Planarität und Dualität

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1 Kapitel 3 Planarität nd Dalität Bei der Darstellng on Diagrammen nd bei der Realisierng on Schaltngen af Chips tritt das Problem af, den raphen so darzstellen, dass sich möglichst wenige Kante krezen. Unser Ziel in diesem Kapitel ist die Einbettng eines raphen in einen Ram möglichst niedriger Dimension, so dass keine zwei Kanten sich schneiden. 3. Charakterisierng planarer raphen Wir erlaben daz (wenigstens orübergehend) Kanten so z zeichnen, dass sie nicht as Streckenabschnitten bestehen. Sei daz J R n. Eine stetige, bijektie Abbildng f : [0, ] J heißt Jordankre. Ein raph heißt einbettbar in einen gegebenen Ram, wenn den Knoten des raphen Pnkte des Rames entsprechen nd den Kanten Jordankren, die krezngsfrei sind. Zwei Jordankren krezen sich, wenn sie sich in einem Pnkt schneiden, der kein Knoten ist, oder wenn eine Jordankre drch einen Knoten läft, der nicht Endknoten der entsprechenden Kante ist. Satz 3.. Jeder raph ist in den IR 3 einbettbar. Beweis: Wir ordnen jedem Knoten einen Pnkt af der x-achse z nd jeder Kante eine Ebene, die die x-achse enthält. Verbinde zwei adjazente Pnkte drch eine Jordankre in der Ebene, die der Kante entspricht (gl. Abb. 3.). Abbildng 3.: Einbettng eines raphen in den IR 3 Ein raph heißt planar, wenn er in den IR einbettbar ist. 3

2 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 33 Satz 3.. Ein raph ist gena dann planar, wenn er af der Kgeloberfläche eingebettet werden kann. Beweis: Drch stereographische Projektion om Nordpol. Abbildng 3.: Stereographische Projektion Die Tatsache, dass wir Jordankren zlassen, stellt für planare raphen keine Einschränkng dar, wie der folgende Satz zeigt, den wir ohne Beweis angeben. Satz 3.3. Jeder einfache planare raph kann stets so in die Ebene eingebettet werden, dass seine Kanten Strecken sind. Sei ein planarer raph, der in der Ebene eingebettet ist. Wir können dann ach als die Teilmengen des IR affassen, die drch seine Knoten nd Kanten gegeben ist. Die Einbettng zerlegt die Ebene in erschiedene beschränkte Flächen nd eine nbeschränkte Fläche. Für einen Pnkt x / ist die Fläche, die x enthält, die Menge aller Pnkte, die drch eine Jordankre mit x erbnden werden können, ohne z schneiden (gl. Abb. 3.3). f 4 f f f 3 Abbildng 3.3: Einbettng eines raphen in den IR 3 Für können jede Fläche als nbeschränkte Fläche wählen. Dies folgt as Satz 3. nd Rotation, so dass der Nordpol in der gewünschten Fläche liegt. Eine Kante e eines planaren raphen ist gena dann Schnittkante, wenn af beiden Seiten on e die gleiche Fäche liegt. Denn ist e Schnittkante, so lässt sich der raph wie in Abb. 3.4 darstellen. Ist mgekehrt e keine Schnittkante, so liegt e nach Satz.5 af einem Kreis. Satz 3.4 (Eler). Sei ein zsammenhängender, planarer raph mit n Knoten, m Kanten nd f Flächen. Dann gilt: n + f = m +. Beweis: Indktion über m. a) m = 0. Dann ist n = (Zsammenhang) nd f =.

3 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 34 e Abbildng 3.4: Schnittkante in planaren raphen b) m m. Sei ein raph mit m Kanten, n Knoten nd f Flächen. Sei der raph der entsteht, wenn wir eine nee Kante e hinzfügen. i) e ist Schleife: dann folgt n = n, m = m +, f = f + ii) e ist nicht Schnittkante in : nach der origen Beobachtng ist f = f +, n = n, m = m +. iii) Jede Kante on ist Schnittkante. ist ein Bam mit m = n, f =. Da in nicht zsammenhängenden raphen die nbeschränkte Fläche nr einmal gezählt wird, gilt: Korollar 3.5. Sei ein raph mit n Knoten, m Kanten, f Flächen nd k Komponenten. Dann gilt: n + f = m + k +. Als Folgerng ergibt sich nmitelbar: Korollar 3.6. Sei ein zsammenhängender, planarer, einfacher raph mit n 3 Knoten nd m Kanten. Dann gilt: m 3n 6. Beweis: Seien R,..., R f die Flächen on nd sei d(r i ) die Anzahl der Kanten, die R i begrenzen, wobei Schnittkanten doppelt gezählt werden. Da jede Kante, die nicht Schnittkante ist, zwei Flächen trennt, gilt f i= d(r i) = m. Da einfach ist, wird jede Fläche drch mindestens drei Kanten begrenzt, d.h., d(r i ) 3, nd somit f i= d(r i) 3f. As der Eler-Formel folgt dann m + = n + f n + 3 m nd somit m 3n 6. Korollar 3.7. K 5 nd K 3,3 sind nicht planar. Beweis: Wäre der K 5 planar, so folgte as Korollar 3.6, 0 = m 3n 6 = 9. K 3,3 ist bipartit, enthält also keine ngeraden Kreise. Damit wird jede Fläche on mindestens 4 Kanten begrenzt. Wie orher gilt dann: 4f d(r i ) = m. Somit f 9 in K 3,3. As der Eler-Formel folgt aber f = m n + = = 5. Planare raphen können nicht beliebig komplex sein. Korollar 3.8. Sei ein einfacher planarer raph. Dann gilt:

4 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 35 i) enthält mindestens einen Knoten om rad 5 ii) Hat keine Schnittkanten nd ist d() 3 für alle V, so existiert eine Region, die on höchstens 5 Kanten begrenzt wird. Beweis: Übngsafgabe Die Annahme d() 3 ist keine Einschränkng der Allgemeinheit. Denn die Planarität bleibt nbeeinflsst, wenn wir eine Kante nterteilen bzw. mgekehrt einen Knoten om rad zwei nd seine inzidenten Kanten drch eine nee Kante ersetzen. Wir sagen, dass zwei raphen homöomorph sind, wenn sie drch Unterteilen on Kanten ineinander überführt werden können. Der Petersen-raph ist nicht planar, denn er enthält einen Teilgraph, der homöomorph z K 3,3 ist (gl. Abb T S 3 a S T b S T3 T T T 3 b c a d c d S S S 3 Abbildng 3.5: Der Petersen-raph ist homöomorph z K 3,3 Wir zerlegen die Charakterisierng planarer raphen in zwei Teile nd betrachten zerst raphen mit kleiner Zsammenhangszahl. Satz 3.9 (Kratowski). Sei ein raph mit Zsammenhangszahl höchstens zwei. ist gena dann planar, wenn er keinen Teilgraph enthält, der homöomorph z K 5 oder K 3,3 ist. Beweis: Es bleibt z zeigen, dass die Bedingng hinreichend ist. Wir führen daz eine Indktion nach n, nd für festes n nach m drch. Da der K 4 planar ist, nd damit alle Teilgraphen, können wir annehmen, dass n 5. Sei also ein raph mit n Knoten nd m Kanten, der keine Unterteilng on K 5 oder K 3,3 als Teilgraph enthält. Wir nterscheiden erschiedene Fälle nach der Zsammenhangszahl κ().. κ() = 0. Dann ist nzsammenhängend. Nach Indktion ist jede Zsammenhangskomponente on planar nd damit ach.. κ() =. Dann existiert ein Schnittknoten. lässt sich in zwei Teilgraphen = (V, E ) nd = (V, E ) mit V V = {} nd E E = zerlegen. Da nd die Vorassetzng der Indktion erfüllen, können wir planare Einbettngen on nd so bestimmen, dass am Rande liegt. Dann können wir beide Darstellngen zsammenheften, indem wir die beiden Kopien on identifizieren (gl. Abb 3.6). 3. κ() =. Sei {, } eine Schnittmenge. Entfernen wir {, }, so zerfällt in disjnkte raphen. Seien, zwei raphen, die as diesen beiden Teilen entstehen, indem wir jeweils Kopien on nd sowie die Kante e = (, ) hinzfügen, falls diese in lag. Da -zsammenhängend war, gab es zwei Knoten a, b, die drch zwei knotendisjnkte

5 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 36 Abbildng 3.6: Zsammenheften an einem Schnittknoten Wege erbnden waren, die über nd liefen. Da diese Knoten nach der Entfernng on {, } nicht mehr erbnden sind, liegen sie in erschiedenen Zsammenhangskomponenten. Damit existieren (, )-Wege W nd W, die jeweils on e erschieden sind. Wir wollen ähnlich orgehen wie im Fall κ() =, können aber nicht garantieren, dass die beiden Knoten gemeinsam af dem Rand des Assengebiets liegen. Betrachte nn die raphen e, e. Angenommen, einer dieser Teilgraphen, etwa e, erfüllt die Indktionorassetzng nicht. Dann mss er einen Teilgraphen enthalten, der homöomorph z K 5 oder K 3,3 ist nd die Kante e enthält. Dann würde aber ach W einen solchen Teilgraph enthalten, im Widersprch zr Annahme. Per Indktion können wir daher planare Darstellngen on e, e finden (gl. Abb. 3.7), in denen e jeweils am Rande liegt. Wir identifizieren die beiden Kopien nd entfernen e, wenn e /. Abbildng 3.7: Zsammenheften an einer Schnittmenge der Kardinalität Für den Beweis der Charakterisierng planarer raphen mit höherer Zsammenhagszahl benötigen wir noch zwei Assagen. Lemma 3.0. In einem -zsammenhängenden planaren raphen wird jede Fläche drch einen Kreis begrenzt nd liegt jede Kante af dem Rand on gena zwei Flächen. Beweis: Skizze: Betrachte eine Ohrendekomposition on. Wird ein nees Ohr P hinzgefügt, so mss P innerhalb einer bereits konstrierten Fläche erlafen. Per Indktion wird diese Fläche drch einen Kreis begrenzt. Da dieser Kreis die beiden Endknoten, on P enthält, zerfällt er in zwei disjnkte (, )-Wege, die zsammen mit P die alte Fläche in zwei nee Flächen zerlegt, die wiederm on Kreisen begrenzt werden. Ebenso begrenzen wieder alle Kante gena zwei Flächen. Satz 3.. Jeder 3-zsammenhängende raph enthält eine Kante e, so dass e wieder 3-zsammenhängend ist. Beweis: Angenommen die Assage ist falsch. Dann ist für jede jede Kante e = (, ) der raph e höchstens -zsammenhängend nd besitzt damit eine trennende Menge S mit S. Da

6 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 37 3-zsammenhängend ist, mss der drch die Kontraktion on e entstandene nee Knoten x e in S liegen. Somit existiert ein Knoten w / {, }, so dass {x e, w} den raphen e trennt. Damit ist ach T = {,, w} eine trennende Menge in. Da keine echte Teilmenge on T trennend sein kann, hat jeder Knoten on T einen Nachbarn in jeder Zsammenhangskomponente C on T. Wir wählen nn die Kante e, den Knoten Knoten w nd die Zsammenhangskomponente C so, dass C minimal ist. Sei y ein Nachbar on w in C (gl. Abb. 3.8). C w y T Abbildng 3.8: Schnitt im 3-zsammenhängenden raphen Wiederm existiert zr Kante f = (w, y) ein Knoten z, so dass {w, y, z} nzsammenhängend ist. Wie orher hat jeder Knoten as {w, y, z} einen Nachbarn in den Zsammenhangskomponenten on {w, y, z}. Da e = (, ) E, existiert eine Zsammenhangskomponente D on {w, y, z}, die weder noch enthält. Betrachte die Nachbarn on y in D. Da y in C liegt, mss jeder Nachbar on y in D selbst ach in C liegen. Da sowohl D als ach C zsammenhängend sind, folgt daras D C. Mit y C D ergibt sich ein Widersprch zr Minimalität on C. Der Satz 3. enthält implizit eine Konstrktionsorschrift für 3-zsammenhängende raphen, bei der, asgehend on einem K 4, iterati Knoten x in zwei benachbarte nee Knoten om rad mindestens drei afgespalten wird, so dass jeder Nachbar on x z mindestens einem neen Knoten benachbart ist. Wie im ersten Teil der Charakterisierng der Planarität werden wir eine Indktion über die Anzahl der Kanten drchführen nd dabei die Kantenkontraktion bentzen. Dafür müssen wir ns on der Richtigkeit der folgenden Assage überzegen. Lemma 3.. Enthält e einen Teilgraphen, der homöomorph z einem K 5 oder K 3,3 ist, so ach. Beweis: Übngsafgabe Damit haben wir alle Ztaten für den folgenden Satz: Satz 3.3 (Kratowski). Ein raph ist gena dann planar, wenn er keinen Teilgraph enthält, der homöomorph z K 5 oder K 3,3 ist. Beweis: Es bleibt z zeigen, dass die Bedingng hinreichend ist für raphen mit κ() 3. Nach Satz 3. existiert eine Kante e = (, ) E, so dass = e wieder 3-zsammenhängend ist. Seien S = N (), T = N () nd x e der nee Knoten in, der drch die Kontraktion on e entsteht.

7 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 38 Da nach Lemma 3. ach keinen Teilgraph enthalten kann, der homöomorph z einem K 5 oder K 3,3 ist, ist per Indktion planar. Wir betrachten eine planare Einbettng on nd entfernen darin x e nd seine inzidenten Kanten. Dadrch entsteht eine Fläche f, in der rsprünglich der Knoten x e lag. Sei K der Rand on f. Da x e f, gilt S T K. Da 3-zsammenhängend ist, ist x e -zsammenhängend. Nach Lemma 3.0 ist dann K ein Kreis. Seien x,... x k die Knoten in S V (K) zyklisch drchnmmeriert. Dies zerlegt den Kreis K in eine Menge P i, i =,..., k on Wegen, die jeweils x i mit x i+ erbinden (x k+ = x ). In der planaren Einbettng on können wir die Kanten der Form (x e, z) mit z T S entfernen nd den Knoten x e drch den rsprünglichen Knoten ersetzen (gl. Abb. 3.9). Dadrch erhalten wir eine Einbettng on. x P4 P x x4 P3 P x3 Abbildng 3.9: Eine planare Einbettng on As dieser Einbettng on können wir offensichtlich leicht eine Einbettng on konstrieren, wenn T P i für ein i {,..., k}. Wenn dies nicht der Fall ist, so werden wir zeigen, daß der raph einen z K 5 oder K 3,3 homöomorphen Teilgraph enthalten mss. Wir nterscheiden drei Fälle, die in der Abb. 3.0 dargestellt sind. x i a x i x i+ x i+ x j x j+ b Abbildng 3.0: Die aftretenden Fälle (a), (b) nd (c) (a) Hat drei Nachbarn in {x,..., x n }, so indzieren diese zsammen mit nd einen z K 5 homöomorphen raphen. (b) Ist T = {x i, x j } für i < j, so mss gelten j > i + nd {i, j} {, k}. Damit existieren Knoten x i+ nd x j+, die zsammen mit den Knoten {,, x i, x j } einen zm K 3,3 homöomorphen Teilgraphen indzieren. (c) hat einen Nachbarn a in der Menge V (P i ) {x i, x i+ } für ein i nd einen Nachbarn

8 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 39 b / V (P i ). In diesem Fall indzieren,, x i, x i+, a, b einen zm K 3,3 homöomorphen Teilgraphen. 3.. Algorithmische Tests af Planarität Wir wollen in dieser Vorlesng nicht af algorithmische Aspekte des Planaritätstest eingehen. Ein einfacher Ansatz wäre, alle Knoten om rad zwei z kontrahieren, nd im Restgraphen alle fünfbzw. sechselementigen Teilmengen daraf z testen, ob sie einen K 5 oder K 3,3 bilden. Dieses Vorgehen ist sicherlich polynomiell, wenn ach nicht besonders effizient. Darüber hinas bildet es lediglich einen Test af Planarität nd liefert keine planare Einbettng. Der obige Beweis liefert implizit ach eine Konstrktionsorschrift für eine planare Einbettng mit, ist aber sehr afwendig. Ein effizienterer Algorithms wrde 964 on Democron et al. entwickelt. Er konstriert für -zsammenhängende raphen eine planare Einbettng, wenn eine solche existiert. Der Test einfach zsammenhängender raphen lässt sich wie in nserem Beweis drch Verkleben on - Zsammenhangskomponenten af diesen Fall zrückführen. Hopcroft nd Tarjan haben 974 einen Algorithms entwickelt, der in O(n) eine planare Einbettng konstriert. 3.. Erweiterngen Wenn ein raph nicht planar ist, drängt sich die Frage af, wieiel Brücken gebat werden müssen, m Krezngen z ermeiden. Dies führt zm einen af die Krezngszahl (crossing nmber), die angibt, wieiele Kanten sich in einer planaren Darstellng mindestens schneiden müssen. Zm anderen af das eschlecht eines raphen. Wir wissen, dass sich planare raphen af der Oberfläche der Kgel einbetten lassen. Um bei nichtplanaren raphen eine Krezng z ermeiden, fügen wir einen riff zr Kgel hinz, die Kanten afnehmen kann, nd darnterliegende überbrückt. Abbildng 3.: Eine Kgel mit riff nd ein Tors Die Anzahl der riffe, die nötig sind, m den raphen af der entsprechenden Oberfläche darzstellen, bilden das eschlecht des raphen. raphen om eschlecht 0 sind die planaren raphen. raphen om eschlecht heißen toroidal, da wir die Kgel mit einem riff z einem Tors erformen können.

9 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT Dalität Im folgenden Abschnitt werden wir jedem planaren raphen einen zweiten, wiederm planaren raphen zordnen nd sehen, dass sie in einer sehr engen Beziehng stehen. Bei der Konstrktion des zweiten raphen treten. U. Schleifen nd Mehrfachkanten af. i) für jede Fläche F i wähle einen Pnkt i innerhalb der Fläche ii) für jede Kante e E erbinde die neen Knoten der Flächen, af deren Rand e liegt, drch eine nee Kante e, die e, aber keine andere Kante schneidet Abbildng 3.: nd sein daler raph Ein drch einen solchen Prozess erzegten raphen heisst daler raph z. Wenn wir die dalen Knoten in das Innere der Fläche legen, enthält jede Fläche gena einen dalen Knoten. Von einem dalen Knoten führen dale Halbkanten z einem Pnkt af einer begrenzenden Kante. Diese Halbkanten schneiden sich nr im dalen Knoten. Von der begrenzenden Kante führt dann eine zweite Halbkante zm dalen Nachbarpnkt. Wenn man diese Vorschrift präzisiert, sieht man, dass der dale raph wiederm planar ist. Für eine feste Einbettng on ist bis af Isomorphie eindetig. Jedoch sind für erschiedene Einbettngen on die dalen raphen nicht notwendigerweise isomorph. Lemma 3.4. Sei ein planarer, zsammenhängender raph mit n Knoten, m Kanten nd f Flächen, n, m, f entsprechend für den dalen raphen, so gilt n = f, m = m, f = n. Beweis: Die ersten beiden Assagen folgen as der Definition. Die Elerformel ergibt: f = m n + = m f + = n. Für zsammenhängende raphen konstriert das Verfahren Bijektionen F V, E E nd V F. Wir können damit jeder Teilmenge on Kanten in E eine Teilmenge on Kanten in E zordnen. Dabei ist z beachten, dass der Zsammenhang notwendige Vorassetzng ist. Die Abb. 3.3 gibt ein Beispiel für einen nichtzsammenhängenden raphen, in dem sechs Knoten, aber fünf Flächen hat. Das Beispiel erdetlicht asserdem, dass der folgende Satz in nzsammenhängenden raphen nicht gilt. Satz 3.5. Sei planar, zsammenhängend. Dann ist =. Satz 3.6. Sei planar. Dann gilt: i) C E Kreis in C E inklsionsminimaler Schnitt in

10 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 4 Abbildng 3.3:, sein daler raph nd der raph ( ) ii) C E inklsionsminimaler Schnitt C E Kreis in. Beweis: Skizze: Der zweite Teil folgt as dem ersten Teil mit Satz 3.5. Sei O.B.d.A. zsammenhängend. Ist C ein Kreis, so mschließt C mindestens eine beschränkte Fläche nd zmindest die nbeschränkte Assenfläche liegt asserhalb. Im dalen raphen liegen somit eine nichtleere Menge U on dalen Knoten innerhalb nd eine nichtleere Menge V U on Knoten asserhalb des Kreises. Damit indziert C eine Schnittmenge in. Man überlegt sich, dass sowohl U als ach V U zsammenhängend sind. Mit Lemma.4 folgt dann die Behaptng. 3.3 Weitere Ansätze zr Dalität Die Dalität für planare raphen führt af natürliche Weise Kreise in inklsionsminimale Schnitte über. Ihre Definition hängt jedoch stark an der Planarität. Daher könnte man erschen, den Dalitätsbegriff af größere Klassen on raphen z übertragen. Wir werden im folgenden die Ansätze krz skizzieren nd zeigen, dass keine on ihnen den Dalitätsbegriff erallgemeinert Abstrakte Dalität Ein raph = (V, E ) heißt abstrakt dal z = (V, E), falls eine Bijektion zwischen E nd E existiert, so dass C E ein Kreis in gena dann, wenn C E ein inklsionsminimaler Schnitt in ist. Satz 3.7. abstrakt dal z abstrakt dal z. Beweis: Sei C ein inklsionsminimaler Schnitt in nd C die entsprechende Kantenmenge in. Nach Lemma.5 ist der Schnitt on C mit jedem Kreis gerade. Entsprechend mss der Schnitt on C eine gerade Anzahl on Kanten mit jedem inklsionsminimalen Schnitt on gemeinsam haben. Wähle e C beliebig. Färbe C \e rot nd E\C grün. Nach Satz.5 liegt e entweder af einem roten Kreis oder in einem einem grünen inklsionsminimalen Schnitt K on. Der zweite Fall kann nicht eintreten, da sonst C K = {e}. Damit ist C Vereinigng on Kreisen on. Bestünde C as mehr als einem Kreis, so wäre mgekehrt C Vereinigng on mehr als einem inklsionsminimalen Schnitt. Satz 3.8. planar hat abstraktes Dales. Beweis: Skizze: Z zeigen ist: hat abstraktes Dales ist planar. (i) das abstrakte Dals on e erhält man as drch Kontraktion der Kante e. Folgerng: Jeder Teilgraph on hat ein abstraktes Dales.

11 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 4 (ii) hat abstraktes Dales, homöomorph z hat abstraktes Dales denn: das Einfügen oder Entfernen eines Knotens om rad zwei entspricht der Addition oder dem Entfernen einer Mehrfachkante in (iii) K 3,3 nd K 5 haben keine abstrakte Dales. (i) Sei nicht planar, abstrakt dal z. Nach dem Satz on Kratowski enthält einen Teilgraphen H, der z K 5 oder K 3,3 homöomorph ist. Nach (i) besitzt dann ach H nd nach (ii) dann ach K 5 oder K 3,3 ein abstraktes Dal, im Widersprch z (iii) Whitney-Dalalität Ein raph ist Whitney-dal z, falls eine Bijektion zwischen den Kanten existiert, so dass für jeden afspannenden Teilgraphen H nd dem Bild H gilt: ν(h) + λ(h ) = λ( ). Hierbei ist ν = m n + p die zyklomatische Zahl, λ = n p die kozyklomatische Zahl nd H das Komplement on H bzgl. Lemma 3.9. Sei Whitney-dal z. Dann gilt: i) ν() = λ( ) ii) ν( ) = λ() iii) λ(h) + ν(h ) = λ() Beweis:. folgt as der Definition mit H =. ν( ) + λ( ) = m = m ν() + λ(). As (i) folgt dann (ii) 3. λ(h) + ν(h ) = m(h) ν(h) + m(h ) λ(h ) = m(h) + m(h ) λ( ) = m(h) + m(h) λ( ) = m() λ( ) = m() ν() nach (i) = λ(). Korollar 3.0. Whitney-dal z Whitney-dal z. Beweis: folgt as Lemma 3.9 (iii) mit H = H. Der folgende Satz zeigt, dass ach der on Whitney eingeführte Dalitätsbegriff nicht über planare raphen hinasführt.

12 KAPITEL 3. PLANARITÄT UND DUALITÄT 43 Satz 3. (Whitney). ) ist planar gena dann, wenn ein Whitney-Dales hat. Beweis: Wir zeigen abstrakt dal Whitney-dal. Sei abstrakt dal z. Falls H keine Kante enthält, so gilt offensichtlich, da λ(h ) = λ( ), ν(h) + λ(h ) = n(h) + p(h) + λ( ) = λ( ). Wir fügen z H eine Kante hinz nd erhalten den raphen H. Entsprechend entfernen wir die Kante e as H nd erhalten H. Folgende Fallnterscheidng: a) λ(h ) = ν(h) +. Dann haben wir einen neen Kreis C erzegt, der e enthält, nd es ist p(h ) = p(h). Da abstrakt-dal z, folgt, dass C einen inklsionsminimalen Schnitt C in H bildet, der e enthält. Damit erhöht sich die Anzahl der Komponenten on H, wenn wir e entfernen, d.h. λ(h ) = λ(h ). b) ν(h ) = ν(h). Dann erzegt e keinen neen Kreis nd es ist p(h ) = p(h). Entsprechend erzegt e keinen neen inklsionsminimalen Schnitt in, d.h. die Anzahl der Komponenten on H bleibt nerändert, wenn wir e entfernen. Also λ(h ) λ(h ).. Sei Whitney-dal mit n Knoten nd p Komponenten. Sei C ein Kreis in. Dann gilt: ν(c) = nd λ( ) = n p nd somit λ(c ) = n p. D.h. das Entfernen on C as erhöht die Anzahl der Komponenten. Somit ist C eine Schnittmenge. Ist R C, so ist λ(r ) = λ( ) ν(r ) = n p, d.h. R ist keine Schnittmenge nd C ist ein inklsionsminimaler Schnitt. Ist mgekehrt C ein inklsionsminimaler Schnitt on, so folgt analog ν(c) = n p (n (p + )) =, d.h. C enthält einen Kreis. Für jede echte Teilmenge R C, ist R keine inklsionsminimale Schnittmenge, d.h. R enthält keinen Kreis. Somit ist C ein Kreis.