Aufgaben, Hilfestellungen und Musterlösungen zum Modul 5 Druckversion

Transkript

1 Abschnitt 1 Aufgaben, Hilfestellungen und Musterlösungen zum Modul 5 Druckversion Aufgabe 1: Binäre Suchbäume: Iteratives Suchen/Einfügen/Löschen Das Material dieser Übung enthält in der Klasse Tree0 die in der Vorlesung behandelten Operationen auf binären Suchbäumen. Erweitern Sie Tree0 um die folgenden Methoden: Iteratives Suchen: Node *findkey (int skey) Iteratives Einfügen: insertnode (int newkey,char *newinfo) Iteratives Löschen: deletenode (int delkey) Hilfe 1. Material: Die Klasse Tree0 im Material dieser Übung enthält u.a. die rekursiven Implementierungen der folgenden Methoden: findkeyr rekursives Suchen eines Knotens insertnoder rekursives Einfügen eines Knotens deletenoder rekursives Löschen eines Knotens Verwenden Sie diese als Vorlage für die iterativen Implementierungen. 2. Iterative Suche nach einem Schlüssel Die Suche könnte nach der folgenden Methode ablaufen: Beginne bei der Wurzel. Solange Schlüssel noch nicht gefunden ist und ein Weiterlaufen möglich ist Ist der gesuchte Schlüssel kleiner als der aktuelle? gehe nach links gehe nach rechts Jetzt hat man den Schlüssel entweder gefunden oder er existiert nicht. 3. Iteratives Einfügen Zunächst gleiche Strategie wie beim Suchen. Wird der einzufügende Schlüssel gefunden, wird er nicht noch einmal eingefügt. Ist der einzufügende Schlüssel neu, landet man bei der Suche in einem Blatt und hängt den Schlüssel an dessen Vorgänger an. 4. Iteratives Löschen Zunächst gleiche Strategie wie beim Suchen. Um den zu löschenden Knoten aus dem Baum zu entfernen, benötigt man seinen Vorgänger. Beim Suchen muss daher ein zweiter Zeiger dem Suchzeiger hinterherlaufen. Verwenden Sie beim Löschen einen Schlüsseltausch mit dem symmetrischen Nachfolger. : Die Implementierung des Verfahrens befindet sich im Material dieser Übung im Archiv tree.zip.

2 Aufgabe 2: Prüfen, ob ein Baum ein Suchbaum ist. 1. Erweitern Sie die Klasse Tree0 um eine rekursive Methode, die überprüft, ob ein binärer Baum ein Suchbaum ist. 2. Ist die folgende Aussage für jeden Binärbaum richtig? Falls die inorder-traversierung die Schlüssel in aufsteigender Folge liefert, handelt es sich um einen Suchbaum.. : zu 1. Die Implementierung des Verfahrens befindet sich im Material dieser Übung im Archiv tree.zip. zu 2. Die rekursive Implementierung des inorder-durchlaufs zeigt, dass in jedem Baumknoten zunächst alle Schlüssel im linken Unterbaum ausgegeben werden, danach die Wurzel und dann alle Schlüssel im rechten Unterbaum. Da die Ausgabe in aufsteigender Folge geschieht, bedeutet das, dass alle Schlüssel im linken Unterbaum kleiner als die Wurzel und alle Schlüssel im rechten Unterbaum größer als die Wurzel sind. Dies ist aber gerade die Suchbaum-Eigenschaft. Aufgabe 3: Suche den nächst kleineren Schlüssel Erweitern Sie die Klasse Tree0 um eine Methode, die zu einem gegebenen Schlüssel in einem binären Suchbaum den Knoten mit dem nächst kleineren Schlüssel findet. Der gegebene Schlüssel muss nicht im Baum vorkommen. Falls es keinen kleineren Schlüssel im Baum gibt, soll eine Fehlanzeige ausgegeben werden. Hilfe Die Suche nach dem nächst kleineren Schlüssels könnte nach der folgenden Methode ablaufen: Beginne bei der Wurzel und wähle diese als vorläufigen Kandidaten für den gesuchten Schlüssel. Solange noch eine Chance besteht, einen besseren Kandidaten zu finden, d.h. solange noch Nachfolgerknoten existieren Ist der gegebene Schlüssel größer als der aktuelle? Wähle den aktuellen Schlüssel als einen besseren Kandidadaten Gehe nach rechts. gehe nach zum linken Nachbarn (aber wähle diesen noch nicht als neuen Kandidaten aus). Nun hat man den bestmöglichen Kandidaten gefunden, aber man sollte prüfen, ob evtl. die Wurzel bereits zu groß war. : Die Implementierung des Verfahrens befindet sich im Material dieser Übung im Archiv tree.zip.

3 Abschnitt 2 Aufgabe 1: Minimum Heaps und binäre Suchbäume Begründen Sie Ihre Antworten zu den folgenden Fragen: 1. Ist ein binärer Suchbaum immer ein Minimum Heap? 2. Ist ein Minimum Heap immer ein binärer Suchbaum? 3. Kann man die Schlüssel eines Minimum Heap in der Zeit O( N ) aufsteigend sortiert ausgeben? zu 1.: zu 2.: zu 3. Nein! Sobald ein Knoten im Baum einen inneren Knoten als linken Nachfolger hat, ist dieser kleiner als er selbst und daher die Minimum-Heap-Bedingung veletzt. Nein! Sobald ein Knoten im Baum einen inneren Knoten als linken Nachfolger hat, ist dieser kleiner und daher die Suchbaum-Bedingung verletzt. Nein! Beim Heap-Sort-Verfahren wurde gezeigt, dass die Reparatur des Rest-Heap nach der Entnahme der Wurzel O(log( N )) Schritte kostet für jedes entnommene Element. Der Aufwand beträgt also mindestens O ( N log( N)) Aufgabe 2: Suchen in binären Suchbäumen (I) In einem Suchbaum mit positiven Schlüsseln wird der Schlüssel gesucht. Welche der folgenden Suchpfade ist dabei nicht möglich? Die unten folgenden Skizzen zeigen, welche Pfade in Suchbäumen vorkommen können und welche nicht. Die Suchbaum-Bedingung dafür ist: Alle Knoten in linken Unterbäumen müssen kleiner und alle Knoten in rechten Unterbäumen müssen größer als die Wurzel sein.

4 O.K. (1) nicht O.K. (1) O.K. (1) nicht O.K. (1) nicht O.K. (2) (1) (2) Die unteren roten Knoten stehen im jeweils falschen Unterbaum des oberen. Zwei gleiche Schlüssel im Baum!

5 Aufgabe 3: Suchen in binären Suchbäumen (II) 1. Begründen Sie, dass die Anzahl von Schlüsseln, die zum Auffinden eines Knotens k in einem binären Suchbaum überprüft werden muss, um eins größer ist als die Anzahl der Schlüssel, die überprüft wurde, als er eingefügt wurde. 2. Ist das Löschen von Knoten in einem binären Suchbaum kommutativ? Ergibt sich also der gleiche Baum, wenn man die Schlüssel x und y zunächst in der Reihenfolge x, y löscht und dann in der Reihenfolge y, x? zu 1.: Beim Einfügen wird die Einfügestelle auf dem gleichen Pfad gesucht, auf dem der Schlüssel später wieder gefunden werden muss. Beim Suchen erfolgt zusätzlich jedoch ein Vergleich im gefundenen Schlüssel, wenn der Treffer festgestellt wird. zu 2.: Das Löschen ist nicht kommutativ, wie das folgende Beispiel zeigt: lösche 10 lösche 20 lösche 10 lösche Aufgabe 4: Eigenschaften binärer Suchbäume Warum kann in einem binären Suchbaum der symmetrische Nachfolger eines Knotens k keinen linken Nachfolger haben? Der symmetrische Nachfolger s des Knotens k ist der kleinste Knoten in seinem rechten Unterbaum. Hätte s einen linken Nachfolger, dann müsste dieser noch kleiner sein als s und s wäre dann nicht der symmetrische Nachfolger von k.