2. Übung Algorithmen I

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Dagmar Sommer
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1 1 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Institut für Theoretische Informatik

2 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler

3 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler

4 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler

5 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler

6 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler

7 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler

8 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler β 2 β 1 β 0 i β i 2 i 2

9 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler Binärzähler: zähle von 0 bis m m Inkrementoperationen x = i β i2 i Function binary-increment() : β 0 β i=0 : N 0 while β i = 2 do β i+1 β i β i 0 i i β 2 β 1 β 0 i β i 2 i 3

10 Beispiel Binärzähler binary-increment

11 Beispiel Binärzähler binary-increment

12 Beispiel Binärzähler binary-increment

13 Beispiel Binärzähler binary-increment

14 Beispiel Binärzähler binary-increment

15 Beispiel Binärzähler binary-increment

16 Beispiel Binärzähler binary-increment

17 Beispiel Binärzähler binary-increment

18 Beispiel Binärzähler binary-increment

19 Beispiel Binärzähler binary-increment

20 Beispiel Binärzähler binary-increment Kostenmodell: Kosten 1 pro Bitflip 4

21 Beispiel Binärzähler binary-increment Kostenmodell: Kosten 1 pro Bitflip = increment worst case O(log m) 4

22 Amortisierte Analyse Beispiel Binärzähler Kostenmodell: Kosten 1 pro Bitflip T (m) seien Gesamtkosten für m Operationen amortisierten Kosten pro Operation definiert als T (m)/m amortisierten Kosten einer Inkrementoperation? a) O(1) b) O(log m) 5

23 Beispiel Binärzähler Aggregatmethode Kochrezept: Schätze T (m) direkt ab Operation Kosten Beobachtung (m Ops): β 0 jedes mal gekippt β 1 jedes zweite mal gekippt β 2 jedes vierte mal gekippt β 3 jedes achte mal gekippt... T (m) m + m 2 + m 4 + m 8... i=0 m 2 i = 2m = m = m 2 = m 4 = m 8 6

24 Beispiel Binärzähler Aggregatmethode Kochrezept: Schätze T (m) direkt ab Operation Kosten Beobachtung (m Ops): β 0 jedes mal gekippt β 1 jedes zweite mal gekippt β 2 jedes vierte mal gekippt β 3 jedes achte mal gekippt... T (m) m + m 2 + m 4 + m 8... i=0 m 2 i = 2m T (m) m 2 = O(1) = m = m 2 = m 4 = m 8 6

25 Beispiel Binärzähler Bankkontomethode Allgemein: t 1,..., t m die Laufzeiten der Einzeloperationen t i Gebühr für i-te Operation vor jeder Operation erhält Algorithmus Gehalt G alle Operationen müssen aus Gehältern bezahlt werden finde Gehalt G, sodass T (m) mg 7

26 Beispiel Binärzähler Bankkontomethode finde Gehalt G, sodass mit T (m) mg Binärzähler: G = 2 Chips, Strategie: Zählvorgang setzt genau ein Bit auf 1. Dies kostet 1 Chip 8

27 Beispiel Binärzähler Bankkontomethode finde Gehalt G, sodass mit T (m) mg Binärzähler: G = 2 Chips, Strategie: Zählvorgang setzt genau ein Bit auf 1. Dies kostet 1 Chip Spare anderen Chip, um Bit auf 0 zu setzen 8

28 Beispiel Binärzähler Bankkontomethode finde Gehalt G, sodass mit T (m) mg Binärzähler: G = 2 Chips, Strategie: Zählvorgang setzt genau ein Bit auf 1. Dies kostet 1 Chip Spare anderen Chip, um Bit auf 0 zu setzen Invariante: Kontostand = Anzahl der 1-Bits 8

29 Beispiel Binärzähler Einzelkosten 5 4 T(m)-T(m-1) Operationen 9

30 Beispiel Binärzähler Summierte Kosten T(m) Operationen 10

31 Beispiel Binärzähler Summierte Kosten 2m T(m) Operationen 11

32 Beispiel Binärzähler T (m)/m T(m)/m Operationen 12

33 13

34 Unbounded Array Wieviele Speicherzellen braucht ein Unbounded Array gleichzeitig für n Elemente? Worst-Case-Betrachtung es darf eine beliebige Folge von pushback und popback Operationen vorausgegangen sein a) 2n ± c b) 3n ± c c) 4n ± c d) 6n ± c 14

35 Unbounded Array live! 1 15

36 Unbounded Array live!

37 Unbounded Array live!

38 Unbounded Array live!

39 Unbounded Array live!

40 Unbounded Array live!

41 Unbounded Array live!

42 Unbounded Array live!

43 Unbounded Array live! Platzbedarf bei Vergrößerung: 3(n 1) Speicherzellen falls maximales n bekannt: bounded array oft besser Antwort b richtig? 15

44 Unbounded Array live! Warum schrumpft das Array nicht? die Zukunft nicht bekannt (Stichwort Online-Algorithmus) Problem: erneutes pushback erneutes O(n) Anwachsen Problem: Folge von n solcher popback / pushback O ( n 2) Laufzeit 15

45 Unbounded Array live! Warum schrumpft das Array nicht? die Zukunft nicht bekannt (Stichwort Online-Algorithmus) Problem: erneutes pushback erneutes O(n) Anwachsen Problem: Folge von n solcher popback / pushback O ( n 2) Laufzeit deshalb erst bei 1/4 schrumpfen Ω (n) konstante Operationen seit dem letzten Anwachsen/Schrumpfen 15

46 Unbounded Array live!

47 Unbounded Array live!

48 Unbounded Array live!

49 Unbounded Array live! Platzbedarf direkt vor Schrumpfoperation: 4(n 1) Speicherzellen Antwort c richtig? 15

50 Unbounded Array live! Wenn Feldkapazität 4n schrumpfe Feld auf 2n es bleibt Platz für weitere Elemente während Schrumpfoperation: 6n Speicherzellen gleichzeitig belegt außer Speicherverwaltung bietet Schrumpfoperation ohne Kopieren Antwort d richtig! 15

51 Unbounded Array: Allgemeine Version Kompromiss: im schlimmsten Fall weniger Platz, dafür langsamer? 16

52 Unbounded Array: Allgemeine Version Kompromiss: im schlimmsten Fall weniger Platz, dafür langsamer? Ja! Durch Wahl des: " Vergrößerungsfaktors" β (hier bisher immer 2) " Schranke" α (hier bisher immer 4) der verallgemeinerten Version: 16

53 Unbounded Array: Allgemeine Version Kompromiss: im schlimmsten Fall weniger Platz, dafür langsamer? Ja! Durch Wahl des: " Vergrößerungsfaktors" β (hier bisher immer 2) " Schranke" α (hier bisher immer 4) der verallgemeinerten Version: realloziere βn verkleinere bei αn w n > 0 16

54 Unbounded Array: Allgemeine Version Kompromiss: im schlimmsten Fall weniger Platz, dafür langsamer? Ja! Durch Wahl des: " Vergrößerungsfaktors" β (hier bisher immer 2) " Schranke" α (hier bisher immer 4) der verallgemeinerten Version: realloziere βn verkleinere bei αn w n > 0 amortisierte Laufzeiten bleiben asymptotisch gleich für β > 1, α > β. größeres β, α: schneller, benötigt aber mehr Speicherplatz kleineres β, α: langsamer, benötigt aber weniger Speicherplatz 16

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