Amortisierte Analyse. C. Komusiewicz 6.1 Amortisierte Analyse: Motivation 105

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1 Amortisierte Analyse C. Komusiewicz 6.1 Amortisierte Analyse: Motivation 105

2 C. Komusiewicz 6.1 Amortisierte Analyse: Motivation 106 Amortisierte Analyse Beobachtung: Bei Datenstrukturen ist Worst-Case-Analyse der Kosten jeder einzelnen Operation oft zu pessimistisch. Beispiel In der amortisierten Kostenanalyse wird Sequenz von n Operationen analysiert und die durchschnittlichen Kosten per Operation angegeben. Bemerkung: Amortisierte Analyse Average-Case-Analyse 3 Methoden: Aggregierte Analyse: Teile Gesamtkosten durch # Operationen Buchhaltung: Bewerte einige Operationen mit höheren Kosten als tatsächlich anfallen, benutze diesen Kredit später um teure Operationen zu bezahlen Potentialfunktion: benutze Funktion um Zustand der Datenstruktur zu beschreiben und Kosten zu verrechnen (Verallgemeinerung der Buchhaltung)

3 C. Komusiewicz 6.2 Amortisierte Analyse: Aggregierte Analyse 107 Aggregierte Analyse Ansatz: Zeige, dass jede Sequenz von n Operationen Kosten T pnq hat. Amortisierte Kosten jeder Operation: T pnq{n Beispiel: Wir betrachten die Datenstruktur Stack, erweitert um folgende Operation.

4 C. Komusiewicz 6.2 Amortisierte Analyse: Aggregierte Analyse 107 Aggregierte Analyse Ansatz: Zeige, dass jede Sequenz von n Operationen Kosten T pnq hat. Amortisierte Kosten jeder Operation: T pnq{n Beispiel: Wir betrachten die Datenstruktur Stack, erweitert um folgende Operation. Multi-PoppS, kq Worst-Case-Kosten von Multi-PoppS, kq:

5 C. Komusiewicz 6.2 Amortisierte Analyse: Aggregierte Analyse 108 Aggregierte Analyse vs. Worst-Case-Analyse Situation: Betrachten Folge von n Push-, Pop- und Multi-Pop-Operationen Worst-Case-Analyse: Aggregierte Analyse: Amortisierte Kosten für alle Operationen:

6 C. Komusiewicz 6.2 Amortisierte Analyse: Aggregierte Analyse 109 Inkrement einer Binärzahl Situation: Array Ar0..k 1s speichert eine Binärzahl mit k bits. Zu Beginn speichert A den Wert 0. Der gespeicherte Wert soll mehrmals inkrementiert werden.

7 C. Komusiewicz 6.2 Amortisierte Analyse: Aggregierte Analyse 109 Inkrement einer Binärzahl Situation: Array Ar0..k 1s speichert eine Binärzahl mit k bits. Zu Beginn speichert A den Wert 0. Der gespeicherte Wert soll mehrmals inkrementiert werden. IncrementpAq Worst-Case-Analyse: Aggregierte Analyse Ñ Tafel Amortisierte Kosten für Inkrementoperation:

8 C. Komusiewicz 6.3 Amortisierte Analyse: Buchhaltung 110 Buchhaltung: Ansatz Ordne jeder Operation direkt amortisierte Kosten zu, die entweder größer oder kleiner als die tatsächlichen Kosten sind. Wenn die Buchhaltungskosten größer sind als die tatsächlichen Kosten, dann wird Kredit aufgebaut. Andernfalls wird Kredit abgebaut. Die amortisierten Kosten sind korrekt, falls man für alle Folgen von n Operationen, den Gesamtaufwand hoch genug abschätzt. Der Kredit darf nie negativ sein:

9 C. Komusiewicz 6.3 Amortisierte Analyse: Buchhaltung 111 Buchhaltung: Stacks Idee: Bezahle bei jedem Push für spätere Pop-Operationen. Operation Kosten Amortisierte Kosten Push Pop Multipop Beweis der Korrektheit:

10 C. Komusiewicz 6.3 Amortisierte Analyse: Buchhaltung 112 Buchhaltung: Inkrement Klar: Kosten für eine Increment-Operation sind linear in # Bitflips Amortisierte Analyse der Bitflipkosten Idee: Bezahle bei 0 Ñ 1-Flips für zukünftige 1 Ñ 0-Flips mit. Operation Kosten Amortisierte Kosten 0 Ñ 1-Flip 1 Ñ 0-Flip Beweis der Korrektheit: Amortisierte Kosten von Increment:

11 C. Komusiewicz 6.4 Amortisierte Analyse: Potentialfunktionen 113 Potentialfunktion: Ansatz Idee: Beschreibe den Zustand der Datenstruktur über eine Folge von n Operationen mittels Potentialfunktion Φ. Diese ordnet jedem Zeitpunkt ein Potential zu.

12 C. Komusiewicz 6.4 Amortisierte Analyse: Potentialfunktionen 113 Potentialfunktion: Ansatz Idee: Beschreibe den Zustand der Datenstruktur über eine Folge von n Operationen mittels Potentialfunktion Φ. Diese ordnet jedem Zeitpunkt ein Potential zu. D 0 Datenstruktur zu Beginn D i Datenstruktur nach der iten Operation. ΦpD i q Potential von D i

13 C. Komusiewicz 6.4 Amortisierte Analyse: Potentialfunktionen 113 Potentialfunktion: Ansatz Idee: Beschreibe den Zustand der Datenstruktur über eine Folge von n Operationen mittels Potentialfunktion Φ. Diese ordnet jedem Zeitpunkt ein Potential zu. D 0 Datenstruktur zu Beginn D i Datenstruktur nach der iten Operation. ΦpD i q Potential von D i Definition Die ite Operation hat amortisierte Kosten ĉ i c i ` ΦpD i q ΦpD i 1 q wobei c i die tatsächlichen Kosten sind.

14 C. Komusiewicz 6.4 Amortisierte Analyse: Potentialfunktionen 113 Potentialfunktion: Ansatz Idee: Beschreibe den Zustand der Datenstruktur über eine Folge von n Operationen mittels Potentialfunktion Φ. Diese ordnet jedem Zeitpunkt ein Potential zu. D 0 Datenstruktur zu Beginn D i Datenstruktur nach der iten Operation. ΦpD i q Potential von D i Definition Die ite Operation hat amortisierte Kosten ĉ i c i ` ΦpD i q ΦpD i 1 q wobei c i die tatsächlichen Kosten sind. Amortisierte Gesamtkosten: Potentialfunktion und amortisierte Kosten sind korrekt wenn

15 C. Komusiewicz 6.4 Amortisierte Analyse: Potentialfunktionen 113 Potentialfunktion: Ansatz Idee: Beschreibe den Zustand der Datenstruktur über eine Folge von n Operationen mittels Potentialfunktion Φ. Diese ordnet jedem Zeitpunkt ein Potential zu. D 0 Datenstruktur zu Beginn D i Datenstruktur nach der iten Operation. ΦpD i q Potential von D i Definition Die ite Operation hat amortisierte Kosten ĉ i c i ` ΦpD i q ΦpD i 1 q wobei c i die tatsächlichen Kosten sind. Amortisierte Gesamtkosten: Potentialfunktion und amortisierte Kosten sind korrekt wenn

16 C. Komusiewicz 6.4 Amortisierte Analyse: Potentialfunktionen 114 Potentialfunktion: Stacks Potential ΦpD i q : # Elemente in D i Klar: Analyse der amortisierten Kosten: Push Pop Multi-Pop

17 C. Komusiewicz 6.4 Amortisierte Analyse: Potentialfunktionen 115 Potentialfunktion: Inkrement Potential ΦpD i q : # 1 en in D i Klar: Analyse der amortisierten Kosten von Increment: Tatsächliche Kosten: Änderung des Potentials: Fall 1: Fall 2: Potentialdifferenz: Amortisierte Kosten von Increment:

18 C. Komusiewicz 6.4 Amortisierte Analyse: Potentialfunktionen 116 Potentialfunktion: Beliebiges Startpotential Weitere Anwendung der Potentialfunktion: Analyse der Gesamtkosten, wenn ΦpD 0 q ą 0, etwa wenn D 0 bereits Elemente enthält. Ansatz: Beschränke Start- und Endpotential und setze beide in die Summe der amortisierten Kosten ein. Beispiel