Algorithmen I - Tutorium 28 Nr. 7

Transkript

1 Algorithmen I - Tutorium 28 Nr : Spaß mit Heaps und weiteren Baeumen Marc Leinweber marc.leinweber@student.kit.edu INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK (ITI), PROF. DR. JÖRN MÜLLER-QUADE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Agenda 1 Pfannkuchen! 2 Heaps 3 Bäume zum Suchen Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

3 Pfannkuchen? Gegeben sind n Pfannkuchen in unterschiedlicher Größe und gestapelt. Man hat einen Pfannkuchen-Flipper zur Verfügung, mit dem man die obersten Pfannkuchen umdrehen kann (Anzahl bel.). Entwickelt einen schnellen Algorithmus, um die Pfannkuchen zu sortieren. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

4 Pfannkuchen! Die einfachste Lösung ist, den größten Pfannkuchen einmal nach oben zu flippen und dann den ganzen Stapel zu flippen (dieser liegt dann an der richtigen Stelle), usw... Dies benötigt im schlimmsten Fall 2n Flips. Nun schaut man ein wenig genauer hin. Nach dem man den zweit-kleinsten Pfannkuchen an die richtige Stelle sortiert hat, kann man aufhören (unser Algorithmus würde den einfach zweimal drehen). Also benötigen wir im schlimmsten Fall 2n 2 Flips. Wenn man noch genauer hinschaut, dann stellt man auch fest, dass nachdem der dritt-kleinste Pfannkuchen an der richtigen Stelle liegt, gibt es nur zwei Möglichkeiten für die oberen beiden Pfannkuchen. Entweder sie sind sortiert oder man benötigt nur einen Flip. Also benötigen wir im schlimmsten Fall 2n 3 Flips. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

5 Heaps: dafuq is this?! Heap-Eigenschaft: v V : parent(v) v binärer Heap = Binärbaum mit Höhe log(n) die Wurzel enthält das Minimum implizite Baum-Darstellung im Array parent(j) = j 2 linkes Kind(j) = 2 j rechtes Kind(j) = 2 j + 1 Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

6 Heaps: Einfügen Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

7 Heaps: Entfernen Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

8 Heaps: bauen? Procedure buildheap for i := n downto 1 do siftdown(i) 2 Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

9 Heaps: in place? Geht das Einfügen und Entfernen auch in place? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

10 Und sortieren? Kann man damit sortieren? Wie? In welcher Laufzeit? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

11 Ja, sortieren: Heapsort Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

12 Kreativaufgabe Entwickelt eine Datenstruktur D, die Paare der Form (ElementID, Bewertung) speichern soll. Paare mit gleicher ElementID dürfen nicht parallel in D existieren. D unterstütze folgende Operationen: insert(x : ElementID, c : Bewertung) : Bool in erwartet O(log n). Existiert ein Paar mit (y, c ), y = x lehne ab. removemin() : (ElementID, Bewertung) in erwartet O(log n). Entfernt das Paar mit minimaler Bewertung und gibt es zurück. contains(x : ElementID) : Bool in erwartet O(1). Skizziere obige Datenstruktur und analysiere ihren Zeitbedarf. Klausur SS 10 Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

13 Bäume Problem: Wir wollen in eine Datenstruktur effizient Daten einfügen und wieder finden können. Lösung Bei Arrays haben wir das Finden durch Sortierung effizient gemacht. Den gleichen Ansatz wollen wir wieder verfolgen aber diesmal auch mit effizientem Einfügen. Das machen wir mit Bäumen, die uns als Navigationsstruktur für sortierte Mengen dienen. Was brauchen wir dazu? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

14 Schreiten wir zur Tat Beispielhaftes Rechnen mit einem Binärbaum Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

15 Probleme? Was ist euch aufgefallen? Was ist nicht so schön? Und was können wir dagegen machen? Außerdem: Daten in Knoten speichern oder nur Splitter und eine komplette Liste ganz unten? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

16 Balancierung Balancierung ist nicht trivial. Deswegen machen wir das noch nicht. Ein paar Beispiele für balancierte Suchbäume sind: (a,b)-bäume Red-Black-Trees (Binärbäume) AVL-Trees Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

17 Ein Wort zu Pseudocode Pseudocode ist bei Binärbäumen ziemlich unübersichtlich. Darum merken wir uns nur die Strategien, statt Pseudocode zu betrachten. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

18 Kreativaufgabe Erinnerung Rang eines Elements: Position in der sortierten Folge Select(k) : Liefert das k-te Element der sortierten Folge Aufgabe Entwickelt eine Datenstruktur, die rank(e: Element) und select(k : N 0 ) in O(log(n)) unterstützt. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19

19 Was haben wir heute gemacht? Lecker Pfannkuchen Heaps und Implementierung Trees, Trees, Trees Viel Erfolg und schönes langes Wochenende! Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /19