5 Anwendung Tiefensuche: Starke Zusammenhangskomponenten

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1 55 5 Anwendng Tiefensche: Starke Zsammenhangskomponenten Starke Zsammenhangskomponenten beziehen sich immer nr af gerichtete Graphen. Der Begriff der Zsammenhangskomponente im ngerichteten Graph besagt, dass zwei Knoten z einer solchen Komponente gena dann gehören, wenn man zwischen ihnen hin nd her gehen kann. Die analoge Sche führt bei gerichteten Graphen af starke Zsammenhangskomponenten. Einige Beispiele: y z x w Starke Zsammenhangskomponente x w y kann nicht dabei sein. (y, z) ist keine starke Zsammenhangskomponente, also sind y nd z alleine, Interessante Beobachtng: Scheinbar gehört nicht jede Kante z einer starken Zsammenhangskomponente. w x Der ganze Graph ist eine starke Zsammenhangskomponente. Z, w haben wir z.b. die Wege (,,w) nd (w,,). Die Kanten der Wege sind alle erschieden, die Knoten nicht! Damit sind die Vorbereitngen für folgende offizielle Definition getroffen: Definition 5.(stark zsammenhängend): Ist G = (V, E) gerichtet, so ist G stark zsammenhängend Für alle, V gibt es Wege (,) nd (,) Also noch einmal: Ist (,) stark zsammenhängend? Es bietet sich an, einen Graphen, der nicht stark zsammenhängend ist, in seine stark zsammenhängenden Teile afzteilen.

2 56 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN Definition 5.(Starke Zsammenhangskomponente, starke Komponente): Ist G = (V,E) gerichteter Graph. Ein Teilgrpah H = (W,F) on G, d.h. W V nd F E ist eine starke Zsammenhangskomponente H ist ein maximaler indizierter Teilgraph on G, der stark zsammenhängend ist. Man sagt ach: starke Komponente. Was soll das das maximal? Wir haben folgende Anordnng af dem indizierten Teilgraphen on G: SeiH = (W,F),H = (W,F ), dann H H, gena dann, wenn H Teilgraph on H ist, d.h. W W. Ein maximaler stark zsammenhängender Teilgraph ist einer, der keinen weiteren stark zsammenhängenden über sich hat. Also w x y z a dann sind die starken Komponenten w x y z a Nicht y z a, obwohl stark zsammenhängend, wegen der Maximalität. Man sieht noch einmal: Jeder Knoten gehört z gena einer starken Komponente. Warm kann ein Knoten nicht z zwei erschiedenen starken Komponenten gehören? Etwa in: x Wir gehen das Problem an z testen, ob ein Graph stark zsammenhängend ist, bzw, die starken Komponenten z finden. Ein einfacher Algorithms wäre etwa: Prüfe für je zwei Knoten (,), ob es einen Weg on nach nd on nach gibt. Etwas genaer:

3 57 Eingabe G = (V,E),V = {,...,n}. Generiere alle Paare (,) on Knoten mit <.. Für jedes (,) as. führe as: BFS(G, ), BFS(G,) Teste, ob nd gefnden werden. Fall nicht, ist die Asgabe Nicht stark zsammenhängend (Weg (,)). Asgabe: stark zsammenhängend Zeitabschätzng:. O( V ). O( V ( V + E ) also O( V E ), sofern E V. O( V E ) kann O( V ) sein. Es geht etwas besser:. BFS(G, ) für einen Knoten, so modifiziert, dass alle gefndenen af Liste gespeichert.. Für jedes in. gefndene wird folgendes asgeführt: BFS(G, V). Teste, ob hier gefnden wird. dann ach

4 58 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN Zeitabschätzng:. O( V + E ). O( V ( V + E ) also O( V E ) sofern E V. V E kann bis V gehen ( V = 0, dann V = 000!) Bemerkng Sei G = (V,E) ein gerichteter Graph ns sei V. G ist stark zsammenhängend gena dann, wenn für alle w V gilt w, w Beweis. klar nach Definition Sind x,y V, dann x y nd y x nach Vorassetzng. Finden on starken Zsammenhangskomponenten in O( V + E )! Schlüsselbeobachtng ist: Sind H = (W,F ),H = (W,F ) zwei starke Komponenten on G = (V,E), dann H H in G oder in G H H nd allgemeiner:

5 59 Satz 5.: Fassen wir die starken Komponenten als einzelnen Knoten af nd erbinden sie gena dann, wenn sie in G erbnden sind, so ist der entstehende gerichtete Graph kreisfrei. Beweis. Ist (H,H,...,H k,h ) ein Kreis af der Ebene der Komponenten, so gehören alle H i z einer Komponente. Wir können die Komponenten topologisch sortieren! Immer ist nach Tiefensche: H H H größte Beendezeiten alles aßer Rückwärtskante kleinste Beendezeiten Ordnen wir die Knoten einmal nach absteigender Beendezeit, dann immer: on H H oder H H, H, H f[ ] am f[ ] am größten, größten H in H f[ ] am größten in H = Knoten mit kleinster Anfangszeit in H = Knoten mit kleinster Anfangsteit in H = Knoten mit kleinster Anfangszeit in H (Weißer-Weg-Satz) Bem.: Die maximale Beendezeit in Komponenten lässt die topologische Sortierng erkennen. Wie kann man aber diese,, erkennen? Fangen wir in H an, dann H, dann H, dann sind,, die Wrzeln der Bäme. Aber nicht, wenn die Reihenfolge H,H,H gewählt wird. Raslafen tritt af. Deshalb: Eine weitere Tiefensche mit dem Umkehrgraph: H H H Haptschleife on DFS(G) in obiger Reihenfolge:

6 60 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN H H, H H, H, H Komponenten kommen nach topologischer Sortierng Dann DFS-isit( ): Gena H steht orne af der Liste. DFS-isit( ): Gena H orne af der Liste DFS-isit( ): Gena H. orne af der Liste 5. Algorithms Starke Komponenten Starke-Komponenten(G) Eingabe: G = (V,E) gerichteter Graph.. DFS(G). Mit Liste nach absteigender Beendezeit V = (,,..., n ), f[ ] > f[ ] > > f[ n ].... zletzt beendet n... zerst beendet. Drehe Kanten in G m. Graph G U.. DFS(G U ) mit Haptschleife nach Liste V. Jedes DFS-isit() in der Haptschleife ergibt eine starke Komponente Zeit:O( V + E )!

7 5. Algorithms Starke Komponenten 6 Beispiel 5.:. Tiefensche a 6 b 5 V = (a, b, c) c. Tiefensche a b kein Raslafen c 5 6 a. Tiefensche 5 6 b. Tiefensche wie orher c

8 6 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN Motiation des Algorithms K starke Komponenten K K K erste Tiefensche fängt hier an Eine Tiefensche entdeckt in jedem Fall die Komponete eines Knotens Die Tiefensche kann aber raslafen! Die Tiefensche lässt die topologische Sortierng af den Komponenten erkennen: nach maximaler Beendezeit in Komponente: K < K K < K < max. Beendezeit egal, ob zerst nach K oder K K < K K < K < Kanten Bei Beginn in K bekommen wir: K < K < K < K. Wie kann man das Raslafen jetzt erhindern? K kein Raslafen, K da K schwarz or K K K

9 5. Algorithms Starke Komponenten 6 Haptschleife gemäß topologischer Sortierng, d.h. abfallende Beendezeit: K,K,K,K b Umkehrng 7 0 f a Stammater 5 d c 6 e Stammater 9 h i 9 g Umkehrng Stammater 5 l 7 j 6 k. Tiefensche on Starke-Komponenten(g) Knotenliste: (a, b, c, e, f, g, i, j, k, l, h, d). Komp.. Komponente Stammater = der Knoten, über den eine starke Komponente das erste Mal betreten wird. erstes Mal = kleinste Anfangszeit Einige Überlegngen zr Korrektheit. Welcher Knoten einer Komponente wird zerst betreten? Definition 5.(Stammater): Nach dem Laf on DFS(G) sei für V Φ() = der Knoten, der nter allen on erreichbaren Knoten die maximale Beendezeit hat. Φ() Stammater on. Satz 5.: (a) Es ist col[φ()] = gra bei d[]. (b) In G Φ (), Φ() Beweis.

10 6 5 STARKE ZUSAMMENHANGSKOMPONENTEN (a) Klar bei = Φ(). Sei also Φ(). Wir schließen die anderen Fälle as.. Fall col[φ()] schwarz bei d[]. Dann f[φ()] < d[] < f[] im Widersprch zr Definition, da ja.. Fall col[φ()] weiß bei d[]. Gibt es z d[] Weißen Weg on nach Φ(), dann d[] < d[φ()] < f[φ()] < f[] im Widersprch zr Definition on Φ(). Gibt es z d[] keinen Weißen Weg on nach Φ() dann (da ja sieht es so as:... Weißer Weg col[ ] = gra bei d[] l col[ ] = schwarz geht nicht l k Φ() Es ist l der letzte Knoten af dem Weg mit col[ l ] = gra. Dann aber wegen Weißem Weg d[ l ] < d[φ()] < f[φ()] < f[ l ] im Widersprch zr Definition on Φ(), da (b) Mit (a) ist d[φ()] < d[] < f[] < f[φ()] l Φ () ) Folgerng 5.: a), in einer starken Komponente Φ() = Φ() Stammäter starke Komponenten b) Φ() = der Knoten mit der kleinsten Anfangszeit in der Komponente on. Beweis. a) Mit letztem Satz nd Definition Stammater: Φ() () Φ Also Φ() = Φ(). Andererseits

11 5. Algorithms Starke Komponenten 65 Φ() = Φ() Also, in einer Komponente. b) Sei mit kleinster Anfangszeit in starker Komponente. Dann d[] < d[] < f[] < f[] für alle in der Komponente. Alle on erreichbaren werden or f[] entdeckt, also or f[] beendet. Also = Φ() Beachte noch einmal. Tiefensche fängt z.b. hier an. V = (,...,,..., ) wegen Beendezeiten. Die Korrektheit des Algorithms ergibt sich jetzt as: Satz 5.: In der Liste V = (,..., n ) gibt die Position der Stammäter eine topologische Sortierng der starken Komponenten an. Beweis. Sei also die Liste V = (,..., ) n Stammater l Stammater k Stamm ater Sei k < l, dann gibt es keinen Weg in G. Stammater, da f[ l ] > f[ k ]. l k, denn sonst wäre l kein Im Umkehrgraph: Gleiche Komponenten wie orher. Aber Kanten zwischen Komponenten Komponenten gegen topologische Sortierng. Also gibt die. Tiefensche die Komponenten as.