabian Khn 19

20 Rot-Scharz-Bäme: Löschen Fall A.3: ist scharz, beide Kinder on sind scharz x 1. mfärben x a b a b Das zsätzliche Scharz andert eins nach oben Falls rot ist, kann man jetzt einfach scharz färben Knoten übernimmt sonst die Rolle on x nd kann ieder in einem der Fälle A.1, A.2, A.3 oder B (siehe nächste Folie) sein. Fall A.3 kann höchstens O(log n) oft orkommen Falls == root, können ir das zsätzliche Scharz einfach entfernen Bei Fall A.1 nd A.2 sind ir direkt fertig Fabian Khn 20

21 Rot-Scharz-Bäme: Löschen Fall B: ist rot x 1. left-rotate(,) b a b x a b Jetzt sind ir in Fall A.1, A.2 oder A.3 x a Bei A.1 oder A.2 sind ir in O 1 Zeit fertig Bei A.3 sind ir ach in O(1) Zeit fertig, eil jetzt rot ist! Fabian Khn 21

22 Rot-Scharz-Bäme: Löschen 1. Wie üblich Finde Knoten mit mind. 1 -Kind, elcher gelöscht erden kann ist etl. Vorgänger/Nachfolger on Knoten mit z löschendem Schlüssel 2. Falls der gelöschte Knoten scharz ist, mss man korrigieren Es hat einen scharzen Knoten x mit zsätzlichem Scharz 3. Mögliche Fälle: A.1, A.2, A.3, B Fall A.1: Mit 1 Rotation nd Umfärben on O 1 Knoten fertig Fall A.2: Mit 1 Rotation nd Umfärben on O(1) Knoten in Fall A.1 Fall A.3: Falls x. parent rot ist, mit Umfärben on O(1) Knoten fertig, falls x. parent scharz ist, andert zsätzliches Scharz Richtng Wrzel nd man ist ist ieder in A.1, A.2, A.3 oder B Fall B : 1 Rotation nd Umfärben on O 1 Knoten gibt A.1, A.2 oder A.3, Falls A.3, dann ist x. parent rot Lafzeit: O Bamtiefe = O(log n) Fabian Khn 22

23 AVL Bäme Siehe z.b. Bch on Ottmann/Widmayer Direkte Alternatie z Rot-Scharz-Bämen AVL Bäme sind binäre Schbäme, bei elchem für jeden Knoten gilt, dass T. left T. right 1 Anstatt einer Farbe (rot/scharz) merkt man sich die Tiefe jedes Teilbams AVL Bäme haben ach immer Tiefe O log n Sogar mit etas besserer Konstante als Rot-Scharz-Bäme AVL-Bedingng kann bei insert/delete jeeils mit O(log n) Rotationen ieder hergestellt erden Vergleich z Rot-Scharzbämen Sche ist in AVL Bämen etas schneller Einfügen / Löschen ist in AVL Bämen etas langsamer Fabian Khn 23

24 (a, b)-bäme Siehe z.b. Vorlesng om letzten Jahr Parameter a 2 nd b 2a 1 Elemente/Schlüssel sind nr in den Blättern gespeichert Alle Blätter sind in der gleichen Tiefe Falls die Wrzel kein Blatt ist, hat sie zischen 2 nd b Kinder Alle anderen inneren Knoten haben zischen a nd b Kinder Ein a, b -Bam ist also kein Binärbam! Ähnlich: B-Bäme Da erden in den inneren Knoten Schlüssel gespeichert Für grosse a, b bracht man etas mehr Speicher als bei BST Da man meistens gleich für b Elemente Platz macht Dafür sind die Bäme iel flacher Speziell gt z.b. für Dateisysteme (Zgriff sehr teer) Fabian Khn 24

25 Weitere Alternatien AA-Trees: ähnlich ie Rot-Scharz-Bäme (nr rechte Kinder können rot sein) Splay Trees: Binäre Schbam mit zsätzlichen gten Eigenschaften Elemente, af elche kürzlich zgegriffen rde, sind eiter oben Gt, falls mehrere Knoten den gleichen Schlüssel haben können Allerdings nicht streng balanciert Skip Lists: Verkettete Listen mit zsätzlichen Abkürzngen kein balancierter Schbam, hat aber ähnliche Eigenschaften (pictre from ikipedia) Fabian Khn 25

26 Praktische Übngsafgabe Programmieren eines Treaps: Wir stellen eine Binary Search Tree Implementierng zr Verfügng, elche Sie dann anpassen sollen Sie können enteder die Klasse ereitern oder einfach den gegebenen Programmcode ergänzen, m einen Treap z erhalten Operationen: insert, delete, find (+ triiale Op.) Zsätzlich: agdepth (gibt drchschnittliche Knotentiefe zrück) BFS range qery (gibt alle Schlüssel in einem Bereich [a,b] in BFS- Reihenfolge as) Fabian Khn 26

27 Graph Graph G = (V, E): Knotenmenge V nd Kantenmenge E Beispiele: Fabian Khn 27

28 Graph: Notation Knotenmenge V, typischereise n V Kantenmenge E, typischereise m E ngerichteter Graph: E,, V gerichteter Graph: E V V Beispiele: Fabian Khn 28

29 Knotengrade Graph G = (V, E) ngerichtet: Grad eines Knoten V: Anzahl Kanten (Nachbarn) on deg,, E Graph G = (V, E) gerichted: Eingangsgrad eines Knoten V: Anzahl eingehende Kanten deg in (),, E Asgangsgrad eines Knoten V: Anzahl asgehende Kanten deg ot (),, E Fabian Khn 29

30 Pfade Pfade in einem Graph G = (V, E) Ein Pfad in G ist eine Folge 1, 2,, k V mit gerichteter Graph: i, i+1 E für alle i {1,, k 1} ngerichteter Graph: i, i+1 E für alle i {1,, k 1} Länge eines Pfades (z. T. ach Kosten eines Pfades) ohne Kantengeichte: Anzahl der Kanten mit Kantengeichten: Smme der Kantengeichte Kürzester Pfad (shortest path) zischen Knoten nd Pfad,, mit kleinster Länge Distanz d, : Länge eines kürzesten Pfades zischen nd Drchmesser D max d(, ), V Länge des längsten kürzesten Pfades Fabian Khn 30

31 Beispiele: Pfade, Distanzen, Drchmesser Ungerichteter Graph Fabian Khn 31

32 Beispiele: Pfade, Distanzen, Drchmesser Gerichteter Graph Fabian Khn 32