Algorithmen I - Tutorium 28 Nr. 3

Transkript

1 Algorithmen I - Tutorium 28 Nr : Spaß mit Listen, Arrays und amortisierter Analyse Marc Leinweber marc.leinweber@student.kit.edu INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK (ITI), PROF. DR. JÖRN MÜLLER-QUADE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Agenda 1 Übungsblatt 1 Statistik Aufgabe 3 Binäre Suche Aufgabe: Schleifeninvariante der binären Suche 2 Listen und Arrays Einfach und doppelt verkettete Listen Arrays 3 Kreativaufgabe 4 amortisierte Analyse Definition Beispiel: Unbounded Arrays Vergleich: Datenstrukturen Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

3 Statistik Abgaben: 16 in 9 Teams. Höchstpunktzahl: 16. Schnitt: 11. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

4 Aufgabe 3 Aufgabe Was löst der gegebene Algorithmus? Welche Laufzeit hat er? Wie kann ich ihn effizienter gestalten? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

5 Effizientes Suchen: Binäre Suche Function binarysearch(a[0..n 1] Array of Element, x : Element ) : Z l = 0 : N 0 ; r = n 1 : N 0 if x < A[l] x > A[r] then return 1; while true do if l = r A[l] x then return 1; m = (r+l) 2 ; if x = A[m] then return m; else if x < A[m] then r = m; else l = m; Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

6 Aufgabe: Schleifeninvariante der binären Suche Aufgabe Finde eine sinnvolle Schleifeninvariante der binären Suche und beweise ihre Korrekheit (induktiv)! while true do if l = r A[l] x then return 1; m = (r+l) 2 ; if x = A[m] then return m; else if x < A[m] then r = m; else l = m; Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

7 Aufgabe: Schleifeninvariante der binären Suche Lösung Finde eine sinnvolle Schleifeninvariante der binären Suche und beweise ihre Korrekheit (induktiv)! while true do invariant A[l] x A[r] if l = r A[l] x then return 1; m = (r+l) 2 ; if x = A[m] then return m; else if x < A[m] then r = m; else l = m; Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

8 Einfach verkettete Listen Was ist das? Was kann man damit implementieren? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

9 (doppelt) verkettete Listen Was ist das? Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

10 einfach vs. doppelt verkettet pro: doppelt super flexibel: entfernen, einfügen an jeder Stelle schnell möglich dynamische Größe pro: einfach weniger Speicherplatz als doppelt verkette Liste schlank und ausreichend für Stack und Queue dynamische Größe Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

11 Was spricht für Arrays? Zugriff in konstanter Zeit (random access) einmalige Speicherallokation Speicherlokalität (Cacheffizenz) Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

12 Kreativaufgabe Entwickelt eine Datenstruktur, die Folgendes kann: pushback und popback in O(1) Zugriff auf das k-te Element (random access) in O(log(n)) Speicherallokationen sind in konstanter Zeit (O(1)) möglich. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

13 Lösung: für zu Hause Eine doppelt verkettete Liste von Arrays, so dass jeder Array doppelt so groß wie sein Vorgänger ist. Zusätzlich einen Zeiger auf das letzte Array. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

14 amortisierte Analyse: Definition Durchschnittliche Kosten einer Operation, bei einer Folge von n Operationen. Das heißt, dass die Laufzeit vieler billiger Operationen die Laufzeit weniger kostspieliger Operationen amortisiert. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

15 Beispiel: Unbounded Arrays Leitfrage Wie garantiere ich random access bei gleichzeitig dynamischer Größe? Antwort: unbounded Arrays vergrößere allozierten Speicher wenn nötig verkleinere Speicher wenn passend Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

16 Vergleich: Datenstrukturen Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

17 Hashing: Wie geht das? Tafel: Ordnung durch Chaos Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

18 Aufgabe Gegeben sei ein Array A = A[1],..., A[n] mit n Zahlen in beliebiger Reihenfolge. Für eine gegebene Zahl x soll ein Paar (A[i], A[j]), 1 i, j n gefunden werden, für das gilt: A[i] + A[j] = x. 1 Gebt eine Lösung für x = 33 und A = (7, 15, 21, 14, 18, 3, 9) an. 2 Gebt einen effizienten Algorithmus an, der das Problem in erwarteter Zeit O(n) löst, und bei Erfolg ein Paar (A[i], A[j]) ausgibt, ansonsten null. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

19 Lösung: Für zu Hause 1 A[1] + A[5] = = 33 2 Im ersten Schritt alle Elemente in die Hash-Tabelle einfügen, im zweiten Schritt zu jeder Zahl das Gegenstück suchen (das Gegenstück zu A[i] ist x A[i]). Wichtig: Die Hashtabelle muss Θ(n) Slots haben, sonst greift Satz 1 aus der Vorlesung nicht. Mit diesem können wir zeigen, dass die erwartete Laufzeit von Einfügen und Tabellenlookup in O(1) ist. Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

20 Was haben wir heute gemacht? binäre Suche einfach und doppelt verkette Listen (bounded) Arrays unbounded Arrays armortisierte Analyse (erstes) Hashing Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21

21 Wahre Helden Viel Erfolg und ein schönes Wochenende! Marc Leinweber Algorithmen I - Tutorium 28 Nr /21