Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 5 FS 14

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1 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 26. März 2014 Peter Widmayer Tobias Pröger Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 5 FS 14 Lösung 5.1 Offene Hashverfahren. Die im folgenden benutzten Sondierungsverfahren werden in genau der Form benutzt, in der sie in der Vorlesung und im zugehörigen Buch vorgestellt wurden, d.h. die Sondierungsfunktion wird von der Hashfunktion subtrahiert. Auch eine Addition der Funktionen ist gültig, führt aber u.u. zu anderen Lösungen. a) h(k) = Quersumme von k. Diese Funktion ist ungeeignet für Hashing, da der Wert der Hashfunktion zwischen 0 und p 1 liegen muss, die Quersumme aber beliebig gross werden kann. h(k) = k(1+p+p 2 ) mod p. Wegen p mod p = 0 und p 2 mod p = 0 ist h(k) = k mod p, was wie in der Vorlesung erklärt eine geeignete Hashfunktion ist. h(k) = p(rk rk ), r R + \Q. Diese Hashfunktion ist ebenfalls geeignet, denn sie entspricht der in der Vorlesung vorgestellten multiplikativen Methode. b) (i) 12: h(12) = : h(19) = : h(6) = : h(15) = : h(13) = : h(2) = 2 h(2) 1 1 h(2) : h(28) = 6 h(28) : h(24) = 2 h(24) 1 1 h(24) 2 0 h(24) (ii) 12: h(12) = 1 12

2 19: h(19) = : h(6) = : h(15) = : h(13) = : h(2) = 2 h(2) 1 1 h(2) : h(28) = 6 h(28) : h(24) = 2 h(24) 1 1 h(24) h(24) (iii) 12: h(12) = : h(19) = : h(6) = : h(15) = : h(13) = : h(2) = 2 h(2) h (2) : h(28) = 6 h(28) h (28) 4 h(28) 2h (28) 2 h(28) 3h (28) : h(24) = 2 h(24) h (24) 6 h(24) 2h (24) 10 h(24) 4h (24) c) Die Löschung eines Schlüssels k ist problematisch, wenn ein weiterer Schlüssel k mit h(k) = h(k ) später als k eingefügt wurde. Würde k einfach gelöscht (z.b. indem die Position als frei markiert wird), dann könnte der Schlüssel k nicht mehr gefunden werden, da das Sondieren endet, sobald eine freie Position gefunden wird. Im gegebenen Beispiel könnten die Schlüssel 2 und 24 nicht mehr gefunden werden. Folglich muss die Position explizit als gelöscht markiert werden, und bei der Suche nach einem Schlüssel muss die Sondierung fortgesetzt werden, sobald eine solche Position gefunden wird. Selbstverständlich darf die 2

3 Markierung beim späteren Einfügen eines anderen Schlüssels überschrieben werden, sofern dies nötig ist. Werden nun viele Schlüssel gelöscht, dann kann es passieren, dass die Suche nach einem Schlüssel sehr ineffizient wird (denn die Sondierung besucht u.u. viele als gelöscht markierte Positionen). Hashing ist also besonders dann geeignet, wenn Schlüssel grösstenteils nur eingefügt und gesucht und nur selten gelöscht werden. d) h (k) = ln(k + 1) mod q. Diese Funktion ist ungeeignet als zweite Hashfunktion, denn für den Schlüssel k = 0 ist h (0) = ln(1) = 0. s(j, k) = k j mod p. Diese Funktion ist als Sondierungsfunktion ungeeignet, denn für die Schlüssel k = 0 oder k = 1 hat s(j, k) konstant den Wert 0 bzw. 1. s(j, k) = ((k j) mod q) + 1. Diese Funktion ist ebenfalls als Sondierungsfunktion ungeeignet, denn ihr Wert ist konstant 1, wenn der Schlüssel k ein Vielfaches von q ist. Zudem ist für alle anderen Schlüssel die Bildmenge von s(j, k) genau {1,..., q}, d.h. p q Adressen der Hashtabelle können überhaupt nicht erreicht werden. e) Beim quadratisches Sondieren hängt die Folge der s(j, k) nicht vom Schlüssel k ab. Gibt es nun viele Schlüssel k, die auf die gleiche Hashadresse h(k) abgebildet werden, dann ist die Sondierungsfolge für all diese Schlüssel gleich. Also treten beim Sondieren viele Kollisionen auf. Man spricht dann auch von sekundärem Clustering. Double Hashing vermeidet sekundäres Clustering, da verschiedene Schlüssel k, k mit h(k) = h (k) oftmals unterschiedliche Sondierungsfolgen besitzen. Lösung 5.2 Natürliche Suchbäume. a) Es ergibt sich der folgende Baum: b) Wir ersetzen den Schlüssel 12 durch den Schlüssel des symmetrischen Vorgängers (d.h., durch den grössten Schlüssel kleiner als 12) oder durch den Schlüssel des symmetrischen Nachfolgers (d.h., durch den kleinsten Schlüssel grösser als 12) und löschen den entsprechenden Vorgänger- oder Nachfolgerknoten. Bei Verwendung des symmetrischen Vorgängers: Bei Verwendung des symmetrischen Nachfolgers: 3

4 c) Preorder: 12, 6, 2, 19, 15, 13, 28, 24 Postorder: 2, 6, 13, 15, 24, 28, 19, 12 Inorder: 2, 6, 12, 13, 15, 19, 24, 28 d) Ein binärer Suchbaum kann aus seiner Postorder-Reihenfolge k 1,..., k n rekonstruiert werden, indem die Schlüssel k n,..., k 1 in genau dieser Reihenfolge in einen initial leeren binären Suchbaum eingefügt werden. Damit ergibt sich der folgende Suchbaum: Lösung 5.3 Amortisierte Analyse. Eine gute Wahl ist k = 2n. Dies bedeutet, dass ein Array doppelter Länge erzeugt wird, sobald das aktuelle Array voll ist. Um zu zeigen, dass mit dieser Wahl jede Einfügeoperation konstante amortisierte Kosten hat, führen wir eine amortisierte Analyse durch. Dazu definieren wir eine Potentialfunktion, welche jedem Array-Zustand einen Wert zuordnet (diesen Wert kann man intuitiv als Kontostand interpretieren). Zur Erinnerung: In der amortisierten Analyse mittels Potentialfunktion definiert man Φ i als das Potential nach der i-ten Operation. Die i-te Operation habe tatsächliche Kosten t i. Dann sind die amortisierten Kosten der i-ten Operation definiert als a i := t i + Φ i Φ i 1. Mit dieser Definition folgt für eine Folge von m Operationen a i = ( m ) (t i + Φ i Φ i 1 ) = t i + Φ m Φ 0, (1) und somit erhalten wir t i = a i + Φ 0 Φ m. (2) Wenn es also gelingt, die amortisierten Kosten jeder Operation sowie den Term Φ 0 Φ m abzuschätzen, dann erhält man so auch eine Abschätzung für die tatsächlichen Gesamtkosten. Wird die Potenzialfunktion beispielsweise so gewählt, dass Φ m Φ 0 für jedes m, dann folgt m t i m a i, d.h. die tatsächlichen Gesamtkosten können durch die Summe der amortisierten Kosten nach oben abgeschätzt werden. a) Wir definieren das Potential (bzw. den Kontostand) eines Arrays der Grösse n als 6 Anz. d. Elem. in der oberen Hälfte des Arrays (also in Positionen n 2 + 1,..., n). (3) Zu beachten ist, dass sich auch n ändert, wenn das Array vergrössert wird. Aus der Definition folgt Φ 0 = 0 (anfangs ist das Array leer), und weil Φ i mit dieser Definition nie negativ 4

5 sein kann, ist auch klar, dass Φ i 0 für i > 0 gilt, also insbesondere Φ m Φ 0. Wir müssen also nur noch untersuchen, wie gross die amortisierten Kosten einer Einfügeoperation sind. Dazu unterscheiden wir zwei Fälle: Wenn bei der i-ten Einfügeoperation das Array nicht verdoppelt wird (d.h. es ist noch nicht voll), dann sind t i = 1 und Φ i Φ i 1 6 (= 0 falls das Array noch nicht halb voll ist, und = 6 sonst), und somit a i = 7. Wenn bei der i-ten Einfügeoperation das Array von Grösse n auf Grösse 2n verdoppelt wird, sind die tatsächlichen Kosten t i = 2n }{{} Array anlegen und die Potentialdifferenz beträgt + n }{{} Elemente kopieren + }{{} 1 = 3n + 1 (4) neues Element einfügen Φ i Φ i 1 = 6 (1 n ) = 6 3n. (5) 2 Die amortisierten Kosten sind in diesem Fall a i = 3n + 7 3n = 7, also ebenfalls konstant. b) Wir zeigen nun, dass auch für das Entfernen eine amortisiert konstante Laufzeit möglich ist. Dabei wird das Array erst dann von der Grösse n auf die Grösse n/2 verkleinert, wenn es nur noch n/4 Elemente im Array hat, und nicht bereits, wenn es noch n/2 Elemente hat. Dies verhindert, dass die Arraygrösse stets verdoppelt und wieder halbiert wird, wenn man in ein Array zuerst n/2 Elemente einfügt und dann immer abwechselnd eines einfügt und dieses gleich wieder löscht. Für die amortisierte Analyse definieren wir das Potential (bzw. den Kontostand) eines Arrays der Grösse n als 3 Anz. leerer Positionen in der unteren Hälfte des Arrays (also in Pos. 1,..., n ). (6) 2 Erneut haben wir Φ i 0 für i 0. Offenbar muss jedes zu löschende Elemente vorher eingefügt worden sein. Man erkennt leicht, dass nach jeder Einfügeoperation keine leeren Positionen in der unteren Hälfte des Arrays existieren, wenn wir mit einem Array der Grösse 1 oder 2 beginnen. Folglich ist Φ 0 = 0. Wenn bei einer Löschoperation i das Array nicht halbiert wird, gilt a i = 1 + 0, falls das gelöschte Element in der oberen Hälfte des Arrays liegt, oder a i = 1 + 3, falls das gelöschte Element in der unteren Hälfte liegt. Wird dagegen bei der Löschoperation i das Array halbiert, dann gilt und die Potentialdifferenz beträgt t i = n/2 + n/4 = 3 n, (7) }{{}}{{} 4 Array anlegen Elemente kopieren Φ i Φ i 1 = 3 (1 n/4). (8) Somit sind die amortisierten Kosten in diesem Fall a i = 3 4n + 3 (1 n/4) = 3. Für jede Löschoperation sind also die amortisierten Kosten konstant (genauer: a i 4). Es ist nun leicht zu sehen, dass man mit der Potentialfunktion 6 (Anzahl Elemente in der oberen Hälfte des Arrays + (9) Anzahl leerer Positionen in der unteren Hälfte des Arrays) 5

6 auch für beliebige Folgen von Einfüge- und Löschoperationen zeigen kann, dass die amortisierten Kosten jeder Operation konstant sind. Bemerkung: Man könnte natürlich auch weitere Kosten in die Analyse mit einbeziehen, z.b. wenn man davon ausgeht, dass das Löschen eines Arrays der Länge n die Kosten Θ(n) (und nicht 0) hat. 6