Algorithmen zur Visualisierung von Graphen

Transkript

1 Algorithmen zr Visalisierng on Graphen Flssmethoden nd Einbettngsprobleme Vorlesng im Wintersemester 2011/

2 Winkelaflösng in geradlinigen Layots

3 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F

4 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f}

5 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A

6 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A

7 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A b() = 2π V

8 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A b() = 2π { V (deg(f) 2)π fallsf f 0 b(f) = (deg(f) + 2)π sonst

9 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A b() = 2π { V (deg(f) 2)π fallsf f 0 b(f) = (deg(f) + 2)π sonst Zeisng on Winkelerten liefert: 1. Knotenbed.: V : f x(, f) = 2π 2. Facettenbed.: f F : f x(, f) = (deg(f) 2)π

10 Konstrktion des Flssnetzerks W := V F A := {(, f) V F : inzident z f} l(a) = 0 a A (a) = 2π a A b() = 2π { V (deg(f) 2)π fallsf f 0 b(f) = (deg(f) + 2)π sonst Zeisng on Winkelerten liefert: 1. Knotenbed.: V : f x(, f) = 2π 2. Facettenbed.: f F : f x(, f) = (deg(f) 2)π 1. nd 2. erfüllt: Zeisng lokal konsistent

11 Gegenbeispiel Lokalkonsistenz x 10π 6 π 6 π 6 19π 12 π 6 3π 12 2π 3 2π 3 2π 3 π 12 π 6 21π 12

12 Charakterisierng bei Dreiecksgraphen Satz (Di Battista & Vismara 93) Gegeben planarer Dreiecksgraph mit kombinatorischer Einbettng nd Winkelzeisng, dann gilt: Es existiert eine geradlienige Realisierng Einbettng mit f 0 konex 1. Knoteninkel = 2π 2. Facetteninkel = π 3. f 0 : im Rad Rd gilt: d i=1 4. f 0 x(, f 0 ) π sin α i sin β i = 1

13 Charakterisierng bei Dreiecksgraphen Satz (Di Battista & Vismara 93) Gegeben planarer Dreiecksgraph mit kombinatorischer Einbettng nd Winkelzeisng, dann gilt: Es existiert eine geradlienige Realisierng Einbettng mit f 0 konex 1. Knoteninkel = 2π 2. Facetteninkel = π 3. f 0 : im Rad Rd gilt: d i=1 4. f 0 x(, f 0 ) π sin α i sin β i = 1 Konstrktion in O(n)

14 Charakterisierng bei Dreiecksgraphen Satz (Di Battista & Vismara 93) Gegeben planarer Dreiecksgraph mit kombinatorischer Einbettng nd Winkelzeisng, dann gilt: Es existiert eine geradlienige Realisierng Einbettng mit f 0 konex 1. Knoteninkel = 2π 2. Facetteninkel = π 3. f 0 : im Rad Rd gilt: d i=1 4. f 0 x(, f 0 ) π sin α i sin β i = 1 Konstrktion in O(n) nicht drch Flss erfüllt

15 Untere Schranke Satz (Malitz & Papkostas 92) In einem trianglierten, planar eingebetteten Graph G = (V, E), gibt es im zgehörigen Flssnetzerk N(G) einen Flss x, dessen minimaler Kantenert x min π 3 (deg max (G) 1) ist, obei deg max der maximale Grad eines Knoten in G ist. Ergibt ntere Schranke für obere Schranke der Winkelaflösng

16 Resltate mit fester Einbettng Satz (Tamassia 87) G Maxgrad-4-Graph mit fester planarer Einbettng Orthogonale Zeichnng on G mit minimaler Anzahl an Knicken kann effizient berechnet erden.

17 Resltate mit fester Einbettng Satz (Tamassia 87) G Maxgrad-4-Graph mit fester planarer Einbettng Orthogonale Zeichnng on G mit minimaler Anzahl an Knicken kann effizient berechnet erden. Satz (Di Battista, Tamassia 88) Gegeben ein gerichteter azyklischer Graph D = (V, A) mit Einbettng F, f 0. Es kann effizient getestet erden, ob D mit ein hete: Einbettng F nd äßerer Facette f 0 afärtsplanar ist. Ein entsprechendes Layot kann ggf. effizient konstriert erden.

18 Resltate mit ariabler Einbettng Satz (Garg, Tamassia 01) G Maxgrad-4-Graph mit ariabler Einbettng Entscheiden, ob G orthogonale Zeichnng ohne Knicke besitzt ist NP-scher. Minimierng scher af O(n 1 ε ) z approximieren. Satz (Garg, Tamassia 01) D = (V, A) planarer, gerichteter, azyklischer Graph mit ariabler Einbettng. Entscheiden, ob D eine afärtsplanare Zeichnng besitzt ist NP-scher. Satz (Biedl, Kant 94) Jeder planare maxgrad-4 Graph aßer dem Oktaedergraph besitzt orthogonale, planare Zeichnng mit höchstens zei Knicken pro Kante.

19 Variable Einbettngen: SPQR-Bam (Eingeführt on Di Battista, Tamassia 96)

20 SPQR-Bam (Beispiel) S P 1 5 R S S 9 10

21 SPQR-Bam (Beispiel) S P 1 5 R S S 9 10

22 SPQR-Bam (Beispiel) S P R S S 9 10

23 SPQR-Bam (Beispiel) S P 1 5 R S S 9 10

24 Split Pairs Split pair: {s, t} mit: st Kante oder G {s, t} nicht zsammenhängend s t

25 Split Pairs Split pair: {s, t} mit: st Kante oder G {s, t} nicht zsammenhängend s Maximale Split-Komponente eines Split Pairs {s, t}: Kante st Maximaler Teilgraph on G, für den {s, t} kein split pair ist. s s t s s t t t t

26 Split Pairs Split pair: {s, t} mit: st Kante oder G {s, t} nicht zsammenhängend s Maximale Split-Komponente eines Split Pairs {s, t}: Kante st Maximaler Teilgraph on G, für den {s, t} kein split pair ist. s s t s s Skizze on G bezüglich Split pair {s, t}: s t t t t t

27 SPQR-Bam, Fakten: SPQR-Bam für 2-fach zsammenhängenden Graph G: Bam T Blätter entsprechen bijekti den Kanten on G Jeder Knoten µ on T ist mit Mltigraph skel(µ) assoziert Skelett on µ Blätter on T heißen Q-Knoten

28 SPQR-Bam, Fakten: SPQR-Bam für 2-fach zsammenhängenden Graph G: Bam T Blätter entsprechen bijekti den Kanten on G Jeder Knoten µ on T ist mit Mltigraph skel(µ) assoziert Skelett on µ Blätter on T heißen Q-Knoten Skelette on Knoten: Kreis, Menge paralleler Kanten oder 3-fach zshg. Graph Knoten on skel(µ) sind Knoten on G Kante in skel(µ) besagt: {, } ist Split Pair in G Kanten sind enteder irtelle Kanten oder echte Kanten (Kanten as G) Kanten in skel(µ) entsprechen Nachbarn on µ in T

29 SPQR-Bam, Knoten nd Skelette Knoten-Art Q-Knoten (Blätter) Skelett irtelle Kante S-Knoten (Serie) P-Knoten (Parallel) R-Knoten (Rigid)

30 Konstrktion des SPQR-Bams Wähle Referenzkante e = on G Z jedem Zeitpnkt: Geg.: Split-Komponente G, Knotenpaar {, } nd Knoten ν Ges.: Füge Knoten µ, der G entspricht z T als Kind on ν hinz Eingangs: G := G e, {, } := {, }, ν ist Q-Knoten, der e repräsentiert.

31 Konstrktion des SPQR-Bams Wähle Referenzkante e = on G Z jedem Zeitpnkt: Geg.: Split-Komponente G, Knotenpaar {, } nd Knoten ν Ges.: Füge Knoten µ, der G entspricht z T als Kind on ν hinz Eingangs: G := G e, {, } := {, }, ν ist Q-Knoten, der e repräsentiert. Fallnterscheidng gemäß Strktr on G Basisfall: G einzelne Kante T ist einzelner Q-Knoten Serie: G nicht 2-fach zsammenhängend Parallel: {, } Split Pair on G Rigid:... Definiere jeeils entsprechendes Skelett Füge Kante z jedem Skelett hinz (Rest des Graphen)

32 Konstrktion des SPQR-Bams G

33 Konstrktion des SPQR-Bams G

34 Konstrktion des SPQR-Bams G S

35 Konstrktion des SPQR-Bams G S

36 Konstrktion des SPQR-Bams G S

37 Konstrktion des SPQR-Bams G S P

38 Konstrktion des SPQR-Bams G S P

39 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 4 S a 1 b c e 2 P d

40 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 4 S a 1 b c e 2 P S a e d

41 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 4 S a 1 b c e P S a e d

42 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 S 4 a 8 11 b 10 c e P S a e d

43 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 S 4 b c 1 5 a 8 e 9 7 d R P S a e b a e d

44 Konstrktion des SPQR-Bams G 3 S 4 b c 1 5 a 8 e d R P S a e b a e d

45 Konstrktion des SPQR-Bams 3 S 4 b 10 c R P S a b a d e e

46 Konstrktion des SPQR-Bams 3 S 4 b 10 c R P a S S 9 10 a b d e e

47 Konstrktion des SPQR-Bams G S R P a S S 9 10 a b d e e

48 Konstrktion on R-Knoten {s, t} Split Pair on G, G max. Split-Komp. gehört echt z G, enn s, t G ist intern, enn eder noch echt z G gehören sonst: G extern

49 Konstrktion on R-Knoten {s, t} Split Pair on G, G max. Split-Komp. gehört echt z G, enn s, t G ist intern, enn eder noch echt z G gehören sonst: G extern {s, t} ist maximal, enn 1. besitzt interne Split-Komponente 2. keine andere maximal interne Splitkomponente bzgl. {s, t } die Knoten s nd t enthält

50 Konstrktion on R-Knoten {s, t} Split Pair on G, G max. Split-Komp. gehört echt z G, enn s, t G ist intern, enn eder noch echt z G gehören sonst: G extern {s, t} ist maximal, enn 1. besitzt interne Split-Komponente 2. keine andere maximal interne Splitkomponente bzgl. {s, t } die Knoten s nd t enthält { 1, 1 },..., { k, k } maximale Split Pairs, G i Vereinigng aller inneren maximalen Split-Komponenten on { i, i } Konstrktion on skel(µ): ersetze G i drch Kante e i

51 Verschmelzen on Skeletten Skelette benachbarter Knoten teilen sich gena zei Knoten gena eine irtelle Kante Wrzelng liefert spezielle irtelle Kante für jeden Knoten µ Endknoten heißen Pole on µ Verschmelze zei Skelette: Identifiziere gemeinsame Knoten nd irtelle Kante Entferne gemeinsame irtelle Kante S P

52 Verschmelzen on Skeletten Skelette benachbarter Knoten teilen sich gena zei Knoten gena eine irtelle Kante Wrzelng liefert spezielle irtelle Kante für jeden Knoten µ Endknoten heißen Pole on µ Verschmelze zei Skelette: Identifiziere gemeinsame Knoten nd irtelle Kante Entferne gemeinsame irtelle Kante S P

53 Pertinent Graph nd Allokationsknoten Pertinent Graph pert(µ) entsteht drch skzessies Verschmelzen on µ mit allen Skeletten im Teilbam on µ Pertinent Graph des Wrzelknotens ist G Nützlich für dynamische Programmierng Allokationsknoten eines Knoten as G sind alle Knoten µ, deren Skelett enthält. Bilden Teilbam on T

54 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G

55 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G G planar alle Skelette planar

56 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G G planar alle Skelette planar Umgekehrt: Planare Einbettngen on Skeletten lassen sich erschmelzen Alle Skelette planar G planar

57 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G G planar alle Skelette planar Umgekehrt: Planare Einbettngen on Skeletten lassen sich erschmelzen Alle Skelette planar G planar Welche Rolle spielt die Wrzel? Referenzkante liegt af äßerer Facette Bette Skelette so ein, dass Referenzkante aßen liegt Ohne Referenzkante: Einbettngen af der Kgel

58 SPQR-Bam nd Planarität Bis jetzt: Alles ach für nicht-planare Graphen Jedes Skelett ist Minor on G G planar alle Skelette planar Umgekehrt: Planare Einbettngen on Skeletten lassen sich erschmelzen Alle Skelette planar G planar Welche Rolle spielt die Wrzel? Referenzkante liegt af äßerer Facette Bette Skelette so ein, dass Referenzkante aßen liegt Ohne Referenzkante: Einbettngen af der Kgel Zentrale Assage: Einbettng on G Einbettngen aller Skelette

59 Bemerkngen (nr für planare Graphen) SPQR-Bam repräsentiert alle planaren Einbettngen on 2- fach zsammenhängenden planaren Graphen SPQR-Bam hat Größe O(n) Berechnng in Linearzeit [Gtenger, Mtzel 00] Ermöglicht Optimierng über alle Einbettngen

60 Anendngen Problem (FLEXDRAW) Geg.: Graph G = (V, E), flex : E N 0 Ges.: Orthogonale, planare Zeichnng on G mit bends(e) flex(e) für alle e E Komplexität?

61 Anendngen Problem (FLEXDRAW) Geg.: Graph G = (V, E), flex : E N 0 Ges.: Orthogonale, planare Zeichnng on G mit bends(e) flex(e) für alle e E Komplexität? NP-scher (setze flex 0)

62 Anendngen Problem (FLEXDRAW) Geg.: Graph G = (V, E), flex : E N 0 Ges.: Orthogonale, planare Zeichnng on G mit bends(e) flex(e) für alle e E Komplexität? NP-scher (setze flex 0) FLEXDRAW mit positier Flexibilität: flex(e) 1 für e E

63 Anendngen Problem (FLEXDRAW) Geg.: Graph G = (V, E), flex : E N 0 Ges.: Orthogonale, planare Zeichnng on G mit bends(e) flex(e) für alle e E Komplexität? NP-scher (setze flex 0) FLEXDRAW mit positier Flexibilität: flex(e) 1 für e E Satz (Bläsis, Krg, Rtter, Wagner 11) FLEXDRAW mit positier Flexibilität lässt sich in O(n 2 ) Zeit lösen. Skizze für O(n 5/2 )