Graphentheorie. Planarität und Dualität. Planarität und Dualität. Planarität und Dualität. Rainer Schrader. 28. November 2007.

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1 raphentheorie Rainer Schrader Zentrm für Angewandte Informatik Köln 8. Noember / 67 / 67 liederng planare raphen Eler-Formel Charakterisierng planarer raphen Erweiterngen kreisplanare raphen Dalität raphen repräsentieren.a. Diagramme oder Verdrahtngen on Schaltngen af Chips dabei tritt das roblem af, den raphen so darzstellen, dass sich möglichst wenige Kante krezen nser Ziel in diesem Kapitel ist die Einbettng eines raphen in einen Ram möglichst niedriger Dimension, so dass keine zwei Kanten sich schneiden / 67 / 67

2 wir erlaben orübergehend, Kanten so z zeichnen, dass sie nicht as einer Strecken bestehen für nsere Zwecke reicht es, olygonzüge nd olygone z betrachten wir beschränken ns z Beginn af den R sei R eine Vereinigng endlich ieler Strecken ist ein olygon, wenn es homöomorphes Bild des Einheitkreises ist ist ein olygonzg, wenn es homöomorphes Bild des Einheitsinteralls ist die Bilder on 0 nd 1 heißen Endpnkte des olygonzgs der olygonzg erbindet die beiden Endpnkte des olygonzgs seien V nd E endliche Teilmengen des R das aar Γ = (V, E ) heißt planare Einbettng, wenn gilt: V ist eine Menge on nkten des R E ist eine Menge on olygonzügen im R die Endpnkte eines olygonzgs liegen in V kein anderer nkt eines olygonzgs liegt in V zwei olygonzüge schneiden sich nr in Endpnkten V ist die Menge der Knoten, E die Menge der Kanten 5 / 67 6 / 67 sei Γ = (V, E ) eine planare Einbettng nd X = V E R (dann ist R X eine offene Menge) zwei nkte, y R X heißen äqialent, wenn nd y in R X drch einen olygonzg erbnden werden können zwei nkte, y R X heißen äqialent, wenn nd y in R X drch einen olygonzg erbnden werden können die Äqialenzklassen dieser Relation heißen Region oder ebiet es gibt eine nbeschränkte Region (Aßenregion) nd beschränkte Innenregionen z f y f 1 f f X 7 / 67 8 / 67

3 sei f R eine Region sei Y R die Menge aller nkte y, für die gilt: ist U eine Umgebng on y, so ist U X nd U (R X ) Y heißt Rand on f es gilt die folgende Assage (ohne Beweis): Lemma Sei Γ = (V, E ) eine planare Einbettng. Für jede Kante e E gilt: (i) liegt e af einem olygon, so liegt e af dem Rand on gena zwei Regionen, (ii) liegt e af keinem olygon, so liegt e af dem Rand on gena einer Region. Beweisskizze: (i) e liegt af einem olygon Satz 1 (Jordanscher Krensatz für olynome) Ist R ein olygon, so hat R gena zwei ebiete. Jedes der ebiete hat als Rand. sei im Innern on e jede Umgebng U on schneidet nach Satz 1 zwei Regionen f 1, f angenommen e ist Rand einer weiteren Region f dann wäre aber U f 1 f oder U f f 9 / 67 nd damit wegen der Äqialenzrelation f 1 = f oder f = f 10 / 67 (ii) e liegt af keinem olygon dann ist e Brücke oder Antenne sei = (V, E ) ein raph heißt planarer raph, wenn gilt: e e es eistiert eine planare Einbettng Γ = (V, E ) es eistieren Bijektionen V V nd E E die Bijektionen erhalten die Inzidenzen planare raphen sind somit in den R einbettbar dabei schneiden sich Kanten nr in inzidenten Endknoten angenommen e liegt af dem Rand on zwei Regionen f 1, f dann mss eine daon beschränkte Region sein wenn wir om R zm R übergehen, gilt das folgende: nd ein olygon als Rand haben, af dem e liegt. 11 / 67 1 / 67

4 Satz Jeder raph ist in den R einbettbar. ordne jedem Knoten einen nkt af der -Achse z ordne jeder Kante eine Ebene z, die die -Achse enthält erbinde zwei adjazente nkte drch einen olygonzg in der Ebene, die der Kante entspricht: Satz Ein raph ist gena dann planar, wenn er af der Kgeloberfläche eingebettet werden kann. drch stereographische rojektion om Nordpol : 1 / 67 1 / 67 für jeden nkt der Ebene gilt: die Verbindng on mit dem Nordpol schneidet die Kgel in gena einem nkt dies liefert die gewünschte Bijektion zwischen der Ebene nd der Kgel (ohne den Nordpol). olygonzüge stellen für planare raphen keine nzlässige Erweiterng dar wir können jede Region als nbeschränkte Region wählen dies folgt as Satz nd Rotation, so dass der Nordpol in der gewünschten Region liegt eine Kante e eines planaren raphen ist gena dann Schnittkante, wenn af beiden Seiten on e die gleiche Fäche liegt denn ist e Schnittkante, so lässt sich der raph wie folgt darstellen: wir geben daz den folgenden Satz ohne Beweis an: Satz 5 Jeder einfache planare raph kann stets so in die Ebene eingebettet werden, dass seine Kanten Strecken sind. e ist mgekehrt e keine Schnittkante, so liegt e nach Satz. af einem Kreis 15 / / 67

5 liederng planare raphen Eler-Formel Charakterisierng planarer raphen Erweiterngen kreisplanare raphen Dalität Satz 6 (Eler) Sei ein zsammenhängender, planarer raph mit n Knoten, m Kanten nd f Regionen. Dann gilt: n + f = m +. Veranschalichng: interpretiere die äßere Region als Meer, die Kanten als Dämme nd die Knoten als Lechttürme wenn ein Damm bricht, der Meer nd Insel trennt, wird ein inneres Land überschwemmt ein Dammbrch entspricht dem Entfernen einer Kante wir entfernen nacheinander solche Kanten bis die Insel überfltet ist dann wrden f 1 Kanten entfernt nd ist ein Bam, d.h. er enthält n 1 Kanten damit folgt für die Anzahl der Dämme: m = (f 1) + (n 1). 17 / / 67 Satz 6 (Eler) Sei ein zsammenhängender, planarer raph mit n Knoten, m Kanten nd f Regionen. Dann gilt: n + f = m +. Indktion über m : a) m = 0 : dann ist n = 1 (Zsammenhang) nd f = 1 b) m 1 m : sei ein raph mit m 1 Kanten, n Knoten nd f Regionen sei der raph der entsteht, wenn wir eine nee Kante e hinzfügen e ist Schleife: dann folgt n = n, m = m + 1, f = f + 1 e ist nicht Schnittkante in : nach der origen Beobachtng ist f = f + 1, n = n, m = m + 1. jede Kante on ist Schnittkante: ist ein Bam mit m = n 1, f = 1. Da in nicht zsammenhängenden raphen die nbeschränkte Region nr einmal gezählt wird, gilt: Korollar 7 Sei ein raph mit n Knoten, m Kanten, f Regionen nd k Komponenten. Dann gilt: n + f = m + k + 1. Als Folgerng ergibt sich nmittelbar: 19 / 67 0 / 67

6 Korollar 8 Sei ein zsammenhängender, planarer, einfacher raph mit n Knoten nd m Kanten. Dann gilt: m n 6. seien R 1,..., R f die Regionen on sei d (R i ) die Anzahl der Kanten, die R i begrenzen (Schnittkanten werden doppelt gezählt) da jede Kante, die nicht Schnittkante ist, zwei Regionen trennt, gilt f i=1 d (R i ) = m liederng planare raphen Eler-Formel Charakterisierng planarer raphen Erweiterngen kreisplanare raphen Dalität da einfach ist, wird jede Region drch mindestens drei Kanten begrenzt d.h., d (R i ), nd somit f i=1 d (R i ) f as der Eler-Formel folgt dann m + = n + f n + m nd somit m n 6. 1 / 67 / 67 Korollar 9 K 5 nd K, sind nicht planar. wäre der K 5 planar, so würde as Korollar 8 folgen: 10 = m n 6 = 9. K, ist bipartit, enthält also keine ngeraden Kreise damit wird jede Region on mindestens Kanten begrenzt wie orher gilt dann: f d (R i ) = m. somit f 9 in K,. as der Eler-Formel folgt aber f = m n + = = 5. lanare raphen können nicht beliebig komple sein: Korollar 10 Sei ein einfacher planarer raph. Dann gilt: enthält mindestens einen Knoten om rad 5 hat keine Schnittkanten nd ist d ( ) für alle V, so eistiert eine Region, die on höchstens 5 Kanten begrenzt wird. Übngsafgabe die Annahme d ( ) ist keine Einschränkng der Allgemeinheit denn die lanarität bleibt nbeeinflsst, wenn wir eine Kante nterteilen bzw. mgekehrt einen Knoten om rad zwei nd seine inzidenten Kanten drch eine nee Kante ersetzen / 67 / 67

7 zwei raphen sind homöomorph, wenn sie drch Unterteilen on Kanten ineinander überführt werden können der etersen-raph ist nicht planar, denn er enthält einen Teilgraph, der homöomorph z K, ist: Satz 11 (Kratowski) Sei ein raph mit Zsammenhangszahl höchstens zwei. ist gena dann planar, wenn er keinen Teilgraphen enthält, der homöomorph z K 5 oder K, ist. T 1 S a S 1 T b S T T T T 1 b c a d es bleibt z zeigen, dass die Bedingng hinreichend ist wir führen daz eine Indktion nach n, nd für festes n nach m drch da der K planar ist, nd damit alle Teilgraphen, können wir annehmen, dass n 5 c d S S 1 S sei also ein raph mit n Knoten nd m Kanten, der keine Unterteilng on K 5 oder K, als Teilgraph enthält wir wollen planare raphen charakterisieren wir betrachten daz zerst raphen mit kleiner Zsammenhangszahl wir nterscheiden erschiedene Fälle nach der Zsammenhangszahl κ() 5 / 67 6 / 67 κ() = 0 : dann ist nzsammenhängend dann können wir beide Darstellngen zsammenheften, indem wir die beiden Kopien on identifizieren per Indktion ist jede Zsammenhangskomponente on planar nd damit ach κ() = 1 : dann eistiert ein Schnittknoten 1 1 lässt sich in zwei Teilgraphen 1 = (V 1, E 1 ) nd = (V, E ) mit V 1 V = { } nd E 1 E = zerlegen 1 nd erfüllen die Vorassetzng der Indktion κ() = sei {, } eine Schnittmenge wähle planare Einbettngen on 1 nd Rande liegt so, dass jeweils am entfernen wir {, }, so zerfällt in disjnkte raphen 1 nd wir fügen jeweils Kopien on nd sowie die Kante e = (, ) hinz, falls diese in lag 7 / 67 8 / 67

8 da -zsammenhängend ist, gilt: es eistieren zwei Knoten a, b a, b sind in drch zwei knotendisjnkte Wege erbnden diese Wege lafen über nd in {, } liegen a nd b in erschiedenen Zsammenhangskomponenten damit eistieren (, )-Wege W 1 1 nd W, die jeweils on e erschieden sind a b wir wollen weiter ähnlich orgehen wie im Fall κ() = 1 wir können aber nicht garantieren, dass die beiden Knoten gemeinsam af dem Rand des Aßengebiets liegen betrachte nn die raphen 1 e, e angenommen, einer dieser Teilgraphen, etwa 1 e, erfüllt die Indktionorassetzng nicht dann enthält 1 e einen Teilgraphen, der homöomorph z K 5 oder K, ist dieser Teilgraph mss die Kante e enthalten dann würde aber ach 1 W einen solchen Teilgraph enthalten 1 9 / 67 0 / 67 per Indktion können wir daher planare Darstellngen on 1 e, e finden, in denen e jeweils am Rande liegt: Lemma 1 In einem -zsammenhängenden planaren raphen wird jede Region drch einen Kreis begrenzt nd liegt jede Kante af dem Rand on gena zwei Regionen. 1 1 Beweisskizze: betrachte eine Ohrendekomposition on wird ein nees Ohr hinzgefügt, so mss innerhalb einer bereits konstrierten Region erlafen wir identifizieren die beiden Kopien nd entfernen e, wenn e /. Für den Beweis der Charakterisierng planarer raphen mit höherer Zsammenhangszahl benötigen wir noch zwei Assagen: per Indktion wird diese Region drch einen Kreis begrenzt da dieser Kreis die beiden Endknoten, on enthält, zerfällt er in zwei disjnkte (, )-Wege, die zsammen mit die alte Region in zwei nee Regionen zerlegt, die wiederm on Kreisen begrenzt werden ebenso begrenzen wieder alle Kante gena zwei Regionen. 1 / 67 / 67

9 Satz 1 Jeder -zsammenhängende raph enthält eine Kante e, so dass e wieder -zsammenhängend ist. angenommen die Assage ist falsch dann ist für jede jede Kante e = (, ) der raph e höchstens -zsammenhängend e besitzt damit eine trennende Menge S mit S da -zsammenhängend ist, mss der drch die Kontraktion on e entstandene nee Knoten e in S liegen somit eistiert ein Knoten w / {, }, so dass { e, w } den raphen e trennt damit ist ach T = {,, w } eine trennende Menge in wähle die Kante e, den Knoten w nd die Zsammenhangskomponente C so, dass C minimal ist w mss einen Nachbarn y in C haben andernfalls wäre C eine Komponente on {, } -Zsammenhang z w T y C zm wiederm eistiert zr Kante f = (w, y ) ein Knoten z, so dass {w, y, z} nzsammenhängend ist / 67 / 67 z w T da e = (, ) E, eistiert eine Zsammenhangskomponente D on {w, y, z}, die weder noch enthält wie orher hat y einen Nachbarn in D (andernfalls wäre D eine Komponente on {w, z} zm -Zsammenhang) betrachte die Nachbarn on y in D da y C, folgt (N(y ) D) C da sowohl D als ach C zsammenhängend sind, folgt daras D C y C D der Satz 1 enthält implizit eine Konstrktionsorschrift für -zsammenhängende raphen: asgehend on einem K, spalte iterati Knoten in zwei benachbarte nee Knoten om rad mindestens drei af, so dass jeder Nachbar on z mindestens einem neen Knoten benachbart ist wie im ersten Teil der Charakterisierng der lanarität werden wir eine Indktion über die Anzahl der Kanten drchführen nd dabei die Kantenkontraktion bentzen dafür müssen wir ns on der Richtigkeit der folgenden Assage überzegen. mit y C D ergibt sich ein Widersprch zr Minimalität on C. 5 / 67 6 / 67

10 Lemma 1 Enthält e einen Teilgraphen, der homöomorph z einem K 5 K, ist, so ach. Übngsafgabe oder es bleibt z zeigen, dass die Bedingng hinreichend ist für raphen mit κ() nach Satz 1 eistiert eine Kante e = (, ) E, so dass = e wieder -zsammenhängend ist Damit haben wir alle Ztaten für den folgenden Satz: Satz 15 (Kratowski) Ein raph ist gena dann planar, wenn er keinen Teilgraphen enthält, der homöomorph z K 5 oder K, ist. seien S = N (), T = N ( ) wegen κ() ist insbesondere T sei e der nee Knoten in, der drch die Kontraktion on e entsteht kann nach Lemma 1 ach keinen Teilgraph enthalten kann, der homöomorph z einem K 5 oder K, ist per Indktion ist daher planar 7 / 67 8 / 67 wir betrachten eine planare Einbettng on nd seine inzidenten Kanten e nd entfernen darin seien 1,... k die Knoten in S V (K ) zyklisch drchnmmeriert dies zerlegt den Kreis K in eine Menge i, i = 1,..., k on Wegen, die jeweils i mit i+1 erbinden ( k +1 = 1 ) e dadrch entsteht eine Region f, in der rsprünglich der Knoten e sei K der Rand on f lag da e f, gilt S T K da -zsammenhängend ist, ist e nach Lemma 1 ist dann K ein Kreis -zsammenhängend in der planaren Einbettng on können wir die Kanten der Form ( e, z) mit z T S entfernen nd den Knoten e drch den rsprünglichen Knoten ersetzen 9 / 67 0 / 67

11 i a i i+1 i+1 j+1 b j dadrch erhalten wir eine Einbettng on as dieser Einbettng on können wir offensichtlich leicht eine Einbettng on konstrieren, wenn T i für ein i {1,..., k } wenn T i, so werden wir zeigen, dass der raph einen z K 5 oder homöomorphen Teilgraph enthält K, (a) hat drei Nachbarn in { 1,..., n }: diese indzieren zsammen mit nd einen zm K 5 homöomorphen raphen wir nterscheiden drei Fälle: 1 / 67 / 67 i a i i a i i+1 i+1 i+1 i+1 j+1 b j+1 b j j (b) T = { i, j } für i < j : es mss gelten j > i + 1 nd {i, j} = {1, k } (ansonsten T i ) damit eistieren Knoten i+1 nd j+1, die zsammen mit den Knoten {,, i, j } einen zm K, homöomorphen Teilgraphen indzieren (c) hat einen Nachbarn a in der Menge V ( i ) { i, i+1 } für ein i nd einen Nachbarn b / V ( i ) : in diesem Fall indzieren,, i, i+1, a, b einen zm K, homöomorphen Teilgraphen. / 67 / 67

12 as dem Satz on Kratowski ergibt sich ein lanaritätstest: kontrahiere alle Knoten om rad zwei überprüfe im Restgraphen alle fünf- bzw. sechselementigen Teilmengen daraf, ob sie einen K 5 oder K, bilden dieses Vorgehen ist sicherlich polynomiell, wenn ach nicht besonders effizient darüber hinas bildet es lediglich einen Test af lanarität nd liefert keine planare Einbettng liederng planare raphen Eler-Formel Charakterisierng planarer raphen Erweiterngen kreisplanare raphen Dalität der obige Beweis liefert implizit ach eine Konstrktionsorschrift für eine planare Einbettng mit, ist aber sehr afwendig Hopcroft nd Tarjan haben 197 einen Algorithms entwickelt, der in O(n) eine planare Einbettng konstriert. 5 / 67 6 / 67 wenn ein raph nicht planar ist, drängt sich die Frage af, wieiel Brücken gebat werden müssen, m Krezngen z ermeiden dies führt zm einen af die Krezngszahl (crossing nmber), die angibt, wieiele Kanten sich in einer planaren Darstellng mindestens schneiden müssen zm anderen af das eschlecht eines raphen wir wissen, dass sich planare raphen af der Oberfläche der Kgel einbetten lassen m bei nichtplanaren raphen eine Krezng z ermeiden, fügen wir einen riff zr Kgel hinz der riff kann Kanten afnehmen nd darnterliegende Kanten überbrücken die Anzahl der riffe, die nötig sind, m den raphen af der entsprechenden Oberfläche darzstellen, bilden das eschlecht des raphen raphen om eschlecht 0 sind die planaren raphen raphen om eschlecht 1 heißen toroidal, da wir die Kgel mit einem riff z einem Tors erformen können 7 / 67 8 / 67

13 liederng planare raphen Eler-Formel Charakterisierng planarer raphen Erweiterngen kreisplanare raphen Dalität wir nterschen im folgenden eine wichtige Teilklasse planarer raphen sei = (V, E ) ein ngerichteter raph heißt kreisplanar, wenn er so in die Ebene eingebettet werden kann, dass alle Knoten mit derselben Region inzidieren 9 / 67 o.b.d.a. wählen wir immer die äßere Region, an der alle Knoten liegen ein kreisplanarer raph heißt maimal kreisplanar, wenn das Hinzfügen einer Kante die Kreisplanarität zerstört 50 / 67 Lemma 16 Jeder maimale kreisplanare raph mit n ist -zsammenhängend. Sei maimal kreisplanar mit mindestens Knoten. (i) angenommen ist nicht zsammenhängend: dann eistieren Knoten i, i+1, die in erschiedenen Komponenten on liegen i i+1 seien 1, zwei Knoten in erschieden Komponenten on dann ist + ( 1, ) kreisplanar somit ist nicht maimal kreisplanar füge die Kante e = ( i, i+1 ) z hinz die Knoten i, i+1 bleiben am Rand der Aßenregion (ii) angenommen hat Zsammenhangszahl 1: sei eine trennende Menge seien 1,..., k die Nachbarn on, wie sie in einer planaren Einbettng im Uhrzeigersinn drchlafen werden angenommen liegt nicht mehr am Rand der Aßenregion dann schließt e einen Kreis im Innern damit wären i nd i+1 ach in erbnden somit wäre + e kreisplanar 51 / 67 5 / 67

14 Lemma 17 Jeder maimale kreisplanare raph kann so dargestellt werden, dass seine Knoten af einem einfachen Kreis liegen, der drch Sehnen triangliert ist. damit liegt jede Kante in einem Kreis der Rand einer Region ist ein einfacher Kreis andernfalls gäbe es einen trennenden Knoten ist -zsammenhängend daher liegen je zwei Knoten af einem gemeinsamen Kreis damit liegt jede Kante in einem Kreis angenommen es eistiert eine Region, die kein Dreieck ist dann kann diese Region drch eine nee Sehne nterteilt werden, ohne die Kreisplanarität z erletzen. Kreisplanare raphen haben Zsammenhangszahl : 5 / 67 5 / 67 Lemma 18 Ein kreisplanarer raph mit n hat zwei nichtbenachbarte Knoten om rad höchstens. drch Addition on Kanten können die rade nicht sinken daher können wir annehmen, dass maimal kreisplanar ist nd die beschränkten Regionen Dreiecke sind liederng planare raphen Eler-Formel Charakterisierng planarer raphen Erweiterngen kreisplanare raphen Dalität sei 1,, i ein solches Dreieck betrachte die on { i, i+1,..., 1 } bzw. {,,..., i } indzierten Teilgraphen jeder Teilgraph ist ein maimal kreisplaner Teilgraph jeder Teilgraph enthält somit mindestens eine Knoten om rad damit enthält nichtbenachbarte Knoten om rad. 55 / / 67

15 Sei = (V, E ) ein planarer raph wir ordnen im folgenden jedem planaren raphen einen zweiten raphen z dieser zweite raph ist wiederm planar wir werden sehen, dass die raphen in enger Beziehng stehen bei der Konstrktion des zweiten raphen treten. U. Schleifen nd Mehrfachkanten af Konstrktion des dalen raphen (1) für jede Region R i : wähle einen nkt i innerhalb der Region () für jede Kante e E : erbinde die neen Knoten der Regionen, af deren Rand e liegt, drch eine nee Kante e, so dass e die Kante e, aber keine andere Kante schneidet 57 / / 67 ein drch einen solchen rozess erzegten raphen heisst daler raph z wenn wir die dalen Knoten in das Innere der Region legen, enthält jede Region gena einen dalen Knoten für eine feste Einbettng on ist bis af Isomorphie eindetig jedoch sind für erschiedene Einbettngen on die dalen raphen nicht notwendigerweise isomorph on einem dalen Knoten führen dale Halbkanten z einem nkt af einer begrenzenden Kante diese Halbkanten schneiden sich nr im dalen Knoten on der begrenzenden Kante führt dann eine zweite Halbkante zm dalen Nachbarpnkt wenn man diese Vorschrift präzisiert, sieht man, dass der dale raph wiederm planar ist 59 / / 67

16 Lemma 19 Sei ein planarer, zsammenhängender raph mit n Knoten, m Kanten nd f Regionen, n, m, f entsprechend für den dalen raphen, so gilt n = f, m = m, f = n. für zsammenhängende raphen konstriert das Verfahren Bijektionen F V, E E nd V F wir können damit jeder Teilmenge on Kanten in E eine Teilmenge on Kanten in E zordnen dabei ist der Zsammenhang notwendige Vorassetzng: die ersten beiden Assagen folgen as der Definition die Elerformel ergibt: f = m n + = m f + = n. * ** der nichtzsammenhängende raph hat sechs Knoten, fünf Regionen aber das Beispiel erdetlicht aßerdem, dass der folgende Satz in nzsammenhängenden raphen nicht gilt: 61 / 67 6 / 67 Satz 0 Sei planar, zsammenhängend. Dann ist =. Satz 1 Sei planar. Dann gilt: (i) C E Kreis in C E inklsionsminimaler Schnitt in (ii) C E inklsionsminimaler Schnitt in C E Kreis in. Beweisskizze: (ii) folgt as (i) nd Satz 0: C E inklsionsminimaler Schnitt in (C ) (E ) inklsionsminimaler Schnitt in ( ) C E Kreis in (i) C E Kreis in C E inklsionsminimaler Schnitt in sei o.b.d.a. zsammenhängend ein Kreis C mschließt mindestens eine beschränkte Region, nd zmindest die nbeschränkte Region liegt aßerhalb C C* in liegen somit eine Menge U on dalen Knoten innerhalb nd eine Menge V U aßerhalb des Kreises damit indziert C eine Schnittmenge in man überlegt sich, dass U nd V U zsammenhängend sind mit Lemma. folgt dann die Behaptng. 6 / 67 6 / 67

17 Korollar Sei kreisplanar, der dal raph nd V der Knoten, der der nbeschränkten Region on entspricht. Dann ist ein Wald. sei C ein Kreis in C drchläft Regionen on diese Regionen mschließen mindestens einen Knoten on jeder Knoten on liegt am Aßenrand die Dalität für planare raphen führt af natürliche Weise Kreise in inklsionsminimale Schnitte über ihre Definition hängt jedoch stark an der lanarität daher könnte man erschen, den Dalitätsbegriff af größere Klassen on raphen z übertragen daz hat es zwei Ansätze gegeben keiner on ihnen hat den Dalitätsbegriff erallgemeinert der eine berht af dem letzten Satz: damit enthält C den Knoten nd ist kreisfrei. 65 / / 67 Ein raph = (V, E ) heißt abstrakt dal z = (V, E ), falls gilt: es eistiert eine Bijektion zwischen E nd E so, dass C E ist ein Kreis in C E Schnitt in. ist ein inklsionsminimaler Leider gilt: Satz hat abstraktes Dales planar. 67 / 67